1、2019/9/28,一阶逻辑,1,一阶逻辑的字母表,个体常项: a, b, c, , a1, b1, c1, 个体变项: x, y, z, , x1, y1, z1, 函数符号: f, g, h, , f1, g1, h1, 谓词符号: F, G, H, , F1, G1, H1, 量词符号: , 联结词符号: , , , , 括号与逗号: (, ), ，,2019/9/28,一阶逻辑,一阶(first order)逻辑的合式公式,项 原子公式 合式公式,2019/9/28,一阶逻辑,3,合式公式中的变项,量词辖域: 在xA, xA中, A是量词的辖域. 例如: x(F(x)y(G(y)H(x
2、,y) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项.例如: x(F(x)y(G(y)H(x,y) 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变项. 例如: x(F(x)y(G(y)H(x,y) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: y(G(y)H(x,y),2019/9/28,一阶逻辑,4,解释(interpret),对一个合式公式的解释包括给出 个体域 谓词 函数 个体常项 的具体含义,2019/9/28,一阶逻辑,5,赋值(举例),F(f(a,a),b) 赋值1： 个体域是全体自然数; a: 2; b: 4; f(x,y)=x+y; F(x,y): x=y原公式赋值成: “2+2=4”。 赋
3、值2： 个体域是全体实数; a: 3; b: 5; f(x,y)=x-y; F(x,y): xy原公式赋值成: “3-35”。,2019/9/28,一阶逻辑,6,一阶逻辑永真式(tautology),永真式:在各种解释下取值均为真(逻辑有效式) 命题逻辑永真式: 在各种解释下取值均为真(重言式) 永假式:在各种解释下取值均为假(矛盾式) 命题逻辑永假式: 在各种解释下取值均为假(矛盾式) 可满足式：非永假式,2019/9/28,一阶逻辑,7,代换实例,在含命题变项p1,p2,pn的命题公式中, 每个命题变项代换成一阶逻辑公式所得到的式子, 称为原来公式的代换实例. 例： F(x)G(y) xF
4、(x)G(y),2019/9/28,一阶逻辑,8,一阶逻辑公式分类,例： xF(x) xF(x) xF(x) (G(y) xF(x) ) xF(x) yG(y) (xF(x) yG(y) ) yG(y),2019/9/28,一阶逻辑,9,命题符号化(举例),例: “不存在最大的自然数”。(论域取全体自然数)解: 设: G(x,y): xy; 原命题符号化成: xyG(y,x) 或: xy G(y,x),2019/9/28,一阶逻辑,10,一阶逻辑等值式(定义),等值： AB 读作：A等值于B 含义：A与B在各种赋值下取值均相等 AB 当且仅当 AB是永真式 例如： xF(x)xF(x),F,
5、F,2019/9/28,一阶逻辑,11,一阶逻辑等值式(来源),命题逻辑等值式的代换实例 与量词有关的 有限个体域量词消去 量词否定 量词辖域收缩与扩张 量词分配 相同量词的交换 与变项命名有关的 换名规则 代替规则,2019/9/28,一阶逻辑,12,代换实例,在命题逻辑等值式中, 代入一阶逻辑公式所得到的式子, 称为原来公式的代换实例. 例1：AA, 令A=xF(x), 得到 xF(x)xF(x) 例2：ABAB, 令A=F(x),B=G(y), 得到 F(x)G(y)F(x)G(y),2019/9/28,一阶逻辑,13,有限个体域上消去量词,设个体域为有限集D=a1, a2, an, 则
6、 xA(x)A(a1)A(a2) A(an) xA(x)A(a1)A(a2) A(an) 例: 个体域D=a,b,c, 则 xyF(x,y)x (F(x,a)F(x,b)F(x,c) (F(a,a)F(a,b)F(a,c)(F(b,a)F(b,b)F(b,c)(F(c,a)F(c,b)F(c,c),2019/9/28,一阶逻辑,14,量词否定等值式,xA(x)xA(x) xA(x)xA(x),A, A,2019/9/28,一阶逻辑,15,量词否定等值式(举例), N n ( nN |an-a| )a1,a2,a3,aN ,aN+1,aN+2 ,an , ?,2019/9/28,一阶逻辑,16,
7、量词否定等值式(举例、续), N n ( nN |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a|N |an-a| ),2019/9/28,一阶逻辑,17,量词辖域收缩与扩张(),x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B 说明: B中不含x的出现 例1: x(F(x)G(y) xF(x)G(y) 例2: xy(F(x)G(y) x(F(x)yG(y) xF(x)yG(y),2019/9/28,一阶逻辑,18,量词辖域收缩与扩张(、续),x(A(x)B) x(BA(x),证明: x(A(x)B) x(A(x)B) xA(x)B xA
8、(x)B xA(x)B 证明: x(BA(x) x(BA(x) BxA(x) BxA(x) BxA(x), xA(x)B BxA(x),2019/9/28,一阶逻辑,19,量词辖域收缩与扩张(),x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(BA(x) BxA(x) 说明: B中不含x的出现 例1: x(F(x)G(y) xF(x)G(y) 例2: xy(F(x)G(y) x(F(x)yG(y) xF(x)yG(y),2019/9/28,一阶逻辑,20,量词辖域收缩与扩张(、续),x(A(x)B) xA(x)B证明: x(A(x)B) x(
9、A(x)B) xA(x)B xA(x)B xA(x)Bx(BA(x) BxA(x)证明: x(BA(x) x(BA(x) BxA(x) BxA(x) BxA(x),2019/9/28,一阶逻辑,21,量词分配,x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x),2019/9/28,一阶逻辑,22,量词分配(反例),x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)个体域为全体自然数; A(x): x是偶数B(x): x是奇数; 左1, 右0 x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(
10、x)个体域为全体自然数; A(x): x是偶数B(x): x是奇数; 左0, 右1,2019/9/28,一阶逻辑,23,相同量词的交换,xy(x,y) yx(x,y) xy(x,y) yx(x,y),2019/9/28,一阶逻辑,24,换名(rename)规则,把某个指导变项和其量词辖域中所有同名的约束出现, 都换成某个新的个体变项符号. 例如: x(A(x)B(x) y(A(y)B(y)xA(x)xB(x) yA(y)zB(z)H(x,y)xF(x)y(G(y)H(x,y) H(x,y)zF(z)u(G(u)H(x,u),2019/9/28,一阶逻辑,25,代替(substitute)规则,
11、把某个自由变项的所有出现, 都换成某个新的个体变项符号. 例如: A(x)B(x) A(y)B(y)xA(x)B(x) xA(x)B(y)H(x,y)xF(x)y(G(y)H(x,y) H(s,t)xF(x)y(G(y)H(s,y),2019/9/28,一阶逻辑,26,置换(permutation)规则,设(A)是含公式A的一阶谓词公式， (B)是用公式B置换(A)中所有出现的A后得到的公式。若A B,则(A) (B),2019/9/28,一阶逻辑,27,例5.5,2019/9/28,一阶逻辑,28,举例,xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x) xB(x) yA(y) xB(x
12、) y(A(y) xB(x) yx(A(y) B(x)特点：所有量词都在最前面,2019/9/28,一阶逻辑,29,前束范式,设为一谓词公式，如果具有如下形式： Q1x1Q2x2.Qnxn 其中Qi(1in)为或，为不含量词的公式，则称为前束范式.,2019/9/28,一阶逻辑,30,前束范式存在定理,定理：任意一个谓词公式，都存在着一个等值的前束范式。 (注：利用换名规则或代替规则以及上述所提及的等值式可知，任意公式都有其前束范式(存在性)，但并不唯一.),2019/9/28,一阶逻辑,31,前束合取（析取）范式,设为一谓词公式，如果具有如下形式： Q1x1Q2x2.Qnxn 其中Qi(1in)为或，为不含量词的合取（析取）范式公式，则称为前束合取（析取）范式 合取范式形如：(A11 A12 A1n ) (A21 A22 A2n ） (Am1 Am2 Amn ） 其中Aij是原子公式或其否定。,2019/9/28,一阶逻辑,32,举例,xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x) xB(x) yA(y) xB(x) y(A(y) xB(x) yx(A(y) B(x),2019/9/28,一阶逻辑,33,习题,P78-80 2，6-12,
