1、湖南省益阳市箴言中学 2015 届高三第一次模拟考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1已知集合 ， ，则 （ ）230Ax2BxABA. B. C. D.2,1,1,1,【答案】A.【解析】试题分析：解一元二次不等式 ，得 或 ， 或230xx3|1Ax，3x .2,1AB考点：1.一元二次不等式；2.集合的交集.2设 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）,abRababA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】试题分析：若 ， ，则 ，即 成立； ，则ab02ab|ab0ab显然成立； ，则 ，即 ，| ()()成立；|若 ， ， ，则 ；
2、 ，ab0ab2| 0ababa，则 显然成立； ， ，则00，22|故综上所述， “ ”是“ ”的充要条件.abab考点：1.不等式的性质；2.充分必要条件.3已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）210cosxfA. 是偶函数 B. 在 上是增函数 fxfx,C. 是周期函数 D. 的值域为fxfx1,【答案】D.【解析】试题分析：A：当 时， ， ， ，0x2()fx()cos()fxx，A 错误；B：当 时， 在 上不是一直单调递增()fx0cs,0的，B 错误；C：当 时， 不是周期函数，C 错误；D：当 时，x2()1fx0x，当 时， ，函数的值域为 ，2()1(,)fxcos,x
3、1,)D 正确.考点：函数的性质.4已知函数 ， .若方程 有两个不相等的实根，21fxgxkfxg则实数 的取值范围是（ ）kA. B. C. D.10,2,2,【答案】B.【解析】试题分析：如图，由已知，函数 ， 的图象有两个公共点，画21fxgxk图可知当直线介于 ， 之间时，符合题意，故选 B.1:2ly:ly考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.5已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）,ab451a210bbA. B. C. D.223【答案】D.【解析】试题分析： ， ，即|10ab 222|()410abab，2|60b解得 .|3考点：平面向量的数量积.6已知数列
4、为等比数列， 是它的前 项和.若 ，且 与 的等差nanS132a472a中项为 则 （ ）,45SA35 B.33 C.31 D.29【答案】C.【解析】试题分析：等比数列 ， ， ，na21q1313422aqa又 与 的等差中项为 ，4a7254 ， ，475a37482qqa ， .4136aq51516()()2Sq考点：等比数列的通项公式与前 项和.n7已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与ab1C21xyab2C21xyabC的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为( )2C322A. B. C. D.0xy0xy20xy20xy【答案】A.【解析】试题分析：由题意可得，
5、椭圆 的离心率 ，双曲线 的离心率1C21abe2C，2abe ，双曲线 的渐近线方程为2212332abab2C，byxa即 .20考点：椭圆与双曲线的标准方程.8已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设 ，()fx(,)(,04(log7)af， ，则 的大小关系是( )12log3b1.62cf,abcA. B. C. D.caabc【答案】B.【解析】试题分析： 是定义在 上的偶函数，在 上是增函数， 在()fx(,)(,0()fx上是减函数， ，0,)42log7(l7)aff，11222(log3(l3)()bff又 ， ，即 .1.6l7l1.622(l)(log3)()
6、fffabc考点：1.函数的单调性与奇偶性；2.指对数的性质.9下列四个图中，函数 y= 的图象可能是( )01nxA. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：当 时，有 ， ， ，故排除0x|1|x1010nxyA，B，又当 时，有 ， ， ，故排除 D，选2x|x1xyC.考点：1.函数的单调性与奇偶性；2.指对数的性质.10某同学在研究函数 的性质时，受到两点间距离公式的()fx21 20x 6启发，将 变形为 ，则 表示()fx0)() 22(3)(1) ()fx（如图） ，PAB 的图象是中心对称图形； 的图象是轴对称图形；函数 的值域为()fx()fx()fx；方程 有两个
7、解上述关于函数 的描述正确的是（ 13,()10fx）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：如图， ， ， 中点 ，当 ， 两点关于(0,1)A(3,)BA3(,0)2CPQ对称时，显然四边形 是平行四边形， ，即有3(,0)2CPQBA， 的图象关于直线 对称，又 ， 的()fxf()fxx()0fx()fx图象不是中心对称图形，错误，正确；由题意可知，当 三点共线时， ，正确；显然 在,APBmin()13fAB()f上单调递增，结合，可知， ，方程(3,)()(10xff无解，即错误.10fx考点：函数的性质与应用.二、填空题11下列结论：若命题 命题 则命题 是假命题；:
8、,tan1;pxR,01,:2xRq“qp且已知直线 则 的充要条件是 ；,0321 byxlyl 2l3ba命题“若 则 ”的逆否命题为：“若 则 ”2x x.022x其中正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）._【答案】.【解析】试题分析：显然存在 ， 满足题设，故 是真命题，又4xkZp，2213()0xx 是假命题， 是假命题，正确；：当 时，有 ，错q“qp且 0ab12l误；：根据逆否命题的定义，可知正确.考点：命题及其关系.12已知函数 ，则不等式 的解集为 .130logxf1fx【答案】 .(1,)【解析】试题分析：若 ，则 ，若 ：则0x130xf x，故不等式
9、 的解集是 .13logf1f1(,)3考点：1.分段函数；2.指对数的性质.13在 中，内角 所对的边分别是 .已知 ，ABC, ,abc4a，则 的值为 .2sin3icosA【答案】 .14【解析】试题分析： ，由正弦定理可知， ，2sin3iBC23bc2又 ， ，14bca142caca.229os3Ac考点：正余弦定理解三角形.14已知菱形 的边长为 ， ，点 分别在边 上，BCD2120BAD,EF,BCD， .若 ，则 的值为 .3EFE【答案】 .2【解析】试题分析：由题意得： ， ，13AEBABC1FADC又 ，1AEF，()() 13 3BCDDB又菱形 的边长为 ，
10、，2120BA，142cos0cos3 .考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.15若集合 ，且下列四个关系：,2,015abcd ； ； ； .2d有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是 .,abcd【答案】 .6【解析】试题分析：若正确：则 ，又由错误可知 ，矛盾；若正确：则 ，由2a22b错误可知 ，再由错误可知 ， ，穷举可知符合题意的有序数组5d0c或 ；若正确：则 ，由错误可知 ，由错误(,)(1,0)abc(,15) 可知 ，穷举可知符合题意的有序数组 ；若正确：则 ，(,)(1,25)abd5d由错误可知 ，再由错误可知 ， ，穷举可知符合题意的有序
11、数组20c或 或 ，综上，符合题意的有序数组 的(,)(1,50)abcd(,1)(5,2) (,)abc个数是 .36考点：集合综合题.三、解答题16已知函数 .()2cos()in()3cos()3fxxx（1）求 的值域和最小正周期；（2）若对任意 ，使得 恒成立，求实数 的取值范围.0,6x()20mfxm【答案】 （1）值域为 ，最小正周期为 ；（2）实数 的取值范围23,T是 .23,【解析】试题分析：（1）首先利用二倍角公式的降幂变形对 的表达式进行恒等变形，将其化()fx为形如 的形式，再利用三角函数的性质即可求其最小正周期与值域：sin()Ax2()2cos()3cos()3
12、f x2si)21in3cos()3sin(2)3xx xx， ， ， ，1in(2)133si(2)xT即 的值域为 ，最小正周期为 ；（2）根据题意变形可知，问题等)fx,2价于对任意的 ，方程 恒成立，而由（1）可知当 时，06()fxm0,6x，故 ，故 ，2,3x3sin2,()32sin()3,2fx因此问题等价于关于 的不等式： ，从而解得实数 的取值范围是m2.2,13试题解析：（1） 2()2sin()cos()3cos()3fxxxsin(23co1in32sin()3x x ， ， ， ，1i()123si(2)32xT即 的值域为 ，最小正周期为 ；)fx,（2）当 时
13、， ，故 ，0,62,3x3sin(),12x此时 ，由 知， ，()32sin(),fx0mfm ，即 ，m2即 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .3023123,1考点：1.三角恒等变形；2.解不等式.17如图， 中， 两点分别是线段 的中点，ABC90,2,1,ABCDE 、 ABC、现将 沿 折成直二面角 .DE(1) 求证： ； (2) 求直线 与平面 所成角的正切值.面 面【答案】 （1）详见解析；（2） .3【解析】试题分析：（1）由 已 知 条 件 推 导 出 为 二 面 角 的 平 面 角 ，ADBEB面 ， 从 而 ， 由 此 能 证 明 面 ， 从 而 得 到 面ADBC
14、EAC面 ；（2）连 结 交 于 ， 连 结 ， 过 点 作 于 ，ECHDOAH由 已 知 条 件 推 导 出 为 与 平 面 所 成 角 ， 由 此 能 求 出 直 线 与 平O面 所 成 角 的 正 切 值 .试题解析：（1）由 ， ， 两点分别是线段 ， 的中点，得90 B，/,DEBCADEB 为二面角 平面角， ， 面 ，又 面2ADCDBE， . 又 ， ， ，即 ， ，2B1EBCBCEE: ， ， 面 ，又 面 ，面DAAB面 ；A（2）连结 交 于 ，连结 ，过点 作 于 ，HDOH ， ， 面 ， 面 ， ，DO又 ， 面 ， 为 与平面 所成角，OABEE中， ， ，
15、， RtBDE216B中， ，tAH63tan2DHA直线 与平面 所成角的正切值为 . 13 分ADBE3考点：1.面面垂直的证明；2.二面角的求解.18已知二次函数 有两个零点 和 ，且 最小值是 ，函数 与 的()fx02()fx1()gxf图象关于原点对称.（1）求 和 的解析式；()fg（2）若 在区间1,1上是增函数，求实数 的取值范围()hxx【答案】 （1） ， ；（2）实数 的取值范围是 .2()fgx(,0【解析】试题分析：（1）根据条件二次函数 有两个零点 和 ，故可将二次函数的解析式设()f0为 ，再由 ，可得 ，即 ，2()0fxaxa(1)f21aa从而 ，再由函数 的图象与 的图象关于原点对称，可知2()gx；（2）由（1）得()gxfx，这是一个关于 的一次函数或者是2 2()(1)hxxx一个二次函数，因此考虑对 的取值分以下三种情况分类讨论：当 时， 满足在区间 上是增函数；1()4hx,当 时， 图象的对称轴是 ，则 ，又 ，解得 ；1x111当 时，同理则需 ，又 ，解得 ，故满足条件的实数110的取值范围是 .(,0试题解析：（1）依题意，设 ， 图象的对称轴是2()()fxaxa(fx
