1、贵州省贵阳市普通高中 2015 届高三 8 月摸底考试数学理试卷（解析版）【试卷综析】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度适中，区分度明显。客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，对高中数学知识、方法和思想的整体把握，综合训练使得相当一部学生的数学教与学的成效得到应有的体现，对教师和学生的教与学的积极性有一定的提高.使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，并自觉地应用于数学学习和问题解决的过程之中，不断提升数学学习的效益.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的.【题文】1.复数 ，i 是虚数单位，则 z 的虚部是32zA.2i B.-2i C.2 D.-2【知识点】复数的概念.L4【答案解析】D 解析：解：根据复数的概念可知虚数 的虚部为-2，所以 D 选项32zi正确.【思路点拨】根据复数的概念直接求出结果.【题文】2、若集合 ，则集合21|,|log1MxyNxyxMNA、 B、 C、 D、R,1,0,【知识点】函数的定义域；集合.A1,B1【答案解析】C 解析：解：由题意可知 |,|1xNx，所以 C 选项正确. |01MNx【思路点拨】先根据集合的概念求出集合中元素的范围，再求出交集.【题文】3已知 是定义在 R 上
3、的奇函数，且 时 的图像如图所示，则f 0xf2fA.-3 B.-2 C.-1 D.2【知识点】奇函数的性质.B4【答案解析】D 解析：解：根据奇函数的性质可知 ，所以正确选项为 D. 2ff【思路点拨】根据奇函数的定义可直接求出结果.【题文】4、在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c, 则A 1,3,6abA等于BA、 B、 C、 D、323或 56或 23【知识点】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B 解析：解：根据正弦定理可得1332sinsinii23sin6abBAB或【思路点拨】根据正弦定理可求出角 B 的正弦值，再根据边的关系可求出角的大小.【题文】5下列判断错误的是
4、A. 是 的充分不必要条件2“ambaB.命题 的否定是32,10“xR32,10“xRC.命题“若 ，则 tan =1”的逆否命题是“若 则 ” 4tan,4D.若 为假命题，则 均为假命题pq,pq【知识点】充要条件；命题的真假.A2【答案解析】D 解析：解：因为若 成立，只需 p 与 q 中有一个假命题，即为假命题，所以 D 选项的判断是错误的，其它选项都正确.【思路点拨】根据命题的逻辑关系直接求解判定即可.【题文】6某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A. B. C. D. 21fxcosfxxfe1fx【知识点】程序框图；函数性质.B4,L1【答案解析】B 解析
5、：解：由题可知能输出的函数是偶函数且存在零点，所以只有正确， 是偶函数但不存在零点，所以 A 不正确， cosfx21fx xfe不是偶函数也不存在零点，所以 C 不正确， 不是偶函数也不存在零点，所以 D1fx不正解，综合可知只有 B 正确.【思路点拨】本题根据程序框图可推出函数为偶函数且存在零点，然后找出正确选项.【题文】7、已知 ，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的2,2yxzxya满 足值是A、 B、 4 C、 D、211【知识点】线性规划.E5【答案解析】D 解析：解：由题意可得，B（1，1）a1，不等式组表示的 平面区域如图所示的ABC由 z=2x+y 可得 y=-2x
6、+z，则 z 表示直线 y=-2x+z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线 L：y=-2x，把直线向可行域平移，当直线经过 C 时 z 最小，当直线经过点 B 时，z最大由 可得 C（a，a），此时 Z=3a 由 可得 B（1，1），此时xy 20xyz=33=43a a 故答案：14【思路点拨】根据题意作出图形，可找出最值，再根据最值之间的关系求出 a 的值.【题文】8设 满足约束条件 ，则 的最大值是,xy021xy32zxyA.3 B.4 C.5 D.6 【知识点】线性规划.E5 【答案解析】C 解析：解：由题意可知目标函数 Z，在 点取得最大值，代入可得1,，所以 C 选项正
7、确. 5z【思路点拨】由题意求出最大值点，代入目标函数求出最大值.【题文】9、现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有A、12 B、6 C、 8 D、16【知识点】排列组合.J2【答案解析】D 解析：解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法，这时，共有 种方法若第一门安排在中间的 3 天中，则第二门有 2 种安排方法，这时，123共有 32=6 种方法综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12 种，故选 C【思路点拨】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法若第一门安排在中间
8、的 3 天中，则第二门有 2 种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求【题文】10、函数 的图像如图所示，为了得到sin0,2fx其 中的图像，则只要将函数 的图像fxsingxA、向右平移 个单位6B、向右平移 个单位12C、向左平移 个单位D、向左平移 个单位【知识点】三角函数的图像.C3【答案解析】D 解析：解：由图知，171202+=42343TT又 =-A=sin,sin2yfxgx， 又 ，为了得到 的图像，则sin2i2663gxxi3fx只要将 的图像向左平移 个单位长度.所以正确选项为 C i【思路点拨】根据三角函数的图像求出三角函数，再由三角图像的移动
9、求出最后结果.【题文】11、直线 L 过抛物线 的焦点 F 且与 C 相交于 A、B 两点，且2:0CypxAB 的中点 M 的坐标为 ，则抛物线 C 的方程为3,A、 B、 C、 D、224yx或 2248yx或 2268yx或8或【知识点】直线与抛物线.H8【答案解析】B 解析：解：由题可得直线方程为 与抛物线方程2pykx联立可得2:0Cypx，所以抛222 30124pkkkxpx k或 4p或物线方程为 228y或【思路点拨】根据所给条件列出方程，利用条件求出 p 的值.【题文】12、设函数 ，其中 表示不超过 x 的最大整数，如,01xffx， ， ，若直线 与函数 的图像恰1.2
10、.110ykyf有三个不同的交点，则 k 的取值范围是A、 B、 C、 D、(,43(0,4,43,)43【知识点】新定义问题.B10【答案解析】D 解析：解：函数 ,01xff，函数的图象如下图所示： y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（-1，0）点若 f（x）=kx+k 有三个不同的根，则 y=kx+k 与 y=f（x）的图象有三个交点当 y=kx+k 过（2，1）点时， 13k，当 y=kx+k 过（3，1）点时， ，4故 f（x）=kx+k 有三个不同的根，则实数 k 的取值范围是 故选 D1,43）【思路点拨】根据所给函数与函数的定义，作出图像可求出正确结果.二、填空题：本
11、大题共 4 小题，每小题 5 分.【题文】13、设 ，则 的值 .sin2costan2【知识点】二倍角公式.C6【答案解析】 解析：解：由题可知 3sit2co2tan4ta13【思路点拨】根据正切的二倍角公式直接可求出结果.【题文】14、 的展开式中， 的系数等于 40，则 等于 .52ax2x【知识点】二项式定理.J3【答案解析】1 解析：解：因为展开式中 的项为2x2332554Caxx335401Caa【思路点拨】根据题意写出特定项，直接求出 a 的值.【题文】15、某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆） ，则该几何体的体积为 【知识点】三视图.G2【答案解析】 解析：解
12、：由三视图知：几何体是一半圆柱与长方体的组合体，801长方体的长、宽、高分别为 5、4、4；半圆柱的高为 5，底面半径为 2，几何体的底面积为： 底面周长为：43+2=12+2，几何体的表面积 S=2（16+2）+5（12+2）=92+14几何体的体积V=5（16+2）=80+10 【思路点拨】根据题意求出几何体的数值，由于是组合体所以要分开计算.【题文】16、边长为 2 的正方形 ABCD，其内切圆与边 BC 切于点 E、F 为内切圆上任意一点，则 取值范围为 AEF【知识点】向量;线性规划.F3,E5【答案解析】D 解析：解：以正方形 ABCD 的中心为原点如图建立坐标系，所以 ，设 F
13、点的坐标为1,0AE,xy，按线性规划可知2123xyAE，当直线与圆相切时，有最大值与最小值，再由点的直线的距离公式可求3Zxy出 Z 的最值 ，所以最大值为 ，最小值为 .5355【思路点拨】把向量问题转换成线性规划问题是解题的关键.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】17 （本小题满分 12 分）数列 的通项公式为 ，数列 是等差数列，且 .na12nanb14123,baa(I)求数列 的通项公式；b(II)设 ，数列 的前 n 项和 ，求证： .1nnccT2n【知识点】数列的通项公式；特殊数列求和.D1,D4【答案解析】解析： 解：(I)设数列 的公差为 d
14、,又因为nb12na14,137,2121nbadb(II) 1 12ncnn11235221nT *1122nNT【思路点拨】根据已知条件即可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可证明第二问的结果.【题文】18、如图，在直三棱柱 中，1ABC分别是 的中点.1,2,ABCDE1,B(I)证明： ；/ABCDE平 面(II)求二面角 的余弦值1【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G4【答案解析】解析：(I)证明：如图，E 是 的中点，取为 BC 的中点 G，连接1BCEG、AG、ED，在 中，1BCA1111,/, /AD=B22GEG且 又 且四边形 ADEF 为平行四边形， ，又
15、/EDEG所以ABCBC平 面 ， 平 面 ， /CD平 面(II)解：如图，以 B 为原点，BC，BA， ,分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系1B则 直oxyz110,1,002,0,2,1CACAD三棱柱 ， ，1ABB平 面如图，连接 BD，在 ，即221111BD=,中，BD 是 CD 在平面 内的射影，1BDA1C-BDC=,0,C B为 二 面 角 的 平 面 角，所以二面角 的余弦值为6cos3D163【思路点拨】根据已知条件可判定直线与平面平行，再建立空间坐标系求出二面角的余弦值.【题文】19 （本小题满分 12 分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数 T.其范围为0，10,分别有五个级别：T 畅通； 基本畅通； 轻度0,22,4T4,6T拥堵； 中度拥堵； 严重拥堵.在晚高峰时段 ，从贵阳市交通指6,88,1T挥中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
