1、河北省衡水中学 2015 届高三小一调考试数学理试卷（解析版）【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容。第卷（
2、选择题 共 60 分）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，下列每小题所给出选项只有一项是符合题目题意请将正确答案的序号填涂在答题卡上）【题文】1.已知集合 A= ，4|0,1xR2| 10BxRax若 ,则实数 a 的取值范围是 （ ）ABA. B. C. D. 22,2,1,【知识点】解不等式；集合关系及运算. A1 E3【答案解析】C 解析：因为 A= ，所以 B 时成立，此时 ； 时，即1,41aB时 ，要使 ，需使 ，即 ，综上得实数 a 的取值1a2,BaA24a2范围是 ，所以选 C.【思路点拨】先由已知求得集合 A，再由 知需要讨论 与 两种情况.BB【题文】2.设集合 ，
3、 ，则*|31,PxmN*Qy|52,nN（ ）QPA. B. *|15,xkN*|58,xkC. D. |2|127N【知识点】交 集 及 其 运 算 A1【答案解析】D 解析： ， ，*|3,Pxm *Qy|52,nN ，故 选 DQP*|27,xkN【思路点拨】由 集 合 的 交 运 算 知 ， 由 ，*|31,PxmN， ， 能 得 到 *Qy|52,nNQ|27k【题文】3.下列有关命题的说法正确的是 （ ）A.命题“ 若 则 ”的否命题为：“若 则 ”；21,x21,xB.“ ”是“ ”的必要不充分条件；560xC.命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有,x21,x”210D.命题“
4、已知 若 或 ，则 ”为真命题.,xyR4y5xy【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 A3【答案解析】C 解析：对于 A：因为否命题是条件和结果都做否定，即 “若 x21，则x1”，故错误对于 B：因为 x=-1x 2-5x-6=0，应为充分条件，故错误对于 D：其逆否命题是“已知 若 ，则 且 ”此命题显然不对，故 D 错误.所以选 C.,xyR5y14y【思路点拨】根据命题的否定，否命题，四种命题的关系及充分条件，必要条件判断结论.【题文】4.设 是定义在 R 上的函数，则下列叙述一定正确的是 （ ）fA. 是奇函数 B. 是奇函数xfxC. 是偶函数 D. 是偶
5、函数ff f【知识点】函数奇偶性的判定. B4【答案解析】D 解析：对于选项 A：设 ，hxfx则 ，所以 是偶函数，所以选项 A 不正确；hxfxhf同理可判断： 奇偶性不确定， 是奇函数， fxf是fxf偶函数，所以选 D.【思路点拨】依次设各选项中的函数为 ，再利用 与 关系确定结论.hxhx【题文】5.设 为实数，命题甲： .命题乙： ，则甲是乙的（ ） ,ab2ab10baA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【知识点】必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 A2【答案解析】B 解析：命 题 甲 ： ， 不 能 推
6、 出 命 题 乙 ： ，2ab10ba比 如 当 取 a=2， b=1， 当 然 满 足 甲 ， 但 推 不 出 乙 ； 若 命 题 乙 ： 成 立 ， 则可 得 a， b 均 为 负 值 ， 且 a b， 由 不 等 式 的 性 质 两 边 同 除 以 b 可 得 ， 即2甲 成 立 ， 故 甲 是 乙 的 必 要 不 充 分 条 件 ， 故 选 B.【思路点拨】举 反 例 a=2， b=1， 可 证 甲 不 能 推 乙 ， 由 不 等 式 的 性 质 可 证 乙 可 推 甲 ，由 充 要 条 件 的 定 义 可 得 【题文】6.定义两种运算： 则函数22,aba（ ）2xfA. 是奇函数
7、B. 是偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数【知识点】函数奇偶性的判断. B4【答案解析】A 解析：根据题意得： ，由 得24xfx240x2x这时 ，所以2x22fx,因为 ， 是奇函数，所以选 A.224xxf ff【思路点拨】先利用新定义把 f（x）的表达式找出，在利用函数的定义域把函数化简，最后看 f（x）与 f（-x）的关系得结论【题文】7.已知函数 若实数 满足 则2ln1,ab20ffb（ ）abA.-2 B.-1 C.0 D.2【知识点】函数的奇偶性.单调性的判定. B3 B4【答案解析】D 解析：因为函数的定义域为 R，且 = ，所以221lnlnf
8、xxx2ln1xfx是 R 上的奇函数 .显然 是 的增函数，所以 是 R 上的增函数.fx21x0,fx因为，所以 ，所以 从而20fafbfbfaf2,ba所以选 D.【思路点拨】先判定函数是奇函数，再判定此函数是 R 上增函数，所以为 ，所以 从而 .20fafb2fbfa2,ba2b【题文】8.已知函数 ，若 则 的取值范围2,0xf1,fffa是 （ ）A. 1,0.0,1B.1,C.2,D【知识点】函数的奇偶性，解不等式. B4 E3【答案解析】C 解析：因为 ，所以 是偶函数，所2,0xf fxfx以 为 ，解得 ，所以选 C.21,faff13faf1a【思路点拨】先确定 是偶
9、函数，所以 为 ，x2,ff13faf解得 .1【题文】9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线描述价格变化情况：一种是即时价格曲线，另一种平均价格曲线 ，如 表示股票开始买卖后 2 小时的即yfxygx23f时价格为 3 元； 表示 2 小时内的平均价格 3 元，下面给出了四个图像，实线表示3g，虚线表示 ，其中可能正确的是（ ）yfxyx.【知识点】函数的图象与图象变化B8【答案解析】C 解析：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A，D 错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故 A，B，D 均错误故选 C【思路点拨】根据已知中，实线表示即时曲线
10、y=f（x） ，虚线表示平均价格曲线 y=g（x） ，根据实际中即时价格升高时，平均价格也随之升高，价格降低时平均价格也随之减小的原则，对四个答案进行分析即可得到结论【题文】10.偶函数 满足 ，且在 时， ，则关fx1ffx0,1xfx于 的方程 ，在 上解的个数是（ ）x10f,4A1 B.2 C.3 D.4 【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性B4【答案解析】 解析：解： 原函数的周期 T=21fxf2fxf又 是偶函数， .又x0，1时， ，函数的周期为fx x2，原函数的对称轴是 x=1，且 f（-x）=f（x+2） 方程121,0yf根的个数，即为函数 y1=f（x）的图象
11、（蓝色部分）与 的图象10xf 2xy（红色部分）交点的个数由以上条件，可画出 y1=f（x）， 的图象： 210xy又因为当 x=1 时，y 1y 2，在（0，1）内有一个交点结合图象可知，在0，4上 y1=f（x）， 共有 4 个交点2xy在0，4上，原方程有 4 个根故选 D 【思路点拨】根据已知条件推导函数 f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解【题文】11.直线 与函数 的图像恰有三个公共点，则实数yx2,4xmfm 的取值范围是（ ）A B. C. D. 1,2)1,2,)(,1【知识点】函数的零点与方程根的关系B9【答案解析】A 解析：解：根据题
12、意，直线 y=x 与射线 y=2（xm）有一个交点 A（2，2），并且与抛物线 y=x2+4x+2 在（-，m上的部分有两个交点 B、C由 ，联解得 B（-1，-1），C（-2，-2）24yx抛物线 y=x2+4x+2 在（-，m上的部分必须包含 B、C 两点，且点 A（2，2）一定在射线 y=2（xm）上，才能使 y=f（x）图象与 y=x 有 3 个交点实数 m 的取值范围是-1m2 故答案为：-1m2【思路点拨】根据题意，求出直线 y=x 与射线 y=2（xm） 、抛物线 y=x2+4x+2 在（-，m上的部分的三个交点 A、B、C，且三个交点必须都在 y=f（x）图象上，由此不难得到实
13、数 m的取值范围【题文】12.已知 时，函数 的最小值为 ，若定义在 R 上的函数0,1x21fxxb满足：对任意 ，则下列结论正确的是（ ）gxgmngnbA. 是奇函数 B. 是奇函数 11xC. 是奇函数 D. 是奇函数3x 3【知识点】导数的应用；函数的奇偶性.B4 B12【答案解析】D 解析： 2222111xxxf = 22228111xx= =222814xx24421xx= ，得 2201xx12因为 所以 ，所以 ，0,3bf对于 ，取 得gmngn0mn3g取 得 ，即03m令 ，则3hxhx所以 是奇函数，从而 是奇函数，故选 D.g【思路点拨】先对原函数求导，然后解出
14、b 的值，再令 即可进行判断.n第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分把答案填在答题纸的横线上）【题文】13.设 ，若 是 的充分22:310,:10pxqxaxqp不必要条件，则实数 a 的取值范围为 .【知识点】命题及其关系.A2【答案解析】 解析：解： ， ，02231012xx1:2px或 ， ， 的充21xaxa:qa或 q是分不必要条件，只需满足102【思路点拨】根据题意求出 p 与 q，再求出 ，利用条件可求出 a 的范围.,pq【题文】14.已知集合 ， ，M N 的2x|40M2|61340Nxzxa子 集 的 个 数 4，则实数 的取值范围为
15、a【知识点】交 集 及 其 运 算 ； 子 集 与 真 子 集 A1【答案解析】 解析：集 合 =x|x -2， 或 x 2，913， ） 2|40，2|640NxzxaxZ|3131aa=-+集 合 N 在 数 轴 上 画 从 3 向 两 边 扩 ， M N 的 子 集 的 个 数 4， 即 交 集 中 有 2 个 元素 ， 所 以 3 4， 所 以 故答案为 .1+-92a， ） 9， ）【思路点拨】求 出 集 合 M， 求 出 集 合 N， 然 后 求 出 满 足 题 意 的 N 的 表 达 式 的 范 围 ，即 可 得 到 a 的 范 围 【题文】15.为了预防流感，某学校对教室用药熏
16、消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）成正比，药物释放完毕后， y 与t 的函数关系式为 （a 为常数） ，如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药16t量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.【知识点】根据实际问题选择函数类型；指数函数.B6 B10【答案解析】 解析：解：当 t0.1 时，可得 0.1-a=0,a=0.10.16a由题意可得 ，即 ，10.254y0.164t即 .1.tt解得 t0.6，由题意至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室故答案为：0.6
17、【思路点拨】 。当 t0.1 时，把点（0.1，1）代入 求得 a，曲线方程可得根16ty据题意可知 y0.25，代入即可求得 t 的范围【题文】16.设函数 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m= . 21sinxxf【知识点】函数的最值及其几何意义B3【答案解析】2 解析： 设 则221sinsin1xxxf2sin1xgg（x）是 R 上的奇函数，如果 g（x）的最大值是 W，2sin1xgg则 g（x）的最小值是-W，从而函数 f（x）的最大值是 1+W，f（x）的最小值是 1-W，即：M=1+W，m=1-W，M+m=2故答案为：2【思路点拨】首先由已知条件推导出函数是奇函数，再根
18、据图像的移动求出最大最小值.三、解答题（本题满分 70 分，其中 17 题 10 分，其余题 12 分，将必要的文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡的相应位置） 【题文】17.设关于 的不等式 的解集为 ，不等式x()(10xaR-M的解集为 .230x-N（1 ）当 时，求集合 ；4a=M（2 ）若 ，求实数 的取值范围.a【知识点】一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 ； 集 合 关 系 中 的 参 数 取 值 问 题 A1 E3 【答案解析】 （1） （2 ）|51Nx ,解析：（ 1） 当 时 ， 解 得 0 x 54a=即 ，05|Mx |34 分|（ 2） 当 时 ， 因 为
19、， 所 以 1a10a 10|Mxa 因 为 ， 所 以 ， 解 得 ； 6 分N 2 若 时 ， ， 显 然 有 ， 所 以 成 立 ； 8 分MN 若 时 ， 因 为 ， 所 以 1a10a01|xa又 ， 因 为 ， 所 以 ， 解 得 10 分3|Nx 32a综 上 所 述 ， 的 取 值 范 围 是 12 分,【思路点拨】 （1）当 时 ， 由 已 知 解 得 集 合 M、 N， 再 求 并 集 即 可 .4a=（ 2） 对 字 母 进 行 分 类 讨 论 ： ， ， ， 分 别 表 示 出 集 合1a1aM， 又 ， 利 用 ， 即 可 求 得 的 取 值 范 围 3|Nx【题文】
20、18.已知集合 ，集合 B 为函数 的值域，集2|0Ax2yx合 ，命题 p ;命题 q .2|40CxaAC(1)若命题 p 为假命题，求实数 a 的取值范围.(2)若命题 pq 为真命题，求实数 a 的取值范围. 【知识点】命题及其关系.A2【答案解析】 （1）a3（2）0a3解析： 211yxxa，B=y|ya-1，2|0|A2|40Cxa（1）由命题 p 为假命题可得 ，a-12a3AB（2）命题 pq 为真命题命题p，q 都为真命题即 且 ACB 解可得 0a31240a【思路点拨】 （1）根据命题之间的关系列出关系式，直接求出值. （2）命题 pq 为真命题命题p，q 都为真命题,即 且 AC然后转化为不等式组求解.B【题文】19.已知幂函数 为偶函数，且在区间 上是单调减23mfxZ(0,)函数.(1) 求函数 ；（2）讨论 的奇偶性.fxbFxafxf【知识点】幂函数在区间 上是单调减函数的条件，函数奇偶性的条件. B4 B8(0,)【答案解析】 （1） ；4fx（2 ） 且 非奇非偶a,bF
