1、广东省广雅中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学理试题本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本大题共 8 小题 ，每小题 5 分，满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设集合 , ,则2|0MxZx2|0,NxxRMNA B C D0, 2,02 若复数 ， ，则15zi23zi12zA B C D4i33 下列函数中，在区间 上为增函数的是(0,)A B C Dln()yx1yx1()2xy1yx4 已知 ，则31si2cos2A B C D79793135 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面 ,下
2、列命题中错误的是mn、 、A 若 , , ,则 B若 , , ,则/nm/C若 , ,则 D若 , , ,则nn6 巳知双曲线 的中心在坐标原点，实轴在 轴上，离心率为 ，且 上一点到 的Gx52G两个焦点的距离之差为 12，则双曲线 的方程为GA B C D1925yx19362yx19362y18362yx7 在平面直角坐标系 xOy上的区域 D由不等式组02xy给定若 (,)Mxy为 上的动点，点 的坐标为 (2,1)，则 的最大值为A|AMA 42 B 3 C D38 若 X是一个集合， 是一个以 X的某些子集为元素的集合，且满足： X属于 ， 属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ；
3、中任意多个元素的交集属于 则称 是集合 上的一个拓扑已知集合 abc， ， ，对于下面给出的四个集合 ： acb， ， ， ， ， ； ac， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， 其中是集合 X上的拓扑的集合 的序号是开始输入 n1,isin(1)sii输出 s结束是否第 11 题A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 7 小题 ，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题）9. 计算 0(cos1)xd10 函数 的单调递增区间是 ln(0f11 执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出 的值为
4、n4s_.12 曲线 过点 的切线方程为 xye(,)13 某同学为研究函数 22()1(1)01)fxx=+-的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 和 ，ABCDEF点 是边 上的一个动点，设 ，则 PBCCP()Pf+=请 你参考这些信息，推知函数 的值域是 ()fx（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 为参数）1C2,(xty，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的方x 2C程为 ，则曲线 和 交点的直角坐标为_ sin11C215 (几何证明选讲选做题) 如图所示
5、，圆 O的直径 6AB， 为圆周上一点， 3B，过 作圆的切线 l，过 作 l的 垂线 AD，垂足为 ，则线段 的长为 D三、解答题：本大题共 6 小题 ，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数 )cos()(xAxf（ 0A, , 02）的图象与 y轴的交点第 16 题图第 13 题图第15题图ODCBAD1C1B1A1为 )1,0(，它在 y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为2x和 )2,0(1)求函数 (xf的解析式；(2)若锐角 满足 ，求 )2(f的值)317.（本小题满分 12 分）每年 5 月 17 日为国际电信日，
6、某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠 500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率. (1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若 用 随 机 变 量 表 示 某 两 人 所 获 优 惠 金 额 的 总 和 ， 求X的 分 布 列 和 数 学 期 望 . X18.（本小题满分 14 分）如图，在四棱柱 中，侧面 底面 ，1ABCD1DBC，底面 为直角梯形，其中 ，12DA / , ，为 中点. O(1)求证： 平面
7、 ；1/1(2)求锐二面角 的余弦值C19 （本小题满分 14 分）已知数列 满足 ，na0R123,(0,12)na 套 餐 1套 餐 2套 餐 3套 餐 种 类频 率1/83/81/2(1)设 试用 表示 （即求数列 的通项公式） ；,2nab0,nbnb(2)求使得数列 递增的所有 的值oa20.（本题满分 14 分）已知椭圆 经过点 ，且椭圆的离心率 21(0)xyab3(,)212e(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 及 ，设线段F,AC,BD， 的中点分别为 ,PQ求证：直线 P恒过一个定点ACBD21. （本题满分 14 分）已知函数
8、.2()lnfx(1)若函数 在定义域内为增函数，求实数 的取值范围；gfaxa(2)在(1)的条件下，且 ， ， ，求 的极小值；13()xhe0,ln2()hx(3)设 （ ） ，若函数 存在两个零点2()3FfkR()Fx，且满足 ，问：函数 在 处的切线能否平行,0mn0mn0,于 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.x参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C A A D B C D二、填空题：本大题共 7 小题 ，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 9. 10. (0,
9、e （或 ） 11. 15 12. yex 13. 5,21+ (,)14. 1, 15. 32一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.1 A.【解析】 易得 ,10M, ,2N,所以 MN0,故选 A2 C 【 解析】125()3(4)123ziiii3 A 【解析】B、C 为减函数，D 为双钩函数，双钩函数在 (,)上先减后增.4 A解析：1sin()cos3，即cos3，27coss195 D解析 】ABC 是正确命题 ,选 D6 B 【解析】 25e， 1a， 6， b，则所求双曲线方程为 362yx.7 C作出可行域 ，由图像知，当点 M的坐标为 (0,)或
10、,2时， |AM的最大值为38 D. 解析： 不是拓扑，因为 ， c，但 ac；是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；不是拓扑，因为全集 ,Xb；是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足二、填空题：9 .解： 00(cos1)(sin)|xdx 10 【 解析 】 (,e 22l1l()xf，即 1ln0x， l1lne，即 0x.11 15.解析：第一次循环后: 3,si；第二次循环后: 6,3si；第三次循环后: 10,4si；第四次循环后: 15,si；故输出 15.12 yex，解析：设切点为0(,)xe，则切线为00()xye，把 (,)代入上式，得 0，故切线方程为 y13 5,21+
11、解析：根据图形可知，当12=时（点 P 在 BC 中间） ，2min()5fxAF=，当 0x或 时（点 P 在 B 点或 C 点） ，a， ()f的值域是 ,2+14 1,.考查极坐标方程 .21:,:1Cyx，联立方程很快得出结果1532.解：在 RtAB中， 6,3B，故1sin2BCA，故0BAC， 223.由 l是圆 O的切线知， AD，故ttD:，3, 62CCA.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. 解：（1 ）由题意可得 2A， T即 ， 1 3 分24)2cos()(xxf， 10(f 由 cos且 0，得 5 分函数 3
12、1 6 分（2）由于 ，即 1cos3且 为锐角，所以 32sin8 分()f)f )sin(23cos 10 分)213( 6即 2(f的值为 12 分126317. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力. 解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为. 4 分1318282P(2) 由题意知某两人可获得优惠金额 的可能取值为X400，500，600 ，700，800，1000. ，(40)64X 1236(50)84PC，3968P7， 8 分12()C(1)26X综上可得 的分布列为：X10 分. 16982
13、4164050707546E即 的数学期望为 775. 12 分X400 500 600 700 800 1000P4z yxODCBAD1C1B1A1A1B1 C1 D1ABCDO18.(1)证明：如图，连接 ，则四边形 为正方形，所以 ， ,COACOB且 ，2 分1/OCAB故四边形 为平行四边形，所以 4 分 1/又 平面 ， 平面 ，11B所以 平面 . 6 分/(2)因为 为 的中点，所以 ，又侧 ,DAD1D面 底面 ，交线为 ，故 底面 。 1ACOA7 分以 为原点，所 在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐O1 , Oxyz标系， 则 ， 0,0, 0,1，8 分11
14、, , 1 ,0AC设 为平面 的一个法向量，由mxyzCD 1 ,mD，得 ，0令 ，则 10 分1z,1 ,1yxm又设 为平面 的一个法向量，由 ，得nzACD11 ,nDA，令 ，10xy1则 ， 12 分1, ,1n则 ，cos3m故所求锐二面角 的余弦值为 14 分CDA1注：第 2 问用几何法做的酌情给分19解：（1） 1 分13,2nna即 变形得， 3 分1,nnb131(),52nnbb若 ，则 4 分05a若 ，则数列 是以 为首项的，015a15nb0a为公比的等比数列5 分32故 ，因而， ； 6 分03()2nnb013()2nn（2 ）法一： 7 分1104()3
15、55naa为奇数时， ，令 ， 8 分1nn10na得 ，即 对所有的正奇数恒成立，9 分1104()35n02()()3因为 对 单调递减，所以 ，即 。10 分12nyN04505为偶数时， ，令 ， 11 分n11102()5nnnaa1na得 ，即 对所有的正偶数恒成立，121024()352(3分因为 对 单调递减，所以 ，即 。13 分1()nyN014()5a015a综上， 时，数列 递增。 14 分05ana法二：由（1）知 ，013()252nn从而 ，7 分naa 01()35na故 ， 8 分104()3n设 ，则 ，下面说明 ，9 分0()5Aa 123()1nnaA
16、015a讨论：若 ，则 A0,此时对充分大的奇数 n， ，有 ，这与053()102nA1na，递增的要求不符； 13 分 n若 ，则 A=0， ，始终有 。综上， 。14 分01a120nna1na05注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。20.解：(1)由 ，得 ，12cea24即 ，即 1 分 24()b23ab由椭圆过点 知， 2 分3, 1联立（1） 、 （2）式解得 。 3 分24,故椭圆的方程是 4 分xy(2)直线 PQ恒过一个定点 5 分(,0)7证明 椭圆的右焦点为 ，分两种情况1F1当直线 的斜率不存在时， : ，则 : 由椭圆的通径易得ACAC1xBD0y，又 ，
17、此时直线 PQ恒过一个定点 ； 6 分(1,0)(,) 4(,0)72当直线 的斜率存在时，设 : ，则 ：1()ykxB1()yk又设点 12(,)(,)AxyC联立方程组消去 并化简得 ， 8 分2,34k22(43)8410xk所以 2183x222 286()()4343kkyk 10 分4,3P由题知，直线 的斜率为 1k，同理可得点 11 分BD22(,)43kQ222744()3PQk， 12 分222(1)3kkyxk即 4740xy令 ，解得 0,4,07y故直线 PQ恒过一个定点 ； 13 分(,)7综上可知，直线 PQ恒过一个定点 14 分4(,0)721 （本题满分 1
18、4 分）解：(1) 21()ln,()2.gxfaxaxgxa由题意，知 0,()恒成立，即 min). 2 分又 1,2x，当且仅当 2x时等号成立.故 min()，所以 a. 4 分（）由（）知， 令 xet，则 1,，则 3().hxHtat2()3().Httt5 分由 0，得 a或 （舍去） ，34(,21,2aa，若 1t，则 ()0,()tHt单调递减； )hx在 0ln也单调递减；若 2a，则 单调递增. 在 ,也单调递增；故 ()hx的极小值为 ln2h. 8 分(3)法一：设 ()F在 0,()x的切线平行于 x轴，其中 结合2()lFxxk题意， ,相减得 ，即22ln;l0mkk2ln0mn. 9 分2()n,又 ,0002,1()Fxx02nx所以()()ln.1mn设 (0,)u，2()l0(,1).u11 分设 ln,1y， 222()()4()0,(1uuu 所以函数 lny在 0,上单调递增，因此， 1|u，即 2()l.1u也就是，2(1)lnm， 13 分
