数学分析习题课讲义 上册

1、y 轴的,3、二元函数的微分:,定义,4、方向导数与梯度,定义,方向导数与梯度计算,前提是函数可微,梯度与方向导数的关系,二、几个基本概念之间的关系,1.二元函数 f（x，y）在点（x，y）处两个偏导数存在是 f（x，y）在该点连续的 （）条件；2.二元函数 f（x，y） 在点（x，y）处两个偏导数存在是 f（x，y）在该点可微的（）条件；3.二元函数 f（x，y）在点（x，y）处可微是 f（x，y）在该点连续的 （）条件；4.二元函数 f（x，y）在点（x，y）处两个偏导数连续是 f（x，y）在该点可微分的 （ ）条件；A. 充分 B.必要 C.充要 D.非充分，非必要,例：研究以下函数的连续性、偏导数、方向导数以及可微性,解,不存在,故函数在(0,0)处不连续,偏导数存在 连续.,在(0,0)处函数不连续;偏导数存在；不可微,偏导数存在 方向导数.,在(0,0)处函数不连续;偏导数存在；不可微；方向导数不存 在；导函数不连续。
,注意: (1)分段函数在分界点处，求极限，求偏导数，用定义做！,(3)函数不可微时，求方向导数用定义做。
,(2)偏导函数不。

2、利用行列式解出 du, dv ：,4,代入即得,代入即得,5,例2. 求曲线,在点(1,1,1),在点 (1,1,1) 处两法向量分别为,因此,切向量为,切线:,法平面:,的切线与法平面方程.,解：,6,上求一点 , 使该点处的法线垂直于,例3. 在曲面,并写出该法线方程 .,解: 设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,法线方程为,7,例4. 求函数,解：,在闭区域,上的最值.,首先求函数在开区域,上的极值.,驻点M(2,-1),且在该区域之内,由,所以,为极小值.,此题可以省略,8,上的极值.,所以,有,即,9,比较,可知,10,例5.,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.,解:,设切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,在第一卦限作椭球面,11,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,切平面在三坐标轴上的截距为,12,令,由实际意义可知,为所求切点 .,唯一驻点,13,例6.,设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面,其底部所占的区域为,小山,的高度函。

3、2. 单调有界定理；,在实数系中，单调有界数列必有极限。
,即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
,3. 区间套定理,若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点,所以区间套定理在有理数系不成立。
,反例：,4. 有限覆盖定理,在实数系中，闭区间a, b的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖a, b。
,反例：,5. 聚点定理,实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
,反例：,S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。
,5.1 致密性定理：,在实数系中，有界数列必含有收敛子列。
,反例：,其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。
,故xn在有理数域内没有收敛的子列。
,6. 柯西收敛准则,反例：,即柯西收敛准则在有理数域不成立。
,几个概念：,区间套（闭区间套），,聚点（3个等价定义及其等价性的证明），,开覆盖（有限开覆盖）。
,举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。
,但不存在属于所有开区间的公共点。
,举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。
,但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1。

4、三、幂级数的求和,通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。
,注意这个级数的各种变异。
,记住下列幂级数的和函数：,四、函数展开成幂级数,如果f(x) 能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是f(x)的泰勒级数。
,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,记住几个特殊函数的展开式：,注意收敛范围。
,欧拉公式：,本章讨论了下面三类问题：,1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。
,2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。
,3、函数展开成幂级数的条件及方法。
,P51.1(5),缺项级数，定理2 不能用。
,收敛域为实数域。
,解,P51.1(6),解,P51.1(7),解,P51.1(8),解,P51.2(1),解,P51.2(3),解,利用上面的结果,P51.3,由于右端级数在 x=R 收敛，由和函数的连续性，,解,右端级数在 x=1 收敛，故,P51.4,解,P58.3(2),解,P58.2(7),。

5、分的联系,（1）变上限积分的导数公式；,保号性、,（2）牛-莱公式。
,（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。
,因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，,而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。
,所以可积函数不一定有原函数。
,即说明有原函数的函数不一定可积。
,6、可积条件,必要条件 若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界。
,充要条件（1） 函数f在a,b可积当且仅当：,使得属于T的所有小区间中，,充要条件（2） 函数f在a,b可积当且仅当：,对应于振幅 的那些小区间 的总长,7、可积函数类,1、在a,b上连续的函数在a,b可积。
,2、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。
,3、在 a,b上单调的有界函数在a,b上可积。
（允许有无限多个间断点）,但并非可积函数只有这3类。
如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。
,在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在a,b可积。
,8、利用不定积分计算定积分,（1）线性；,恒等变形；,换元；,分部积分；,。

6、算规律.,1.一元多项式(零多项式),多项式的次数。
多项 式的相等，多项式的运算，一元多项式环。
,(2),二、整除性理论,g(x)除f(x)的余式r(x)=,(2) 设,1.整除的概念及其基本性质.,2.带余除法.,(1) 带余除法定理.,因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.,1).任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式,整除的性质.,2) 若 ，则,4) 若,5) 若,3.综合除法,4. 最大公因式和互素.,(3) 设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式,则,(1) 最大公因式,互素的概念.,(2) 最大公因式的存在性和求法-辗转相除法.,反之不然.,(f(x),g(x)=(g(x),r(x),(6) 多个多项式的互素.,(7) 最小公倍式.,(2).不可约多项式p(x)有下列性质:,(3).整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.,(4).艾森斯坦判断法.,三、 因式分解理论,1.不可约多项式,(1).不可约多项式的概念.,2.因式分解的有关结果:,(1) 因式分解及唯一性定理.,(2) 次数大于零的复系数。

7、ty, 2006.http:/homepage.fudan.edu.cn/yizhang/teaching/analysis-exercise.pdfThe author holds the copyright of this lecture notes. Any person(s) intending to copy a part or whole of the materialsin the notes in a proposed publication must seek copyright release from the author.1Analysis iDedicate to Katie7/ * , W,vb7 M,V Wbii Lecture Notes at FudanContentsReferences ii1. Probl。