山东省数学高中人教a版学案选修2-2放缩法证明不等式

1、例题 例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3今需要三种规格的成品分别为 12 块、15 块、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求.例 2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐 4t，硝酸盐18t；生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1t，硝酸盐 15t. 现库存磷酸盐 10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料 . 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. 动手试试练 1. 不等式组 所表示的平面区域是什么图形？(5)(003xy练 2. 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段 班级学生人 数 配备教师 数 硬件建设 (万元) 教师年薪( 万元)初中 45 2 26/班 2/人高中 40 3 54/班 2/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.三、总结提升 学习小结根。

2、实数 的绝对值 ，表示数轴上坐标为 的点 A 距离 a| a20. 两个实数 ，它们在数轴上对应的点分别为 ，,b,B那么 的几何意义是 两点间的距离 |a3.定理 1 的内容是什么？其证法有几种？见课本 38 页4.若实数 分别换成向量 定理 1 还成立吗？见课本 38 页,b,ab5、定理 2 是怎么利用定理 1 证明的？见课本 38 页【自主合作探究】1、绝对值的定义的应用例 1 设函数 ()4fxx解不等式 ； 求函数 的最值()2f()yfx解：x6;最大值无，最小值 5.2. 绝对值三角不等式：探究 ， ， 之间的关系.|a|b| 时,如下图, 容易得： .0ab |ab 时,如图, 容易得： .|ab温故知新引入新知得到知识 时,显然有： .=0ab|abb综上,得 |定理 1 如果 , 那么 . 当且仅当 时,R。

3、 2：求 (x5)的最小值.9()45fx 典型例题 例 1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为 3m，如果池底每 1m2 的造价为 150 元，池壁每 1m2 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.例 2 已知 ，满足 ，求 的最小值. 0,xy21xyxy总结：注意“1”妙用. 动手试试练 1. 已知 a，b，c，d 都是正数，求证：.()()4练 2. 若 ， ，且 ，求 xy 的最小值.0xy281xy总结提升规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正。

4、间接证明的一种基本方法反证法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； 即使感 悟回顾.预习（一）推理：1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 特点：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论” 是演绎推理的一般模式：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断（二） 、直接证明内容 综合法 分析法定义 利用已知条件和某些数学定义。

5、n=k (kN*， 且 k n 0)时结论正确，证明 n=k+1 时结论也正确由（1） 、 （2）得出结论正确【典型例题】例 1、已知数列 an=n2，b n=2n，从第几项起 an 始终小于 bn？证明你的结论。
解：选修 4-5 课本 P50 例 1例 2、证明不等式|sin n|n|sin|解：选修 4-5 课本 P51 例 2例 3、证明贝努利不等式：如果 x 是实数，且 x-1,x0,n 为大于 1 的自然数，那么有(1+x) n1+nx解：选修 4-5 课本 P51 例 3例 4、证明：如果 n(n 为正整数)个整数 a1,a2,an的乘积a1a2an=1,那么它们的和 a1+a2+ann。
解：选修 4-5 课本 P52 例 4【反思提升】【拓展延伸】1、若 n 为大于 1 的自然数，求证 2432n证明 (1)当 n=2 时， 241371(2)假设当 n=k 时成立，即 24321k 2413)(2413 2111, kkkk时则 当3、证明不等式 (nN) 。

6、达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法。
2、 放缩时常使用的方法：舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小；将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分式值增大；利用平均值不等式；利用函数单调性放缩。
二、典型例题例 1、已知 a、b、c 、dR +，求证： 2cadbcd解：见选修 4-5 课本例 2、已知 a、b 是实数，求证：11解：见选修 4-5 课本例 3、证明 21.322n证明：因为左式n+x41.)(21*Nn证明：由 f(n)= =1-n4112nn得 f（1）+f（2）+ f（n） n2121.)(2)14( *Nnn 【反思提升】【拓展延伸】1、求证： 22211734n证明： 2()n22221111517()().33424nn 。