竞赛讲座29有理数的运算

1、2） 53 52.某数的平方是 41，则这个数的立方是（ ）A.8B. C.8或 D.+8 或83.10n的意义( n 为正整数)是（ ）A.10 个 n 相乘所得的积 B.表示一个 1 后面有 n 个 0 的数C.表示一个 1 后面有（ n1）个 0 的数 D.表示一个 1 后面有( n+1)个 0 的数4.n 为正整数时，(1) n+(1) n+1的值是（ ）A.2 B.2 C.0 D.不能确定5.下列语句中，错误的是（ ）来源:gkstk.ComA.a 的相反数是 a B.a 的绝对值是| a|C.(1) 99=99 D.(2 2)=4三、计算题1.76(2)2.(20)(1) 70(4)3.(2) 2(1) 331(2)4.233 2(4)(9)0四、代数求值当 x=1, y=2, z=1 时，求( x+y)2( y+z)2( z+x)2的值.五、某股票经纪人，给他的股资者出了一道题，说明投资人的赢利。

2、2，1993=a3原式=a（a2）10000+（a3）（a2）（a10000+a）2=a（a2）10000+a（a3）a（a2）10000a（a2）=a23aa 2+2a=a=1996三、整体巧代换（1997 年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）四、反序巧相加（1989 年上海市初中数学竞赛试题）解：设原式=S，则括号内各项反序排列有此式与原式相加，得S=885。

3、握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算运算能力是运算技能与推理能力的结合这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度有理数运算常用的技巧与方法有：利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等问题解决例 1 （1）已知 ，记 ， ，21,3,na 112ba212ba，则通过计算推测 的表达式 _ （用含 的代数式表示）22nba nnn（2）若 、 是互为相反数， 、 是互为倒数， 的绝对值等于 ，则 的值是bcdx4xcdb_试一试 对于（2） ，运用相关概念的特征解题例 2 已知整数 、 、 、 满足 ，且 ，那么 等于（ ） a25ababcdabA B C D0121试一试 解题的关键是把 表示成 个不同整数的积的形式54例 3 计算（1） ；3259246060。

4、单例 1 计算：86()47.5120,45 231981(2)45注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算例 2 计算下式的值：211555+445789+555789+211445说 明 加 括 号 的 一 般 思 想 方 法 是 “分 组 求 和 ”， 它 是 有 理 数 巧 算 中 的 常 用 技巧 例 3 计算：S=1-2+3-4+(-1) n+1n例 4 在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化2用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值：(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对具体数的运算，若用字母 a 代换 100，用字母 b 代。

5、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。
两个互为相反数的数的和等于 二、例题精讲例 1 化简 632xx分析：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。
解：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+221x当 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+43当 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 106当 x6 时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2原式= 时当， 时当， 时当， 时当， 6x 2-x3 10421评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。
例 2 已知 的最大值和最小值。
(第六届迎春3123513xxx， 求杯决赛试题)分析：先解不等式，求出 x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。
0 1-3解：解不等式 得： 2。

6、较简单例 1 计算：分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“ -”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算例 2 计算下式的值：211555+445789+555 789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211 445)+(445789+555789)=211(555+445)+(445+555)789=2111000+1000 789=1000(211+789)=1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧例 3 计算：S=1-2+3-4+。

7、 3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。
两个互为相反数的数的和等于 二、二、例题精讲例 1 化简 632xx分析：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。
解：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当 21x时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2当3时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4当 6x时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10当 x6 时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2原式= 时当， 时当， 时当， 时当， 6x 2-x3 10421评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。
例 2 已知3123513xxx， 求的最大值和最小值。
(第六届迎春0 1-3杯决赛试题)分析：先解不等式，求出 x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。
解：解不。

8、1996+195分析：直接计算较繁，根据题目，将原有数字凑成相应的整数或便于计算的数，达到简单的目的。
解：原式=(40002)+(30003)+(20004)+(2005)=(4000+3000+2000+200) (2+3+4+5)=920014=9186三、拆项相消法利用一对相反数的代数和为零这一性质常可简化运算。
12小 数大 数， 项 数项 数末 项 ）（ 首 项连 续 自 然 数 的 和 4982495314312. 计 算例 )31()2()2()( 解 ： 原 式 4814915231 84 )31(248)95810321.3计 算 ：例 10 为 相 反 数 的 项 而 相 消 。
进 行 拆 项 ， 以 此 出 现 互总 结 ： 利 用 1)(1nn 。
分 别 化 成 两 个 分 数 的 差此 题 的 关 键 是 把 分 数 0,32,2四、分组法五、错位相减法”之 和 。
“分 别 配 对 构 成 一 系 列 的、二 项 、 第 三 项 与 第 四 项 项 与 第， 故 采。