1、第3期(总第64期) 山西广播电视大学学报 No32Q堕生!旦壁幽型堑曼h!鲤!幽i!鱼型型尘!堡i盟 ： 丛型：至Q堡摘要：在高等数学教学中，教师不夜要向学生传授最有价值的知识而且要重视培养学生的数学思维能力和数学素养。数列极限概念包含了事物无限运动变化过程和无限逼近思想，体现了有限与无限、过程与结果、运动与静止等辩证关系，有着丰富、典型、深刻的辩证思想。关键词：数列极限；过程与结果；有限与无限；静态与动态；辨证关系 中图分类号：CA21文献标识码：B文章编号：1008-8350(2008)0048皿，高等数学有着丰富、典型、深刻的辩证法思想。恩格斯对19世纪70年代以前的数学和各门自然科学
2、都有深入的研究，他特别指出：数学是辩证法的辅助工具和表达方式，培养学生辩证唯物主义观点和辩证思维能力是高等数学教学目的之一，要达到这一目的，笔者认为关键是在进行高等数学教学时，引导学生认识和理解高等数学中蕴涵的辩证关系。极限是高等数学中的重要概念之一，高等数学中的许多重要概念都是用极限概念来定义的，因而极限概念不仅是一个数学概念，而且也是一种数学思维方法和数学思想，是高等数学的基础。而数列极限又是学生最早学习的一个极限概念，它包含了事物无限运动变化过程和无限逼近思想，体现了有限与无限、过程与结果、静态与动态等辩证关系，有着丰富、典型、深刻的辩证思想。我们认为理解和把握数列极限概念中蕴涵的这些辩
3、证思想是学习数列极限概念的关键所在，对学习高等数学中的其他概念也有很大帮助。一、数列极限是过程与结果的统一r 1 1 1 1 1 1E l给定一个数列1-砉即了1，寺，雨l,J，”，l一砉，L 厶 J _ V 1V -观察其变化趋势可以发现，当越来越大时它变化的“最后”结果必然是1，这个1就是该数列的极限，数列中的每一项都不是1，数列中的每一项就是数列的变化过程，1是该数列变化的最后结果。一方面数列中的每一项都不是1，反映了过程和结果对立的一面，另外一方面，随着变化过程的进行，数列又转化为1，反映了过程与结果又有统一性。过程决定了结果，结果体现了过程，在定量描述的极限定义中，可看到其中蕴涵着深
4、刻的哲学原理：就是说当自变量n在无限增收稿日期：20080202主要作者简介：陈丫丫(1982一)，女，山西阳泉人，太原大学教育学院。在职研究生。48大过程中，变量fill也在向它的极限(常数)A无限接近，但它又永远不是A，可见极限A反映了变量孤无限变化的个结果以及过程与结果相对立的一面。但取极限的结果又使all转化为A，这又反映了过程与结果相统一的一面，同时也说明了在一个无限变化过程中，变量向着某个常量无限接近，这就是说在一定条件下，变量可以向常量转化，这正是从数量上反映了客观事物在个无限变化过程中，向着某种确定的状态转化，因而数列极限是变化过程与变化结果的对立统一。二、数列极限是有限与无限
5、的统一我国古代魏晋时期，数学家刘徽提出增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，就已体现了“有限与无限”的思想，所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”又如战国时期庄周所著的庄子天下篇中“尺棰取半”的名例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，一尺长的棰，在长度上是有限的、相对稳定的，“日取其半”这一过程是对捶无限分割的过程，在“万世不竭”的无限分割中，一次比一次短，一次比一次微小，永无止境。极限概念是数学上的一个长期困扰着人们的概念，可以说，数学的发展过程就是人们对极限的不断认识的过程。特别是对于微积分而言，极限是一个贯穿始终的重要概念，而数列极限概念又是
6、基础。首先看数列的极限的描述定义：“数列a。当n无限增大时a。无限趋近于常数A，则A为数列a。的极限。记作lima。=A”，这种描述性语言，人们容易接受，现在一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，有明显的直观痕迹，不能作为科学论证的逻辑基础。为了排除上述描述性定义的直观痕迹，数学家魏尔斯托拉斯提出了数列极限的8一N定义。即如果对任意正数，总存在正整数N，当nN时，都有l a。一hl8成立，则称数列a。存万方数据2008年5月 陈丫丫，刘惠青：试论数列极限中蕴涵的若干辩证思想在极限，A称为数列a。的极限。定义中的正数8是一个距离指标，用
7、来刻划a。与A的接近程度。正数8具有二重性，一是它的任意性，即可以任意选取，二是相对固定性，虽然8可以任意给定，但一经给定就相对固定下来，作为个固定的正数看待，正数e的二重性体现了这个数列逼近它的极限时要距离经历个无限过程(这个无限过程通过的任意性来体现)，但这个无限过程又要一步步地来实现，而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过8的相对固定性来体现)。定义的正整数N是依赖于8,8变小时，N就变大。因此数列极限的8一N定义，是借助一系列无限多个定数(有限数)来完成定量地描述无限过程。它揭示了有限中包含着无限，无限是由有限组成，当无限以有限的形式表现出来的时候，它反映了有限向无限转化的结果
8、。有限是无限的基础，无限是有限的发展，两者既有质的不同又相互联系，既对立又是统一的整体，在一定条件下还可以相互转化。在数学中，经常通过极限来实现有限和无限的转化。比如个收敛的正项级数之和是由无限项组成的，但是它的极限值却是个具体数值。反过来，在其定义域内正弦函数值是个具体的数值。但是它却展开为无穷项的级数。再如导数和积分也是某种特殊的极限，因此，也是有限和无限转化的有力工具，数学通过有限和无限转化这一杠杆，可以解决许多实际问题。三、数列极限是静态与动态的统一数列极限的一N定义，术语抽象，符号陌生，其中的辩证关系不易搞清，学生会提出的一系列问题：描述性定义简单明白，为什么要搞个8一N定义?它与描
9、述性定义有什么不同?数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义?正如R柯朗与H罗宾所说：“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的。”在数列极限的一N定义中，整个过程来说正数8是任意的变化的，但是从过程的每个瞬间来说，正数8又是固定的有限的。借助不等式，通过和N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。在该定义中，涉及的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不求助于运动的直观。则用静态的定义刻画变量的变化趋势。这种“静态动态静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。数列极限髋念实质是一种动态观念。lim a。=A表达的是一种动态的趋势。但
10、是当我们对它进行刻画时，必须采取用静态的办法，这就好比是在进行放电影，这个电影描绘了a。趋向于A的过程。每给定个，就好比是电影的个画格，在这个画格中，8便是常数(在整个过程中，8可取任意正数)，是固定不变的。而又是任意的，考察了每一画格，便可断定这部电影描绘的趋势是对的。可见数列极限是静态与动态的统一。综上所述，数列极限中蕴涵着有限与无限、过程与结果、静态与动态等辩证思想，理解极限概念所蕴涵的辩证法思想对学习高等数学中的其他概念也有很大帮助。高等数学内部处处蕴涵着辩证思想，数学家在哲学的沧桑巨变中不断成熟，哲学观点在数学成果的推动下不断进步。数学教师应将哲学观点融入教学；用唯物辩证法的观点，全
11、面、联系地看待所讲内容，揭示和利用无限与有限、过程与结果、静态与动态等的对立统一思想，人们可以从有限认识无限，从过程中认识结果，从静态中认识动态，从不变认识万变，从量变认识质变，从近似认识准确。数学与哲学辩证法之间始终存在着千丝万缕的联系，在高等数学教学中充分运用和体现这一哲学思想，使之成为一种培养学生科学素质的根本和有效的方法。教师本身对此的认识要达到一定的高度。高等数学教育不仅是知识教育，更是一种素质教育，要充分运用辩证法思想，通过各个教学环节，逐步培养学生具有一定的抽象思维能力和创造性思维能力，逻辑推理能力，辩证思维能力，使学生从这种学习中获得对高等数学的综合印象与系统了解，并在自己的专
12、业上能自如地运用所学的数学知识，不仅能够熟悉数学学习的基本方法，而且在一定程度上了解高等数学的基本精神，对重要数学思想能切中要害的剖析，洞悉数学各部分之间的有机联系。在具有比较熟练的运算能力的同时，还具有一定的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，从而不断提高自身的科学素质。参考文献：1同济大学数学系高等数学M】上海：高等教育出版社，1996On the Dialectical Thoughts in the Sequence LimitChen Yayal-Liu Huiqin92(1The Educational Institute of Taiyuan University。Tai
13、yuan-Shanxi，030002；2Shanxi TV University。Taiyuan。Shanxi03(1讶)Abstract：In the teaching of”Higher Mathematics”，the teachers not only pass on the valuable knowledge to thestudents，but also attach importance to cultivating the studentsthinking ability of mathematics and qualities of mathe-maticsThe conc
14、ept of sequence limit contains the process of something moves limiflessly and the infinite thought，whichhas embodied the dialectical relationship of definite and indefinite，process and result，and motion and rest，and has therich，typical and profound dialectical thoughtKey words：sequence limit；process
15、 and result；definite and indefinite；motion and rest dialectical relationship_本文责编赵凤缓49万方数据试论数列极限中蕴涵的若干辩证思想作者： 陈丫丫， 刘惠青， Chen Yaya， Liu Huiqing作者单位： 陈丫丫,Chen Yaya(太原大学教育学院,山西,太原,030002)， 刘惠青,Liu Huiqing(山西广播电视大学,山西,太原,030027)刊名： 山西广播电视大学学报英文刊名： JOURNAL OF SHANXI RADIO 从结果来看,又是无限向有限转化.因此,我们说,极限概念体现了过程与结果、有限与无限、常量与变量的对立统一关系.而极限方法是利用无限与有限的互相转化,来解决微积分中问题的一种有力的数学工具.本文就数列极限和函数极限的定义、方法,以及数列极限和函数极限之间的关系等方面具体谈谈自己的认识.引证文献(1条)1.王咪咪 浅谈高等数学中极限概念的教学期刊论文-滁州学院学报 2008(6)本文链接：http:/
