1、第三节 向量范数和矩阵范数,向量范数和矩阵范数是研究迭代法及其收敛性、估计方程组近似解的误差的一种有力工具，本节简要介绍其相关概念。 一、向量范数 1、向量范数的定义 （1）绝对值 范数的最简单的例子，是绝对值函数： 并且有三个熟知的性质：x 0 x 0 x = 0当且仅当x = 0 ax = a x a为常数 x+ y x + y ,第三节 向量范数和矩阵范数,（2）范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度 欧氏范数也满足三个条件： 设x = (x1, x2) x 0 x 0 ax = a x a为常数 x+ y x + y 前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它
2、两边长度之和。因此，称之三角不等式。,（勾股定理）,第三节 向量范数和矩阵范数,（3）下面我们给出n维空间中向量范数的概念：设X = (x1, x2, , xn)T，记为X R n定义1：设X R n， 表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：非负性：即对一切X R n，X 0, 0齐次性：即为任何实数a R，X R n，三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有从以上规定范数的三种基本性质、立即可以推出Rn中向量的范数必具有下列性质： 0 = 0,第三节 向量范数和矩阵范数,2、常用的范数 设X = (x1, x2, xn)T，则有： （1）向量的1范数（2）向
3、量的2范数（3）向量的无穷范数不难验证，上述三种范数都满足定义的条件。,第三节 向量范数和矩阵范数,3、举例 例1：求向量范数,解：,第三节 向量范数和矩阵范数,例2：P128 设下x=1 2 3T，求x的1范数，2范数和无穷范数 解：根据定义可以得到：,第三节 向量范数和矩阵范数,二、矩阵范数 1、定义 对于任意n阶方阵A，按一定的规则由一实数与之对应，记为 ，若满足：则称 为矩阵A的范数。,正定,奇次,三角不等,第三节 向量范数和矩阵范数,2、常用的矩阵范数 （1）矩阵的1范数,第三节 向量范数和矩阵范数,（2）矩阵的无穷范数,第三节 向量范数和矩阵范数,（3）矩阵的2范数矩阵的谱半径：
4、矩阵B的诸特征值为： 则特征值的最大绝对值称为B的谱半径，记为：则： 矩阵的2范数其实为AAT的谱半径的1/2次方。,第三节 向量范数和矩阵范数,5、举例 例1：求矩阵A的各常用范数解：,第三节 向量范数和矩阵范数,先求ATA的特征值：特征方程为：解之可得ATA特征值：,第三节 向量范数和矩阵范数,可得： 所以：对各个常用范数比较：,容易计算,计算较复杂,对矩阵元素的 变化比较敏感,使用最广泛,性质较好,第三节 向量范数和矩阵范数,例2：,第三节 向量范数和矩阵范数,例3：P129 例67,第四节 解线性方程组的迭代法,迭代法在计算过程中保持迭代矩阵不变，这类方法主要适用于大型稀疏线性方程组的
5、求解。 其基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方程组的解。,第四节 解线性方程组的迭代法,一、迭代法的基本思想 设有线性代数方程组： a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1+an2x2+annxn=bn用矩阵表示： Ax =b 其中A 为系数矩阵，非奇异且设aii0；b为右端，x为解向量 做方程组的一个等价变换为：x=Bx+f,第四节 解线性方程组的迭代法,任取初始向量x(0)，按照下列公式构造迭代序列：结论：如果迭代序列 收敛，则它一
6、定收敛到方程组的解概念： 迭代公式：迭代矩阵：B 不同的迭代矩阵构成不同的迭代法，先介绍两种迭代法：雅可比迭代法和高斯赛得尔迭代法。,第四节 解线性方程组的迭代法,二、雅可比（ Jacobi ）迭代法 1、公式推导 方程组： a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1+an2x2+annxn=bn,-(1),第四节 解线性方程组的迭代法,依此类推,线性方程组可化为:,-(2),第四节 解线性方程组的迭代法,对(2)作迭代过程：,-(3),则(3)式转化为矩阵形式
7、：,-(4),第四节 解线性方程组的迭代法,另外，(2)还可以转化为矩阵形式：（教材）,-(5),第四节 解线性方程组的迭代法,令：,A的下三角部分矩阵,A的上三角部分矩阵,-(6),第四节 解线性方程组的迭代法,由式（4）（5）（6）可以有：,-(7),式（7）等价线性方程组为,称 (7)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法),由式（4）（5）（6）总结有：,第四节 解线性方程组的迭代法,2、举例 例1：用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4,解：雅克比迭代公式为：,第四节 解线性方程组的迭代法,可以得到：,第四节 解线性方程组的迭代法,依此类推,得方程组满足精度的解
8、为x12,迭代次数 为12次,x4 = 3.0241 1.9478 0.9205 d = 0.1573x5 = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 0.0914x6 = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 0.0175x7 = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 0.0059x8 = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 0.0040x9 = 3.0003 1.9999 0.9997 d = 7.3612e-004 x10 = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 2.8918e-004 x11 = 3.0000 2.0000
9、1.0000 d = 1.7669e-004 x12 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 3.0647e-005,第四节 解线性方程组的迭代法,例2：用Jacobi迭代法求解方程组的解 P131,第四节 解线性方程组的迭代法,三、高斯赛德尔迭代法法 1、高斯赛德尔迭代法的推导 分析Jacobi迭代法的迭代过程，将其公式细化,第四节 解线性方程组的迭代法,观察发现：,高斯赛德尔迭代分量的形式：,第四节 解线性方程组的迭代法,第四节 解线性方程组的迭代法,由上式可以得到：写成矩阵的形式：,第四节 解线性方程组的迭代法,可以进一步推导：,上式称为Gauss-Seidel迭代法,简称
10、G-S法,第四节 解线性方程组的迭代法,2、举例： 用高斯赛德尔迭代法求解方程组,误差不超过1e-4,解：,第四节 解线性方程组的迭代法,通过迭代，至第7步得到满足精度的解x7从该例可以看出,Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法要高,x1 =2.5000 2.0909 1.2273 d =3.4825 x2=2.9773 2.0289 1.0041 d =0.5305 x3 =3.0098 1.9968 0.9959 d =0.0465 x4 =2.9998 1.9997 1.0002 d =0.0112 x5 =2.9998 2.0001 1.0001 d =3.9735e-004 x6 =3.0000 2.0000 1.0000 d =1.9555e-004 x7 =3.0000 2.0000 1.0000 d =1.1576e-005,
