1、3 4向量和矩阵的范数 为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性 我们需要对Rn n维向量空间 中的向量或Rnxn中矩阵的 大小 引入一种度量 向量和矩阵的范数 向量和矩阵的范数 在一维数轴上 实轴上任意一点x到原点的距离用 x 表示 而任意两点x1 x2之间距离用 x1 x2 表示 向量和矩阵的范数 而在二维平面上 平面上任意一点P x y 到原点的距离用表示 而平面上任意两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的距离用表示 推广到n维空间 则称为向量范数 向量范数 常见的向量范数 向量范数性质 向量范数性质 等价性质 向量的收敛性 3 4 2矩阵范数 相容范数 算子范数 算子范数
2、 算子范数 常见的矩阵范数 常见的矩阵范数 对称矩阵范数 例题 3 4 3矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 例题 谱半径和矩阵序列的收敛性 矩阵序列的收敛性 3 5病态方程组与矩阵的条件数 3 5 1病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组 扰动方程由于计算机字长限制 在解AX b时 舍入误差是不可避免的 因此我们只能得出方程的近似解 是方程组 A A x b b 1 在没有舍入误差的解 称方程 1 为方程Ax b的扰动方程 其中 A b为由舍入误差所产生的扰
3、动矩阵和扰动向量 当 A b的微小扰动 解得 1 的解与Ax b的解x的相对误差不大称为良态方程 否则为病态方程 扰动方程组的误差界 3 5 2矩阵的条件数 矩阵的条件数的性质 相对误差的事后估计 定理3 6 3 例题 3 6解线性方程组的迭代法 3 6 1解线性方程组迭代法概述 解线性方程组迭代法概述 解线性方程组迭代法概述 解线性方程组迭代法概述 3 6 2Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法 Jacobi迭代法 Jacobi迭代法 例题 例题 Jacobi迭代法的矩阵形式 Jacobi迭代法的算法 Gauss Seidel迭代法 Gauss Seidel迭代法 例题 Gauss Seidel迭代法的算法 3 6 3线性方程组迭代法收敛条件 迭代法的收敛条件 迭代法的收敛条件 迭代法的误差估计 迭代法的误差估计 迭代法的误差估计 收敛的判别条件 收敛的判别条件 收敛的判别条件 收敛的判别条件 收敛的判别条件 例题 例题 例题 例题
