1、第一章 离散时间信号与系统,2,本章目录,离散时间信号序列,离散时间系统,线性常系数差分方程,连续时间信号的取样,Matlab实现,3,1.1 引言,信号 信号与信息 信号的表示 信号的分类,系统 系统的作用 系统的分类 系统的描述与分析,4,信号与信息,信号是信息的表现形式,信息则是信号的具体内容 交通灯信号传递的信息：红灯停而绿灯行。,信号是传递信息的函数 数学上表示成一个或多个独立变量的函数 一维变量：时间或其它参量 语音信号表示为一个时间变量的函数 静止图像信号表示为两个空间变量的亮度函数,5,信号的分类,连续时间信号： 连续时间域内的信号 幅度可以是连续数值，或是离散数值,离散时间信
2、号： 离散时间点上的信号 幅度同样可以是连续数值，或是离散数值,特殊形式：模拟信号和数字信号 模拟信号：时间和幅度都是连续数值的信号，实际中与连续时间信号常常通用。 数字信号：时间和幅度都离散化的信号。,6,本章主要内容,离散时间信号的基本概念,离散时间系统的定义及其性质,线性常系数差分方程及其求解方法,理想取样：连续时间信号数字处理的概念和基本方法,Matlab实现,7,1.2 离散时间信号序列,序列的定义及表示,序列的基本运算,几种常用序列,序列的周期性,用单位脉冲序列表示任意序列,8,1.2.1 序列的定义及表示,序列的定义 数字序列：离散时间信号 一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出数
3、值,序列的表示 x = x(n)， -n+ (1.1) 图1.1 图形表示 用单位脉冲序列表示,9,序列表示,x = x(n)， -n+,n 代表nT,nT 指均匀间隔的离散时间点,T 采样时间间隔,n 为非整数时没有定义，不能认为此时x(n)的值是零,10,图1.1 序列的图形表示,11,1.2.2 序列的基本运算,和 积 移位 标乘 翻转,累加 差分 时间尺度变换 序列的能量 卷积和,12,基本运算序列的和,设序列为x(n)和y(n)，则序列 z(n)= x(n)+ y(n) (1.2)表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。,13,例：序列的和,例1.1 设序列,计算序列的和
4、x(n)+ y(n)。,解：,14,例：序列求和图示,15,基本运算序列的积,设序列为x(n)和y(n)，则序列 z(n)= x(n) y(n) (1.3)表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。,16,例：序列的积,例1.1 设序列,计算序列的和x(n) y(n)。,解：,17,例：序列求积图示,x(n),18,基本运算序列的移位,设序列为x(n)，则序列 y(n)= x(n-m) (1.4) 表示将序列x(n)进行移位。,m为正时 x(n -m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位 x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位m为负时，则相反。,19,例：序列的移位,例1.1
5、设序列,计算序列的和x(n+1)。,解：,20,例：序列移位图示,x(n),21,基本运算序列的标乘,设序列为x(n)，a为常数(a 0)，则序列 y(n)= ax(n) (1.5)表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。,22,例：序列的标乘,例1.1 设序列,计算序列的和4x(n)。,解：,23,基本运算序列的翻转,设序列为x(n)，则序列 y(n)= x(-n) (1.6)表示以n= 0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。,24,例：序列的翻转,例1.2 设序列,计算序列的和4x(n)。,解：,25,基本运算序列的累加,设序列为x(n)，则序列(
6、1.7)定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的所有x(n)值求和。,26,基本运算序列的差分,前向差分：将序列先进行左移，再相减 x(n) = x(n+1)- x(n) (1.8),后向差分：将序列先进行右移，再相减 x(n) = x(n)- x(n-1) (1.9),由此，容易得出x(n) = x(n-1),27,多阶差分运算,二阶前向差分,二阶后向差分,单位延迟算子D，有 Dy(n)= y(n-1),y(n)= y(n)- y(n-1)= y(n)- Dy(n)= (1- D)y(n),= 1-D,k 阶后向差分,(按二项式定理展开),二阶后向差分,28,基本运算时间尺度(比例)变换,设
7、序列为x(n)，m为正整数，则序列抽取序列 y(n)= x(mn) (1.10),x(mn) 和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。,插值序列(1.11),29,抽取序列,x(mn)：对x(n)进行抽取运算不是简单在时间轴上按比例增加到m倍以1/m倍的取样频率每隔m-1个点抽取1点。保留 x(0),30,插值序列,x(n/m) ：对x(n)进行插值运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点保留 x(0),31,基本运算序列的能量,设序列为x(n)，则序列(1.12)定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和；若为复序列，取模值后再求平方和。,32,基本运算序列的卷积和,设
8、序列为x(n)和z(n)，则序列(1.13)定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。,33,卷积和计算的四个步骤,翻转：x(m) ，z(m) z(-m)移位：z(-m) z(n-m)n为正数时，右移n位n为负数时，左移n位相乘：z(n-m) x(m) （m值相同）相加：y(n) =z(n-m) x(m),34,对应点相乘！,例：卷积和计算,例1.3 设序列,求y(n)= x(n)*z(n) 。,解：,n0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。,0n4时，,对应点相乘！,35,例：卷积和计算,4n6时，,4n6时，,n10时，x(m)与z(
9、n-m)没有重叠，得y(n)= 0。,36,1.2.3 几种常用序列,单位脉冲序列 单位阶跃序列 矩形序列 实指数序列 正弦序列 复指数序列,37,单位脉冲序列,(n)只在n =0时取确定值1，其它均为零 (n)类似于(t),(n-m)只有在n= m时取确定值1，而其余点取值均为零,38,单位阶跃序列,u(n)类似于u(t) u(t)在t= 0时常不定义，u(n)在n= 0时为u(0)= 1,(n)和u(n)的关系：,(n) = u(n)-u(n-1),39,单位矩形序列,N 为矩形序列的长度,和u(n)、(n)的关系 ：,40,实指数序列,a为实数,当|a|1时序列收敛,当|a|1时序列发散
10、,41,正弦序列,A为幅度 为数字域角频率 为起始相位,x(n)由x(t)= sint 取样得到,x(n)= Asin(n+),归一化: =T =/fs (与线性关系 ),42,复指数序列,为数字域角频率,用实部与虚部表示,用极坐标表示,=0时，序列具有以2为周期的周期性,43,1.2.4 序列的周期性,对于序列x(n)，如果对所有n 存在一个最小的正整数N，满足 x(n)= x(n+N) 则序列x(n)是周期序列 ，最小周期为N 。 以正弦序列 为例讨论周期性,设 x(n)= Asin(n+),则有 x(n+N) =Asin(n+N)+=Asin(N+n+),若满足条件N= 2k，则,x(n
11、+N)= Asin(n+N)+= Asin(n+) = x(n),44,周期性讨论,N、k 为整数，k 的取值满足条件，且保证N 最小正整数。其周期为,2/为整数时，取k = 1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2/。,例1.4 序列 ，因为2/= 8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。,45,周期性讨论,2/为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2/。,例1.5 序列 ，2/= 8/3是有理数，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。,2/为无理数时，任何k 都不能使N 为正整数，这时正弦序列不是周期序列。,例 序列,指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同
12、。,46,1.2.5 用单位脉冲序列表示任意序列,任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示，即,x(n) 可看成是x(n)和(n)的卷积和，式中,例1.6,47,1.3 离散时间系统,离散时间系统的定义及表示,线性时不变系统,单位脉冲响应与卷积和,线性时不变系统的性质,因果系统和稳定系统,48,1.3.1 离散时间系统的定义及表示,离散时间系统定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一变换或运算。 以T 表示这种运算 y(n)= Tx(n),对变换T 加以不同的约束条件，所定义的系统就具有不同的特性和功能。 线性时不变系统: 最重要、最常用，可表征许多物理过程。,49,1.3.
13、2 线性时不变系统,线性系统 满足叠加原理 叠加原理包含可加性和齐次性两方面性质,时不变系统 系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关 运算关系在整个运算过程中不随时间而变化,线性时不变系统 既满足叠加原理，又满足时不变性的系统,50,线性系统,设系统的输入序列与输出分别为,可加性: 如果系统的输入之和与输出之和满足,齐次性(或比例性): 设a为常数，系统的输入增大a倍，输出也增大a倍,线性系统与非线性系统,51,例：证明一个线性系统,注意：必须证明系统同时满足可加性和齐次性，且信号及比例常数都可以是复数。,例1.7 试分析下列系统的线性 (1) y(n)= 2x(n)-3， (2) y(n)
14、= x(Mn)，其中M为正整数。,不满足叠加原理，非线性系统,满足叠加原理，线性系统,52,时不变系统,输入序列x (n)移动任意m 位后，输出序列y (n)也移动m 位，数值却保持不变。,m 为任意常整数,时不变系统也称为移不变系统,53,例：证明一个时不变系统,例1.7 试分析下列系统的时不变性 (1) y(n)= 2x(n)-3， (2) y(n)= x(Mn)，其中M为正整数。,二者相等，具有时不变性,时变系统,54,1.3.3 单位脉冲响应与卷积和,单位取样响应(单位脉冲响应) h(n)=T (n) 线性时不变系统输入为(n)时对应的输出,线性时不变系统 都可以用它的单位脉冲响应h(
15、n)来表征 已知h(n) 可得到线性时不变系统对任意输入的输出,55,推导卷积和表达式,(n)表示x(n),系统输出,叠加原理,时不变性,卷积和表达式: 表示线性时不变系统的输出等于输入序列和单位脉冲响应的卷积。,56,1.3.4 线性时不变系统的性质,交换律结合律分配律,可以推广到多个系统的情况，由卷积和的定义可以很容易加以证明。,57,1.3.5 因果系统和稳定系统,因果系统 系统某时刻的输出y(n)只取决于此时刻x(n)和以前的输入x(n-1)，x(n-2)，而和此时刻以后的输入x(n+1)，x(n+2)，无关。,先因后果 因果系统的响应不会出现于外加输入之前。,非因果系统 当前的输出还
16、取决于未来的输入，不符合因果关系。,58,因果性的充分必要条件,线性时不变系统具有因果性的充要条件 h(n)= 0， n0,证明 充分条件 若n0时，h(n)= 0，则,因而 n0时刻的输出,可见，y(n0)只与mn0时的x(m)有关，因而是因果系统。,59,因果条件证明,证明 利用反证法证明必要条件,假设因果系统，n0时h(n) 0，则,在所设条件下，第二个求和式中至少有一项不为零，y(n)将至少和mn时的某一个x(n)值有关，这不符合因果性，假设不成立。,60,例：判断因果系统,例1.8 判断差分系统的因果性。 (1) 前向差分系统: y(n)= x(n+1)- x(n); (2) 后向差
17、分系统: y(n)= x(n)- x(n-1) 。,解 因为前向差分系统的y(n)决定于x(n+1)，故系统为非因果的。,而后向差分系统定义为y(n)= x(n)- x(n-1)，显然是因果的。,61,讨论因果系统可实现性,因果系统是物理可实现的系统；非因果系统是不可实现的系统。,在具有较大延时的情况下，可以用因果系统去逼近非因果系统。 例如语音处理、气象、地球物理学等。,非因果系统在理论上是存在的。 例如，理想低通滤波器以及理想微分器都是非因果系统，但它们是不可实现的。,62,稳定系统,稳定系统 系统的每个有界输入，对应产生的输出都有界。 如果输入满足|x(n)|M+(M为正常数)，有输出|
18、y(n)|P+ (P为正常数) 。,判断系统不稳定 只要找出一个特别的有界输入，对应的输出是无界的，则该系统就是不稳定的。,判断系统稳定 必须证明所有有界输入，其输出都是有界的。,63,稳定性的充分必要条件,线性时不变系统具有稳定性的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即,证明 充分条件 若式成立，对于所有n都有|x(n)|M，得,即输出y(n)有界，系统不稳定。,64,稳定条件证明,证明 利用反证法证明必要条件,假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和,定义一个有界输入,计算输出，有,即y(0)无界，系统不稳定，因此假设不成立。,65,例：判断稳定系统,例1.9 判断累加器系统的稳定性,解 考虑
19、有界输入x(n)= u(n)，累加器的输出为,虽然n为有限值时，系统输出也为有限值，但对于所有n值(包括+)不存在有限值P，使得(n+1)P+，故系统输出无界。,66,例：判断因果稳定系统,例1.10 已知线性时不变系统的单位脉冲响应,解 因为n0时，u(-n-1)= 1，所以h(n) 0，故系统是非因果系统。,所以|a|1时系统稳定，|a|1时不稳定。,式中a为实常数，讨论其因果性和稳定性。,收敛序列：模值随n加大而减小，如|a|1时h(n) ； 发散序列：模值随n加大而加大，如|a|1时h(n) 。,因为,67,1.4 线性常系数差分方程,离散时间系统的数学模型差分方程,线性常系数线性差分
20、方程求解,68,1.4.1 离散时间系统的数学模型差分方程,差分方程是描述函数序列差分之间关系的方程，由序列及其各阶差分进行线性叠加组成。 例如，对于一个二阶差分方程,将= 1-D代入方程，得到,展开得到二阶线性常系数差分方程,69,线性常系数差分方程的一般形式,线性时不变系统的数学模型,式(1.44) 不必是因果。假设是因果系统，变换得到,线性：x(n-r)和y(n-k)项都只有一次幂且不存在它们的相乘项，也没有相互交叉项,常系数：决定系统特征的系数均为常数,阶数：y(n-k)项变量k的最大值与最小值之差。,70,差分方程的方框图表示,理论上表示系统，也能在计算机上实现系统。 例如，一阶差分
21、方程,b0 x(n)表示将输入x(n)乘上常数b0 -a1y(n-1)表示将序列y(n)延时一位后乘以常数-a1 两个结果相加就得到y(n)序列 图中代表相加器，代表乘法器，z-1代表延时一位的延时单元。,71,1.4.2 线性常系数差分方程求解,差分方程的确定解不仅与差分方程的形式有关，而且还与其初始条件有关。 差分方程求解实际上求系统的全响应 零输入响应：y1(n) 零状态响应：y2(n) 全响应：全解 y(n)= y1(n)+ y2(n) 求解差分方程 时域求解法 变换域求解法,72,例如 递推法求特解,例1.13 已知一个因果线性时不变系统的差分方程y(n)= ay(n-1)+ x(n
22、)，设初始条件y(n-1)=0，求系统的单位脉冲响应。,解 令x(n)= (n)，于是有,由于系统具有因果性，递推如下,由此求出,h(n)= ah(n-1)+ (n),73,1.5 连续时间信号的取样,74,1.5.1 理想取样,实际取样: T，调制信号xa(t)，被调脉冲载波信号p(t)是脉宽周期T的周期性矩形脉冲串 。,理想取样: 开关闭合时间无穷短0 ，取样信号是xa(t)与矩形脉冲串p(t)相乘的结果 。,0 时，,理想取样输出为,问题的提出：求理想取样的频谱？,75,理想取样的频谱,p(t)是周期函数，展开成傅里叶级数,取样角频率 s= 2/T，取样频率 fs= 1/T,级数的系数,
23、于是,p(t)的傅里叶变换为,76,频谱分析,频谱可表示为,取样信号的频谱是连续时间信号频谱以取样频率为周期进行周期延拓而成 频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍,77,频谱分析结论,对连续时间信号进行理想取样后，取样信号的频谱是原信号频谱周期延拓形成，其周期等于取样频率s。,奈奎斯特取样定理：要想取样后能够不失真地还原出原信号，则取样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。,最高截止频率c 奈奎斯特频率s 折叠频率s/2,若信号的最高频率超过折叠频率，则延拓分量产生频谱混叠。,78,1.5.2 信号恢复,利用理想低通滤波器还原满足奈奎斯特取样定理的取样信号。,理想低通滤波器,取样信号经过理想低通滤波
24、器后的频谱,79,讨论,单位脉冲响应h(t),于是输出,80,内插函数,内插函数 h(t-nT),取样信号恢复出原连续时间信号,81,1.6 Matlab实现,常用序列的Matlab实现,序列运算的Matlab实现,Matlab求解离散系统的差分方程,单位脉冲序列 单位阶跃序列 矩形序列 实指数序列 正弦序列 复指数序列,翻转 序列的能量 卷积和,82,单位脉冲序列(n-1),n = -3:3; % 生成位置向量 x = (n-1) = 0; % 生成单个脉冲序列 stem(n,x); axis(-3,3,0,1.5); % 标示坐标,83,单位阶跃序列 u (n+1),n = -3:3; %
25、 生成位置向量 x = (n+1) = 0; % 生成阶跃序列 stem(n,x);axis(-3,3,0,1.5);,84,矩形序列生成函数,function x,n = rectseq(n0,n1,n2,N) % 单位矩形序列生成函数 % 调用方式 x,n = rectseq(n0,n1,n2,N) n = n0:n2; % 生成位置向量 x = (n-n1) = 0 % 生成矩形脉冲序列,85,矩形序列,x,n = rectseq(-3,-1,4,5); stem(n,x); axis(-3,5,0,1.5);,86,实指数序列,n = 0:10; % 生成位置向量 x = (0.6).
26、n; % 生成实指数序列 stem(n,x); axis(0,10,0,1.5);,87,正弦序列 3sin(0.1n+/3),n = 0:1:20; % 生成位置向量 x = 3*sin(0.1*pi*n+pi/3); % 生成正弦序列 stem(n,x); axis(0,20,-4,4);,88,复指数序列,n = -2:10; x = exp(0.2-0.5j)*n); % 复指数序列 subplot(1,2,1), stem(n,real(x); %用空心圆画点 line(-5,10, 0,0); % 画横坐标 subplot(1,2,2), stem(n,imag(x),filled
27、); %用实心圆画点 % line(-5,10, 0,0),89,翻转: 调用fliplr,n = -3:3; %生成一个序列 x = 0,0,1,0.5,0.25,0.125,0;stem(n,x); x = fliplr(x); %x排列次序左右翻转 n = -fliplr(n); %向量n对n= 0翻转 stem(n,x);,90,序列的能量,conj求共轭复数 sum求总和,E = sum(x.*conj(x);,abs求幅值 sum求总和,E = sum(abs(x).2);,91,卷积和：调用conv,x = 3,-3,7,0,-1,5,2; % 序列x的非零区间-4n2 h =
28、2,3,0,-5,2,1; % 序列x的非零区间-1n4,% 调用conv计算卷积和 y = conv(x,h);,运行结果：无位置信息,y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2,92,卷积和函数：convextd.m,function y,ny = convextd(x,nx,h,nh) % 序列y为序列x和序列h的卷积 % ny，nx，nh 分别为序列y，x和h的位置向量 % 调用方式 y,ny = convextd(x,nx,h,nh) ny1 = nx(1)+nh(1); % 计算卷积后的起点位置 ny_end = nx(end) + nh(end); %
29、 计算卷积后的终点位置 y = conv(x,h); % 计算卷积和序列的数值 ny = ny1:ny_end; % 计算卷积和序列的位置向量,93,卷积和：包含位置向量,x = 3,-3,7,0,-1,5,2; nx = -4:2; % 给定输入序列 h = 2,3,0,-5,2,1; nh = -1:4; % 给定脉冲响应序列 y,ny = convextd(x,nx,h,nh); % 带位置序列的卷积结果,运行结果：有位置信息,y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2 ny = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6,94,解差分方程 ：调
30、用filter,函数的调用方式为y = filter(b,a,x);,输入参数b、 a为差分方程的系数， b=b0， b1， ， bM a=a0， a1， ， aN 输入参数x是输入序列求得的输出序列y和输入x的长度一样系数a0必须不为零。,95,例：解差分方程,例1.15 线性常系数差分方程y(n)-y(n-1)+0.75y(n-2)= x(n)，求输入x(n)= (n)时系统的输出序列。,(1) 求单位脉冲响应h(n)b= 1; a= 1,-1,0.75; x= impseq(-10,0,50);% 生成单位脉冲序列h= filter(b,a,x); % 计算单位脉冲响应n= -10:50;stem(n,h); % 脉冲响应曲线axis(-10,50,-1,1.5) % 标出坐标title(Impulse Response);xlabel(n); ylabel(h(n);,96,例：判断系统稳定,(2) 求得单位脉冲响应的和,sum(abs(h); % 计算单位脉冲响应的和 程序的运行结果为 ans = 6.1718 绝对可和，说明系统是稳定的。,
