1、行列式的性质,线性代数,北理工珠海学院,要课题,由 n 阶行列式的定义可知，当 n 较大时，,用定义计算行列式运算量很大,20 阶的行列式，需作1920!次乘法，若用每秒,运算亿万次的电脑，也要算一千年才行！,何有效地计算行列式，这是我们要解决的一个重,例如，计算一个,因此如,不仅可以简化行列式的计算，而且对行列式的理,设 n 阶行列式,为了解决这一问题，需先研究行列式的性质,本节主要介绍行列式的基本性质，运用这些性质，,论研究也很重要,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2 互换行
2、列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,是由行列式 互换两行得到的,于是,则有,即当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,例如 证明奇数阶反对称行列式的值为零,证明,利用性质1，和性质3的推论，得,又例,解,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5 若
3、行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,此性质说明，可以对行列式按某行(列)进行分拆。 但是一次只能拆一行(列)。,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例如,证明,所以原式成立,性质 2，介绍了行列式关于行和列的三,运算、数乘运算，它们分别记为,种运算，在本教案中分别称为 交换运算、线性,利用上述三种运算可简化行列式的计算，特,从而得到行列式的值.,就是利用运算ri+krj把行列式化为上三角形行列式,式中许多元素化为0.,别是利用运算ri + krj (或 ci + kcj )可以把行列,计算
4、行列式常用的一种方法,请做练习.,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例3 计算 阶行列式,解,将第 行都减去第一行得,例4 计算行列式,解,从第4行开始，后一行减去前一行,例5,证明,证明,例 6 计算2n阶行列式,其中未写出的元素为0 .,解,把 D2n中的第2n 行依次与第2n 1 行、, 、第 2 行对调（作 2n 1 次相邻对换），再把,第 2n 列依次与第 2n 1 列、 、第 2 列对调，得,根据例题5,的结果，有,D2n = D2D2(n 1) = (ad bc )
5、D2(n 1) .,以此作递推公式，即得,D2n = (ad bc ) D2(n 1),= (ad bc )2 D2(n 2),= ,= (ad bc ) n 1 D2,= (ad bc ) n .,例7 解方程,解,令左边的行列式为D,从第二行开始，每行减去第一行得,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,思考与练习,思考题解答,解,按行列式的第一列分拆：,解：,根据行列式的特点，先将第一列加到第二列，然后 将第二列加到第三列，再将第三列加到第四列：,作业 P8,
