1、二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,1.求 n 次多项式,要求:,故,令,则,近似等于,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精
2、确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,其中,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项
3、数 n ;,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数n和误差限 , 确定公式中x的适用范围.,已知,例1. 计算无理数e的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .,2. 利用泰勒公式求极限,例3. 求,解:,由于,用洛必塔法则不方便 !,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4. 证明,
4、证:,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数 ,思考与练习,计算,解:,原式,由题设对,证:,例 .,有,且,下式减上式 , 得,令,两边同乘 n !,= 整数 +,假设 e 为有理数,( p , q 为正整数) ,则当 时,等式左边为整数;,矛盾 !,2. 证明e为无理数 .,证:,故e为无理数 .,等式右边不可能为整数.,泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物
5、之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,麦克劳林 (1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数 .,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,第四节 函数的单调性与,曲线的凹凸性,一、 函数单调性的判定法,那么函数,在a,b上单调增加；,(2)如果在(a,b)内,那么函数,在a,b上单调减少.,1. 判定定理：,(1)如果在(a,b)内,(1)证明：,设：,
6、则由中值定理：,1) 若函数在驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性 .,说明:,2) 函数单调区间的分界点也可能是不可导点.,一般地,如果,在某区间内的有限个点处为零，,在其余各点处均为正(或负)时,在该区间上,仍旧是单调增加(或单调减少)的.,那么,求函数导数,求函数的驻点,以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；,在各子区间内分别判别导数的符号,写出各单调区间.,2.函数单调区间的求解步骤:,导数为0或导数不存在的点称为驻点,从而确定其单调性；,解：,令：,单调增,在,得：,解：,令：,得：,函数为单调减,函数为单调增,当,当,时,时,例3.确定函数,的单调区间.,解：,令：,得：,所以
7、函数为单调减区间为,函数为单调增区间为,例4.确定函数,的单调区间.,解：,令：,得：,所以函数为单调减区间为,函数为单调增区间为,例5. 当,时,成立.,3. 应用:,利用函数的单调性可以证明不等式,证明：,当,时,试证：,时有,即：,函数为单调增函数,例6.当,时,证明：,当,时,试证：,时有,即：,为单调增函数,无法判断正负号,为单调增函数,时,所以有：,例7. 证明方程,只有一个实根.,证明方程根的唯一性:,证明:,在,连续,至少存在一点,使得,为原方程的根,又,所以函数,在,为单调增函数,与x轴最多有一个交点,证毕,上,则,或,的大小顺序是 ( ),B,1. 设在,思考与练习,2.
8、证明：当,时，,二、曲线的凹凸性与拐点,对于单调增函数,图形可以形如ACB,也可以形如ADB,定义 .设函数,在区间I上连续 ,(1)若恒有,则称,的图形是凹的;,(2)若恒有,则称,的图形是凸的 .,1. 曲线凹凸性的定义：,例. 利用定义判断曲线,的凹凸性.,解：,所以,凹的.,(1) 在I内,则 在I内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,2. 曲线凹凸性的判定：,定理2.(凹凸判定法),证明:,设:,则,所以：,其中,凹的,曲线的凹凸区间的求解步骤:,从而判断曲线弧的凹凸性；,求函数一阶二阶导数,及二阶导数不存在的点；,令：,
9、以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；,在各子区间内分别判别二阶导数的符号,例. 判断曲线,的凹凸性.,解：,令：,得：,时,当,当,时,函数图形为凸.,函数图形为凹.,1)定义: 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点 .,3. 曲线的拐点及其判定：,2) 拐点的必要条件:,定理3.如果,内具有二阶连续导数,在,是拐点,则,注: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,且点,说明:,1)若在某点二阶导数为0 ,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,2) 函数二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点.,例. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解：,令：,得：,当,时,当,时,当,时,凹,凸,凹,为拐点.,所以,4. 利用曲线凹凸性证明不等式：,例.证明：,其中,证明：,设：,函数为凹的,所以,则：,即：,练习：求曲线,的凹凸区间及拐点.,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上凹凸的分界点,内容小结：,
