1、七年级数学上册知识点总结第 一 章 有 理 数1.1 正 数 和 负 数 正 数 和 负 数 的 概 念负 数 ： 比 0小 的 数 正 数 ： 比 0 大 的 数 0 既 不 是 正 数 ， 也 不 是 负 数注 意 ： 字 母 a 可 以 表 示 任 意 数 ， 当 a 表 示 正 数 时 ， -a 是 负 数 ； 当 a 表 示 负 数 时 ， -a 是 正 数 ； 当 a 表示 0 时 ， -a 仍 是 0。 （ 如 果 出 判 断 题 为 ： 带 正 号 的 数 是 正 数 ， 带 负 号 的 数 是 负 数 ， 这 种 说 法 是 错 误 的 ，例 如 +a,-a就 不 能 做 出
2、 简 单 判 断 ） 正 数 有 时 也 可 以 在 前 面 加 “ +” ， 有 时 “ +” 省 略 不 写 。 所 以 省 略 “ +” 的 正 数 的 符 号 是 正 号 。2.具 有 相 反 意 义 的 量若 正 数 表 示 某 种 意 义 的 量 ， 则 负 数 可 以 表 示 具 有 与 该 正 数 相 反 意 义 的 量 ， 比 如 ：零 上 8 表 示 为 ： +8 ； 零 下 8 表 示 为 ： -83.0表 示 的 意 义 （ 0 是 有 意 义 的 ！ ）（ 1） 0是 正 数 和 负 数 的 分 界 线 ， 0既 不 是 正 数 ， 也 不 是 负 数 。（ 2） 0
3、 表 示 一 个 确 切 的 量 。 如 ： 0 以 及 有 些 题 目 中 的 基 准 ， 比 如 以 海 平 面 为 基 准 ， 则 0 米 就 表 示 海 平面 。1.2 有 理 数1.有 理 数 的 概 念 正 整 数 、 0、 负 整 数 统 称 为 整 数 （ 0 和 正 整 数 统 称 为 自 然 数 ） 正 分 数 和 负 分 数 统 称 为 分 数 整 数 和 分 数 构 成 了 有 理 数 。理 解 ： 是 无 限 不 循 环 小 数 ， 不 能 写 成 分 数 形 式 ， 不 是 有 理 数 。 有 限 小 数 和 无 限 循 环 小 数 都 可 化成 分 数 ， 都 是
4、 有 理 数 。注 意 ： 引 入 负 数 以 后 ， 奇 数 和 偶 数 的 范 围 也 扩 大 了 ， 像 -2,-4,-6,-8 也 是 偶 数 ， -1,-3,-5 也 是 奇 数 。2.有 理 数 的 分 类 按 有 理 数 的 定 义 分 类 按 正 、 负 性 来 分正 整 数 正 整 数整 数 0 正 有 理 数负 整 数 正 分 数有 理 数 有 理 数 0 （ 0不 能 忽 视 ）正 分 数 负 整 数分 数 负 有 理 数负 分 数 负 分 数总 结 ： 正 整 数 、 0统 称 为 非 负 整 数 （ 也 叫 自 然 数 ） 负 整 数 、 0统 称 为 非 正 整 数
5、 正 数 、 0 统 称 为 非 负 数 负 数 、 0 统 称 为 非 正 数3.数 轴 数 轴 的 概 念规 定 了 原 点 ， 正 方 向 ， 单 位 长 度 的 直 线 叫 做 数 轴 。注 意 ： 数 轴 是 一 条 向 两 端 无 限 延 伸 的 直 线 ； 原 点 、 正 方 向 、 单 位 长 度 是 数 轴 的 三 要 素 ， 三 者 缺 一 不可 ； 同 一 数 轴 上 的 单 位 长 度 要 统 一 ； 数 轴 的 三 要 素 都 是 根 据 实 际 需 要 规 定 的 。2.数 轴 上 的 点 与 有 理 数 的 关 系 所 有 的 有 理 数 都 可 以 用 数 轴
6、上 的 点 来 表 示 ， 正 有 理 数 可 用 原 点 右 边 的 点 表 示 ， 负 有 理 数 可 用 原 点 左 边的 点 表 示 ， 0 用 原 点 表 示 。 所 有 的 有 理 数 都 可 以 用 数 轴 上 的 点 表 示 出 来 ， 但 数 轴 上 的 点 不 都 表 示 有 理 数 ， 也 就 是 说 ， 有 理 数 与数 轴 上 的 点 不 是 一 一 对 应 关 系 。 （ 如 ， 数 轴 上 的 点 不 是 有 理 数 ）3.利 用 数 轴 表 示 两 数 大 小 在 数 轴 上 数 的 大 小 比 较 ， 右 边 的 数 总 比 左 边 的 数 大 ； 正 数 都
7、 大 于 0， 负 数 都 小 于 0， 正 数 大 于 负 数 ； 两 个 负 数 比 较 ， 距 离 原 点 远 的 数 比 距 离 原 点 近 的 数 小 。4.数 轴 上 特 殊 的 最 大 （ 小 ） 数(1)最 小 的 自 然 数 是 0， 无 最 大 的 自 然 数 ；(2)最 小 的 正 整 数 是 1， 无 最 大 的 正 整 数 ；(3)最 大 的 负 整 数 是 -1， 无 最 小 的 负 整 数 ；(4)没 有 最 大 /小 的 正 数 ， 也 没 有 最 大 /最 小 的 负 数 .5.a可 以 表 示 什 么 数 a0表 示 a 是 正 数 ； 反 之 ， a 是
8、正 数 ， 则 a0； a0， 那 么 |a|=a； 如 果 a |a|=a （ 非 负 数 的 绝 对 值 等 于 本 身 ； 绝 对 值 等 于 本 身 的 数 是 非 负 数 。 ） a 0， |a|=-a （ 非 正 数 的 绝 对 值 等 于 其 相 反 数 ； 绝 对 值 等 于 其 相 反 数 的 数 是 非 正 数 。 ）3.绝 对 值 的 性 质任 何 一 个 有 理 数 的 绝 对 值 都 是 非 负 数 ， 也 就 是 说 绝 对 值 具 有 非 负 性 。 所 以 ， a 取 任 何 有 理 数 ， 都 有 |a| 0。 即 0的 绝 对 值 是 0； 绝 对 值 是
9、0 的 数 是 0.即 ： a=0 |a|=0； 一 个 数 的 绝 对 值 是 非 负 数 ， 绝 对 值 最 小 的 数 是 0.即 ： |a| 0； 任 何 数 的 绝 对 值 都 不 小 于 原 数 。 即 ： |a| a； 绝 对 值 是 相 同 正 数 的 数 有 两 个 ， 它 们 互 为 相 反 数 。 即 ： 若 |x|=a（ a0） ， 则 x= a； 互 为 相 反 数 的 两 数 的 绝 对 值 相 等 。 即 ： |-a|=|a|或 若 a+b=0， 则 |a|=|b|； 绝 对 值 相 等 的 两 数 相 等 或 互 为 相 反 数 。 即 ： |a|=|b|， 则
10、 a=b或 a=-b； 若 几 个 数 的 绝 对 值 的 和 等 于 0， 则 这 几 个 数 就 同 时 为 0。 即 |a|+|b|=0， 则 a=0 且 b=0。（ 非 负 数 的 常 用 性 质 ： 若 几 个 非 负 数 的 和 为 0， 则 有 且 只 有 这 几 个 非 负 数 同 时 为 0）经 典 考 题已 知 |a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求 a+b+c的 值解 ： 因 为 |a+3| 0， |2b-2| 0， |c-1| 0， 且 |a+3|+|2b-2|+|c-1|=0所 以 |a+3|=0 ， |2b-2|=0 ， |c-1|=0即 a=-3 ,b=1
11、,c=1所 以 a+b+c=-3+1+1=-14.有 理 数 大 小 的 比 较 利 用 数 轴 比 较 两 个 数 的 大 小 ： 数 轴 上 的 两 个 数 相 比 较 ， 左 边 的 总 比 右 边 的 小 ； 利 用 绝 对 值 比 较 两 个 负 数 的 大 小 ： 两 个 负 数 比 较 大 小 ， 绝 对 值 大 的 反 而 小 ； 异 号 两 数 比 较 大 小 ， 正 数大 于 负 数 。5.绝 对 值 的 化 简 当 a 0 时 ， |a|=a ； 当 a 0 时 ， |a|=-a6.已 知 一 个 数 的 绝 对 值 ， 求 这 个 数一 个 数 a的 绝 对 值 就 是
12、 数 轴 上 表 示 数 a的 点 到 原 点 的 距 离 ， 一 般 地 ， 绝 对 值 为 同 一 个 正 数 的 有 理 数 有 两个 ， 它 们 互 为 相 反 数 ， 绝 对 值 为 0 的 数 是 0， 没 有 绝 对 值 为 负 数 的 数 。 如 ： |a|=5， 则 a=土 51.3 有 理 数 的 加 减 法1.有 理 数 的 加 法 法 则 同 号 两 数 相 加 ， 取 相 同 的 符 号 ， 并 把 绝 对 值 相 加 ； 绝 对 值 不 相 等 的 异 号 两 数 相 加 ， 取 绝 对 值 较 大 的 加 数 的 符 号 ， 并 用 较 大 的 绝 对 值 减 去
13、 较 小 的 绝 对 值 ； 互 为 相 反 数 的 两 数 相 加 ， 和 为 零 ； 一 个 数 与 零 相 加 ， 仍 得 这 个 数 。2.有 理 数 加 法 的 运 算 律 加 法 交 换 律 ： a+b=b+a 加 法 结 合 律 ： (a+b)+c=a+(b+c)在 运 用 运 算 律 时 ， 一 定 要 根 据 需 要 灵 活 运 用 ， 以 达 到 简 化 的 目 的 ， 通 常 有 下 列 规 律 ： 互 为 相 反 数 的 两 个 数 先 相 加 “ 相 反 数 结 合 法 ” ； 符 号 相 同 的 两 个 数 先 相 加 “ 同 号 结 合 法 ” ； 分 母 相 同
14、 的 数 先 相 加 “ 同 分 母 结 合 法 ” ； 几 个 数 相 加 得 到 整 数 ， 先 相 加 “ 凑 整 法 ” ； 整 数 与 整 数 、 小 数 与 小 数 相 加 “ 同 形 结 合 法 ” 。3.加 法 性 质一 个 数 加 正 数 后 的 和 比 原 数 大 ； 加 负 数 后 的 和 比 原 数 小 ； 加 0后 的 和 等 于 原 数 。 即 ： 当 b0时 ， a+ba 当 b0时 ， a+ba 当 b=0时 ， a+b=a4.有 理 数 减 法 法 则减 去 一 个 数 ， 等 于 加 上 这 个 数 的 相 反 数 。 用 字 母 表 示 为 ： a-b=a
15、+(-b)。5.有 理 数 加 减 混 合 运 算在 有 理 数 加 减 法 混 合 运 算 中 ， 根 据 有 理 数 减 法 法 则 ， 可 以 将 减 法 转 化 成 加 法 后 ， 再 按 照 加 法 法 则 进 行 计算 。1.4 有 理 数 的 乘 除 法1.有 理 数 的 乘 法 法 则法 则 一 ： 两 数 相 乘 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ， 并 把 绝 对 值 相 乘 ； （ “ 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ” 专 指 “ 两 数 相 乘 ”的 情 况 ， 如 果 因 数 超 过 两 个 ， 就 必 须 运 用 法 则 三 ）法 则 二 ： 任 何 数
16、 同 0相 乘 ， 都 得 0；法 则 三 ： 几 个 不 是 0 的 数 相 乘 ， 负 因 数 的 个 数 是 偶 数 时 ， 积 是 正 数 ； 负 因 数 的 个 数 是 奇 数 时 ， 积 是 负 数 ；法 则 四 ： 几 个 数 相 乘 ， 如 果 其 中 有 因 数 为 0,则 积 等 于 0.2.倒 数乘 积 是 1 的 两 个 数 互 为 倒 数 ， 其 中 一 个 数 叫 做 另 一 个 数 的 倒 数 ， 用 式 子 表 示 为 a a1 =1（ a 0） ， 就 是说 a 和 a1 互 为 倒 数 ， 即 a 是 a1 的 倒 数 ， a1 是 a 的 倒 数 。注 意
17、 ： 0没 有 倒 数 ； 求 假 分 数 或 真 分 数 的 倒 数 ， 只 要 把 这 个 分 数 的 分 子 、 分 母 点 颠 倒 位 置 即 可 ； 求 带 分 数 的 倒 数 时 ， 先 把带 分 数 化 为 假 分 数 ， 再 把 分 子 、 分 母 颠 倒 位 置 ； 正 数 的 倒 数 是 正 数 ， 负 数 的 倒 数 是 负 数 。 （ 求 一 个 数 的 倒 数 ， 不 改 变 这 个 数 的 性 质 ） ； 倒 数 等 于 它 本 身 的 数 是 1 或 -1,不 包 括 0。3.有 理 数 的 乘 法 运 算 律 乘 法 交 换 律 ： 一 般 地 ， 有 理 数
18、乘 法 中 ， 两 个 数 相 乘 ， 交 换 因 数 的 位 置 ， 积 相 等 。 即 ab=ba 乘 法 结 合 律 ： 三 个 数 相 乘 ， 先 把 前 两 个 数 相 乘 ， 或 者 先 把 后 两 个 数 相 乘 ， 积 相 等 。 即 (ab)c=a(bc). 分 配 律 ： 一 般 地 ， 一 个 数 同 两 个 数 的 和 相 乘 ， 等 于 把 这 个 数 分 别 同 这 两 个 数 相 乘 ， 在 把 积 相 加 。 即a(b+c)=ab+ac4.有 理 数 的 除 法 法 则（ 1） 除 以 一 个 不 等 于 0 的 数 ， 等 于 乘 以 这 个 数 的 倒 数
19、。（ 2） 两 数 相 除 ， 同 号 得 正 ， 异 号 得 负 ， 并 把 绝 对 值 相 除 。 0 除 以 任 何 一 个 不 等 于 0 的 数 ， 都 得 0.5.有 理 数 的 乘 除 混 合 运 算（ 1） 乘 除 混 合 运 算 往 往 先 将 除 法 化 成 乘 法 ， 然 后 确 定 积 的 符 号 ， 最 后 求 出 结 果 。（ 2） 有 理 数 的 加 减 乘 除 混 合 运 算 ， 如 无 括 号 指 出 先 做 什 么 运 算 ， 则 按 照 先 乘 除 ， 后 加 减 的 顺 序 进行 。1.5 有 理 数 的 乘 方1.乘 方 的 概 念求 n 个 相 同
20、因 数 的 积 的 运 算 ， 叫 做 乘 方 ， 乘 方 的 结 果 叫 做 幂 。 在 na 中 ， a 叫 做 底 数 ， n 叫 做 指 数 。2.乘 方 的 性 质（ 1） 负 数 的 奇 次 幂 是 负 数 ， 负 数 的 偶 次 幂 的 正 数 。（ 2） 正 数 的 任 何 次 幂 都 是 正 数 ， 0的 任 何 正 整 数 次 幂 都 是 0。3.有 理 数 的 混 合 运 算做 有 理 数 的 混 合 运 算 时 ， 应 注 意 以 下 运 算 顺 序 ：（ 1） 先 乘 方 ， 再 乘 除 ， 最 后 加 减 ；（ 2） 同 级 运 算 ， 从 左 到 右 进 行 ；（ 3） 如 有 括 号 ， 先 做 括 号 内 的 运 算 ， 按 小 括 号 ， 中 括 号 ， 大 括 号 依 次 进 行 。4.科 学 记 数 法把 一 个 大 于 10 的 数 表 示 成 na 10 的 形 式 （ 其 中 101 a ， n是 正 整 数 ） ， 这 种 记 数 法 是 科 学 记 数 法 。
