1、1 设 X0：n-1和 Y0：n-1为两个数组，每个数 组中含有 n 个已排序好的数。试设计一个 O(logn)时间的分治算法，找出 X 和 Y 的 2n 个数的中位数，并 证明算法的时间复杂性为 O(logn)。注：个数为奇数，则处于最中间位置的数；个数为偶数，则中间两个数据的平均数。解：利用二分查找思想：对于两个等长的数组，如果数组长度为奇数，令 mid 为数组的最中间元素的位置，则有 Xmid，Ymid分别为两个数组的中位数，则存在以下情况：（1）如果 XmidYmid，则两个数 组合并后的中位数应该在 X0 : mid和 Ymid : n-1中查找；（3）如果 Xmid=Ymid，则两
2、个数 组合并后的中位数就是 Xmid或者 Ymid另外考虑特殊情况：如果两个数组的长度为 1，则无需比较 大小，合并后数 组的中位数即为两个数组元素的平均值。如果数组的长度为偶数，令 mid 为数组的中间两个元素的较小元素的位置，此时数组 X 的中位数为 x=(Xmid+Xmid+1)/2.0，数组 Y 的中位数为 y=(Ymid+Ymid+1)/2.0 (这里考虑到中位数不一定为整数)。则存在以下情况：（1）如果 xy，则两个数组合并后的中位数应该在 X0 : mid和 Ymid+1 : n-1中查找；（3）如果 x=y，则两个数组合并后的中位数就是 x 或者 y.考虑特殊情况：如果两个数组
3、的长度为 2，则如果其中一个数 组 A 的元素刚好处于合并后的数组的中间位置，则最终的中位数 为这个数组 A 的数组元素的平均数。否则， 则回到数组长度为偶数的一般情况。具体如下：double Search_Median(int *A,int l1,int r1,int *B,int l2,int r2,int n)/*如果两个数组的长度为，则中位数为所有元素的平均数，其中A,B为要查中位数的数组，l1,r1,l2,r2分别为两个数组每次查询的起始位置和终点位置n为两个数组每次查询时的范围（重新查询的数组长度）*/if (n=1) /数组长度为1的情况return (Al1+Bl2)/2.0;
4、if (n=2) /数组长度为2的情况if (Al1Bl1else;/这里使用mid1,mid2分别来记录两个数组每次变化后的中间位置int mid1=(r1+l1)/2;int mid2=(r2+l2)/2;/如果数组的长度为偶数，对数组进行查询if(n%2=0)/这里考虑到偶数数组的中位数是中间两个数的平均数double x=(Amid1+Amid1+1)/2.0;double y=(Bmid2+Bmid2+1)/2.0;if (x ( , )使用分治方法求整个序列中逆序对个数，并分析算法的时间复杂性。例如：序列（4, 3, 2）逆序对有（4, 3），（4, 2），（3, 2）共 3 个解
5、：数据输入：a 数组，n（元素个数）采用归并排序思想：将序列看成一个数组假设 f(i , j)为 i 到 j 的逆序对 个数，取一个分割点 k，假 设 s(i , j , k)表示以 k 为分割点，第一个元素在 i 到 k 中，第二个元素在 k+1 到 j 中形成的逆序对数。那么可以形成一个递归式：f(i , j)=f(i , k) + f(k+1 , j) + s(i , j , k).采用归并排序算法进行递归求解，如果对于 A 数组的 i 到 k 和 k+1 到 j 两个部分皆为有序的情况，那么对于当 ajai时，必然有 ajaik,即 aj和从 i 到 k 号元素都形成逆序对，此时只要将
6、 s(i,j,k)加上 k-i+1（i到 k 之间的元素个数）就可以了，此过程类似于归并排序的合并过程。 则可以据此得到相应算法。首先设置一个计数器记录逆序对个数，每次 归并分成分割与合并两部分，在合并部分中过程中添加计数过程，具体如下：static int count=0; /定义一个 计数器， 记录逆序对个数void merge(int a,int p,int q,int r)/合并过程，其中a 为原数组，p为数组的起始位置，q为分割位置，r为元素个数int n1=q-p+1;int n2=r-q; /定义两个新数组存放数组a中的元素int * l=new intn1+1; int * r
7、l=new intn2+1; for(int i=0;in1;i+) li=ap+i-1; for(int j=0;jn2;j+) rlj=aq+j; ln1=65535; /将新数组的最后一个位置设为无限大作为哨兵rln2=65535; int i=0; int j=0; /合并两个数组到原数组for(int k=p-1;kr;k+) if(li=rlj) ak=li;i+; else ak=rlj; j+; count+=(q-i+1-p);/存在逆序对，将逆序对数进行记录 void mergeSort(int a,int p,int r) /分割过程，r为元素个数if(pr) int q=(p+r)/2; mergeSort(a,p,q); mergeSort(a,q+1,r); merge(a,p,q,r); 时间复杂度分析：因为记录的过程是随着归并排序的过程处理的，仅仅在合并到原数组的过程中添加一条语句，用于记录。因此算法的时间复杂度为 O(nlogn)。
