1、RS 基本概念GF(2m)域域在RS 编码理论中起着至关重要的作用。简单点说域 有 (设 = q )个符号 GF(2)m2且具有以下性质：域中的每个元素都可以用a 0，a 1，a 2，a m-1 的和来表示。除0、1外其余所有元素由本原多项式 P(x)生成。本原多项式 的特性是 得到的余式等于0。在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行在 GF 域上的加、减、乘、除运算定义如下（GF( )为例）：421、 加、减运算均定义为元素的二进制表示方式进行异或运算。如：a 8+a10，先查表，将其化为二进制表示方式得 0101+0111，经过异或运算得 0010，再查表得 a1，即
2、：a 8+a10= a1。减运算与加运算相同，即：a 8-a10= a1。2、 乘运算定义为元素的指数相加后进行模 15 运算后所得的新元素，但若有一个元素为 0，则相乘结果为 0。如：a 7*a13，(7+13)mod 15=5，即 a7*a13= a5。3、 除运算定义为元素的指数相减后进行模 15 运算后所得的新元素(指数为正数)。若被除数为 0，则结果为 0。如：a 5/a9，(5-9)mod 15=11，即 a5/a9= a11。下面以一个较简单例子说明域的构造。GF( ) 的所有元素42例： m=4,本原多项式 求 GF( ) 的所有元素：4p(x)=+142因为 为 p(x)的根
3、 得到 =0 或 (根据运算规则) =+1由此可以得到域的所有元素元素 多项式表示 二进制表示 十六进制表示0 0 0000 0a0 1 0001 1a1 a 0010 2a2 a2 0100 4a3 a3 1000 8a4 a+1 0011 3a5 a2+a mod p(a) 0110 6a6 a3+a2 mod p(a) 1100 Ca7 a3+a+1 mod p(a) 1011 Ba8 a2+1 mod p(a) 0101 5a9 a3+a mod p(a) 1010 Aa10 a2+a+1 mod p(a) 0111 7a11 a3+a2+1 mod p(a) 1110 Ea12 a3
4、+a2+a+1 mod p(a) 1111 Fa13 a3+a2+1 mod p(a) 1101 Da14 a3+1 mod p(a) 1001 9符号( n， k)RS在介绍之前需要说明一些符号。在 域中，符号( n， k)RS的含义如下：4GF2)m 表示符号的大小，如 m = 8 表示符号由 8 位二进制数组成n 表示码块长度，k 表示码块中的信息长度K=n k = 2t表示校验码的符号数t 表示能够纠正的错误数目RS 的编码算法本项目 RS 纠错算法选择在 域上的 RS(15,11)码，码长 n=15 字符，码元长4GF(2)k=11 字符，码距 d=5，纠错能力 t=2 字符，每字符
5、为 4bits，即一个码组合 7.5 字节。每11 个有效字节加 4 个纠错字节。每一帧报文分成若干组，以 11 个字节为一组，对这 11 个字节作纠错，生成 4 字节里德-所罗门码纠错码，和前 11 个字节一起共 15 个字节构成纠错后的一组报文。一帧报文以每 11 个字节分组后，若最后一组字节数不满 11 个字节，剩余字节填 77H，凑满 11 个字节再进行纠错。对一个信息码符多项式 ，RS 校验码生成多项式的一般形式为(132)式中，m 0是偏移量，通常取 K0 = 0 或 K0 = 1，而( n-k)2 t (t 为要校正的错误符号数)。对于 R（15，11）对应生成多项式为 g(x)
6、= 4362310x+aax+信息码符多项式 为(133)10()kiiMxmx并假设 RS 校验码的 4 个符号为 Q3 Q2Q1和 Q0， 的剩余多项式为 132100()nkiiRxxx这个多项式的阶次比 的阶次少一阶。如果 K0 = 1， t = 1，由式(132)导出的 RS 校验码生成多项式就为= (134)234()()()()xaxa根据多项式的运算，由式(133)和式(134)可以得到M(x)+R(x)= Q(x)234()()xax当用 代入上式时，得到下面的方程组，234 = =a14134321090 02826864431293109032105652684mamaa
7、QQ令 =n014134090.mama=n1282681090.=n2423121090.aa=n35652161090.mama解得： = 3Q131(n-)+(2-n)(-0)= 29313a(-)(-)a(-)= 121(n-)+(-n)(-0)= 0Q415a(3-)(-)a(-)+nRS 码的纠错算法RS 码的错误纠正过程分三步： (1)计算校正子(syndrome)，(2)计算错误位置，(3)计算错误值。现以例 13.3 为例介绍 RS 码的纠错算法。1、 求出校正子：对于一组接收到的数据：接收到的数据：68 31 00 31 00 68 4b 05 35 01 00 b7 2a
8、 55 dc分两小组：08 06 01 03 00 00 01 03 00 00 08 07 0b 0a 02 (I-1)06 0b 04 05 00 05 03 01 00 00 00 05 05 0c 0d (I-2)对应 r14r0代入上式求出 s1,s2,s3,s4(sj);2、 判断若 Sj (j=1,2,3,4) 均为 0，则无错；否则执行下面的步骤以求出错值及位置。3、 求出错位多项式 d(x)=dz2x2+dz0x+dz1=0 的根，即为错值位置，其中：ji iij axrs 14014若 dz2=0，则只有一个根 x1=s3/s2 。否则用代入法求出 x1，x 2，即把 x 的所有 15 个可能值代入错位多项式，若结果为 0，则即是一个根。4、 求出错值 ew1,ew2。若 dz2=0，ew=s 12/s2，否则 5、 纠错时在对应的 x=ay，r(14-y)处，加上对应错值即可完成纠错。如根为x1=a3，x 2=a8，ew 1=a4，ew 2=a7，则在 r(14-3)=r(11)上加 ew1即 a4，在 r(14-8)= r(6)上加 ew2即 a7后所得的数据就是纠错后的数据。423104321 sdzsdzsdz ， 212xsewxsew
