1、第 2 章习题及解答 2-1 建立图 2-33 所示各机械系统的微分方程（其中 为外力， 、 为位移；为弹性系数， 为阻尼系数， 为质量；忽略重力影响及滑块与地面的摩擦）。 )(tF )(tx )(tyk f m图 2-33 系统原理图 解. （ a）以平衡状态为基点，对质块 m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22)()(dtydmdtdyftkytF = 整理得 )(1)()()(22tFmtymkdttdymfdttyd=+ （b） 如图解 2-1(b)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有 )()(111dtdydtdxfx
2、xk = （1） 对 B 点有 ykdtdydtdxf21)( = （2） 联立式（1） 、 （2）可得： dtdxkkkykkfkkdtdy2112121)( +=+ (c) 如图解 2-1(c)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有 22)()(dtxdmyxktF = (3) - 10 -对 B 点有 图解 2-1(c) 22)(dtydmyxk = （4） 联立式（3） 、 （4）消去中间变量 x可得： 4222()dy Kdy KF tdt m dt m+= 2-2 应用复数阻抗方法求图 2-34 所示各无源网络的传递函数。 （a） （b） （c） 图 2-34 无源网
3、络 (a) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11)(11sUsIcsRcsRsUcr+=（1 ） 2)()(RsUcsI = （2 ） 联立式（1 ）、（2 ），可解得： CsRRRRCsRRsUsUrc212112)1()()(+= 微分方程为: rrccuCRdtduuRCRRRdtdu121211+=+ 图解 2-2（ b） (b) 由图解 2-2（b ）可写出 CssIsIsIRsUcRRr1)()()()( += （3 ） )()(1)( sRIsRICssIcRc= （4 ） CssIsIRsIsUcRcc1)()()()( += （ 5） - 11 -联立式（3 ）、（4 ）、（
4、5 ），消去中间变量 和 ，可得： )(sIC)(sIR1312)()(222222+=RCssCRRCssCRsUsUrc微分方程为 rrrcccuRCdtduCRdtduuRCdtduCRdtdu222222221213+=+ (c) 由图解 2-2（c）可写出 11 2 22() () () ( ) ()rUs RIs Is LsRIs=+ (6) )()()(1221sIRLssICs+= (7) )()(22sIRsUc= (8) 联立式（6） 、 （7） 、 （8） ，消去中间变量 和 ，可得： )(1sI )(2sI图解 2-2(c) )()()()(2121212RRsCRRL
5、LCsRRsUsUrc+= 微分方程为 212 1 2 2211cccrdu duLRRC R R Ruudt RLC dt RLC RLC+=12-3 证明图 2-35 中所示的力学系统(a) 和电路系统(b) 是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 图 2-35 系统原理图 解 (a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图解2-2(a) 所示。对A 点有 )()()(1122yyfyxfyxk & =+ (1) - 12 -对 B 点有 图解 2-3(a) 1111)( ykyyf = &(2) 对式（ 1）、（2 ）分别取拉氏变换，消去中间变量 ，整理后得 1y)()(sXsY= 1)
6、(1)(12221122121221122121+skfkfkfskkffskfkfskkff(b) 由图可写出 sCRsUc221)(+= sCRsCRsCRsUr111112111)(+整理得 )()(sUsUrc= 1)(1)(21221122121221122121+sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRR比较两系统的传递函数，如果设111 kR = ，221 kR = ，11fC = ， ，则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。 22fC =2-4 如 图 2-36 所示，二极管是一个非线性元件，其电流 和电压 之间的关系为didu140.02610 ( 1)die=du，
7、假设电路在工作点 (0) 2.39uV= ， 处做微小变化，试推导 if 的线性化方程。 3(0) 2.19 10iA=()ddu=3(0) 2.19 10iA=解 将 代入 )1(10026.0/14=dudei图 2-36 二极管电路 解得 Vud679.00= 将 在( ， )处展开为泰勒级数，并取一次近似，有 )1(10026.0/14=dudei0du0iduddueiiiid+=+= 026.0/14000026.0110 0/ 0.02614110 0.0850.026duddieu= = u - 13 -即在( ， )附近0du0i )(ddufi = 的线性化方程为 0.08
8、5ddiu =。 2-5 假设某容器的液位高度 与液体流入量 满足方程 hrQrQShSdtdh 1=+，式中 S为液位容器的横截面积， 为常数。若 与 在其工作点 附近做微量变化，试导出 关于 的线性化方程。 hrQ ),(00hQrhrQ解 将 h 在 处展开为泰勒级数并取一次近似 0hhhhhdthdhhh+=+=00021|0（1 ） 代入原方程可得 )(1)21()(0000rrQQShhhSdthhd+=+ （2 ） 在平衡工作点处系统满足 000rQhdtdh=+ （ 3） 式(2 ），(3) 相减可得 h 的线性化方程 rQhhdthdS =+02图 2-37 单摆系统 2-6
9、 图 2-37 是一个单摆运动示意图。图中， l 为摆杆长度， 为摆角，摆锤质量为 m 。试建立单摆系统的微分方程，并将其线性化。 解 由图 2-37，根据牛顿定律，在不施加外力的情况下，可写出单摆的运动方程： 222sin 0dml mgldt+=，即 22sin 0dgdt l+= 将上式中非线性项 sin 在平衡点 00= 附近进行泰勒级数展开，取一次近似有 000sinsin sin | sin cosddt 0 = +=+ 将 00= 代入上式，得：0sin sin = 。代入原方程可得线性化后的单摆方程 - 14 -220dgdt l+= 2-7 求图 2-38 所示各信号 )(t
10、x 的象函数 )(sX 。 图 2-38 信号图 解 （a ） Q )(2)(0tttx += )(sX = stess0212+ （b ） Q11() 11( 1) ( 1) 21( 3) ( 3)22xt t t t t= + 32211() ( ) (2 )22sseeXs s sss= + + （c ） Q )()()()(321ttcttcbttabatx += = )(sX )()(1321stststceecbeabas+ （d ） = Q )(tx )(4)2(4)2(442222TtTTtTTtTtT+ )21(4)(222TssTeesTsX+= 2-8 求下列各拉氏变换式
11、的原函数。 (1) 1)(=sesXs(2) 22()9Xss=+- 15 -(3) )3()2(1)(3+=ssssX (4) )22(1)(2+=sssssX 解 (1) 1)(=tetx(2) 原式 =222333s+ ttx 3sin32)( = (3) 原式 32113112( 2) 4( 2) 8( 2) 24 3( 3)sssss+ + +x（t ） 24131834432222+ tttteeetet(4) 原式 1)1(1211)1(12121222121222+=+ssssssss )(tx )cos(sin2121ttet+2-9 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为
12、 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。 tteetc+=221)(解 单位阶跃输入时，有ssR1)( = ，依题意 ssssssssC1)2)(1(2311221)( +=+= )2)(1(23)()()(+=ssssRsCsG tteessLsGLtk=+=21142411)()( - 16 -2-10 已知系统传递函数 232)()(2+=sssRsC，且初始条件为 ， ， 1)0( =c 0)0( =c&试求系统在输入 )(1)( ttr = 作用下的输出 。 )(tc解 系统的微分方程为 )(2)(2)(3)(22trtcdttdcdttcd=+ （1 ） 考虑初始条件，对式（1 ）进行拉
13、氏变换，得 ssCssCssCs2)(23)(3)(2=+ （2 ） 22141)23(23)(22+=+=sssssssssC tteetc2241)(+=2-11 求图 2-39 所示各有源网络的传递函数)()(sUsUrc。 图 2-39 有源网络 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 12)()(RRsUsUrc= (b) 221121211111() (1 )(1 )1()1crRUs Cs RCs RCsUs RCsRCsRCs+= =+- 17 -(c) )1(11)()(212122CsRRRRCsRCsRsUsUrc+=+= 2-12 某位置随动系统原理框图如图
14、2-40 所示， 已知电位器最大工作角度 3300，功率放大器放大系数为 。 mQ3k（1） 分别求出电位器的传递函数0k ，第一级和第二级放大器的放大系数1k ，2k ； （2 ） 画出系统的结构图； （3 ） 求系统的闭环传递函数 () ()crQsQs。 图 2-40 系统原理框图 解 (1) 电位器的传递函数 11180180330300000=mQEK 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 310101030331=K ， 210101020332=K (2) 可画出系统结构如图解 2-12 所示： 图解 2-12 系统结构图 - 18 -(3) )1(11)1()
15、()(3210323210+=sTsKKKKKsTKKKKsTsKKKKKsQsQmmmtmmmrc11132103223210+=sKKKKKKKKKsKKKKKTmtmmm2-13 飞机俯仰角控制系统结构图如图 2-41 所示，试求闭环传递函数)()(sQsQrc。 图 2-41 飞机俯仰角控制系统结构图 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 68.0)42.018.1()7.09.0()6.0(7.0)()(23+=sKsKsssQsQrc2-14 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()(sRsC。 =)()()()()()()()()()()()()()()
16、()()()()()(3435233612287111sXsGsCsGsGsCsXsXsXsGsXsGsXsCsGsGsGsRsGsX解 系统结构图如图解 2-14 所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 843217432154363243211)()(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGsRsC+= - 19 -图解 2-14 系统结构图 2-15 绘制图 2-42 RC 无源网络的结构图和信号流图，求传递函数()()crUsUs图 2-42 RC 无源网络 解 应用电路理论和复阻抗概念，可以绘出网络的结构图如图解 2-15 (a)所示。 如图解 2-15(
17、a) 网络结构图 由网络结构图绘出系统信号流图，如图解 2-15(b)所示。 图解 2-15(b) 系统信号流图 结构图中有 1 条前向通路，且与各个回路均有接触，有 5 个回路，其中有 6 对两两不接触回路，1 组三个不接触回路 33311sCRP = ， 11= ，RCsLLL1521= L ，RCsLa5=，2226sCRLLcb=，=3331sCRLLLfed- 20 -3332221651sCRsCRRCs+= 1651)()(22233311+=RCssCRsCRPsUsUrc2-16 试用结构图等效化简求图 2-43 所示各系统的传递函数)()(sRsC。 图 2-43 系统结构
18、图 （a ） 所以： HGGGsRsC2211)()(= （b ） - 21 -所以： 32132213211)()(GGGGGGGGGGsRsC+= （c ） 所以： 2441321232121413211)()(HGGGGGGHGGHGGGGGGGsRsC+= （d ） 所以： 2321212132141)()(HGGHGHGGGGGGsRsC+= - 22 -2-17 试绘制图 2-44 所示系统的信号流图，求传递函数()()CsR s。 图 2-44 系统结构图 解 图解 2-17 信号流图 3432123214343211)()(HGGGGHGGHGGGGGGsRsC+= 2-18
19、绘制图 2-45 所示信号流图对应的系统结构图，求传递函数51()()X sX s。 图 2-45 系统信号流图 解 系统结构图如图解 2-18 所示。 图解 2-18 系统结构图 - 23 -5 12233445 122445 1225 3443 441 2332 3443 44 244332 233244() (1 )() 1+=+ +X saaaaaaaaa aaaX saaaaaaaa2-19 应用梅逊增益公式求 2-16 题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a ）图中有 2 条前向通路，1 个回路 ， HGLGPGP2122211111 = 11 L= HGGGPPsRsC221
20、22111)()(=+= （b ）图中有 1 条前向通路，3 个回路 ，211132111 GGLGGGP = ， )(13213213322LLLGGGLGGL += 3213221321111)()(GGGGGGGGGGPsRsC+= （c ）图中有 2 条前向通路，5 个回路 ， 11241213211= GGPGGGP，414321323221211GGLGGGLHGGLHGGL =， )(154321245LLLLLHGL +=24413212321214132122111)()(HGGGGGGHGGHGGGGGGGPPsRsC+=+= （d ）图中有 2 条前向通路，3 个回路 ，
21、 =242132111 GPGGGP ， )(132123231221211LLLHGGLHGLHGGL += 2321212132141122111)()(HGGHGHGGGGGGPPPPsRsC+=+=+=2-20 应用梅逊增益公式求图 2-46 中各系统的闭环传递函数。 - 24 -图 2-46 系统结构图 解 （a ）图中有 1 条前向通路，4 个回路 1143211= ，GGGGP )(143212434443213332121321LLLLHGGLHGGGGLHGGGLHGGL+=，则有 2434432133211324321111)()(HGGHGGGGHGGGHGGGGGGPs
22、RsC+= （b）图中有 2 条前向通路，3 个回路，有 1 对互不接触回路 ，111243213211111 HGLGGPGGGP += ，3213213332111HHHGGGLHGLHGL = ，21321)(1 LLLLL += 则有 33113213213311114332122111)1()()(HGHGHHHGGGHGHGHGGGGGGPPsRsC+=+= （c）图中有 4 条前向通路，5 个回路 ，1242321211GGPGPGGPGP = ，2151242321211GGLGGLGLGGLGL = ， )(1143214321LLLL += - 25 -则有 +=44332
23、211)()( PPPPsRsC21212121211222111222113121 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG+=+= （d）图中有 2 条前向通路，5 个回路 ， 112321211= GPGGP ，22135342132212121HGHGLGLGGLHGGLHGL =，)(154321LLLLL += 则有 +=2211)()( PPsRsC2213321221123211 HGHGGGGHGGHGGGG+= 2-21 系统的结构图如图 2-47 所示，求传递函数)()(sRsC，()()E sR s。 2H4G3G2G1G1H3H3G2G1G0G2H1H（a） (b
24、) 图 2-47 系统结构图 解（a）求)()(sRsC，图中有 2 条前向通路，3 个回路，有 1 对互不接触回路 ，123421321111 LGGPGGGP = ，3232321211HGLHGLHGGL = ，21321)(1 LLLLL += 则有 2132132231211213432122111)1()()(HHGGGHGHGHGGHGGGGGGGPPsRsC+=+= 求()()E sR s，有 2 个前向通路，回路数不变， 不变 - 26 -11=P ，322311 HGHG += ，12342HGHGP = ， 1= 则有 21321322312112343223221111
25、)()(HHGGGHGHGHGGHGHGHGHGPPsRsE+=+= （b）求)()(sRsC，图中有 4 个前向通路，7 个回路 11GP =，3212GGGP =， ，103GGP =32104GGGGP =，14321=11GL =，3212GGGL =，103GGL =，32104GGGGL =， ， 1215HGGL =26HL =，2327HGGL =)(17654321LLLLLLL +=则有 +=44332211)()( PPPPsRsC2322121321010321132101032111 HGGHHGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG+= 求()()E sR s，
26、有 1 条前向通路，回路数不变， 不变 11=P ，223212111 HHGGHGG += 2322121321010321122321211111)()(HGGHHGGGGGGGGGGGGHHGGHGGPsRsE+= 2-22 已知系统的结构图如图 2-48 所示，图中 为输入信号， 为干扰信号， )(sR )(sN求传递函数)()(sRsC，)()(sNsC。 图 2-48 系统结构图 - 27 -解 （a ）令 0)( =sN ，求 )()(sRsC。图中有 2 条前向通路 ,3 个回路，有 1 对互不接触回路。 ， HGLGGPGGP2123121211111 +=，31321221
27、GGLGGLHGL =，31321)(1 LLLLL +=则有 HGGGGGGGHGHGGGGGPPsRsC321312122312122111)1()()(+=+= 令 ，求 0)( =sR)()(sNsC。有 3 条前向通路，回路不变。 ， 11122142111= GGGPLP，1331431 LGGGP =，31321)(1 LLLLL +=则有 HGGGGGGGHGHGGGGGGGHGPPPsNsC32131212231421423322111)1(1)()(+=+= （b ）令 0)(0)(21= sNsN ， ，求 )()(sRsC。图中有 1 条前向通路，1 个回路。 ，111
28、112)1(212LssKLsKsP =+=+= 则有 )1(2)12()()(11+=KsKKsPsRsC令 0)(0)(2= sNsR ， ，求 )()(1sNsC。图中有 1 条前向通路，回路不变。 ， 111= sP 则有 )1(2)12()2()()(111+=KsKssPsNsC- 28 -令 0)(0)(1= sNsR ， ，求 )()(2sNsC。图中有 1 条前向通路，回路不变。 ， 12211=+=sKP 则有 )1(2)12(2)()(112+=KsKKPsNsC（c ）令 ，求 0)( =sN)()(sRsC。图中有 3 条前向通路，2 个回路。 ， 111342132
29、4321421= GGGPGGPGGP， )(121432421LLGGLGGL +=则有 434242143423322111)()(GGGGGGGGGGGPPPsRsC+=+= 令 ，求 0)( =sR)()(sNsC。有 1 条前向通路，回路不变。 ， 1141=GP 则有 43424111)()(GGGGGPsNsC+= 2-23 图 2-49 所示为悬挂在无摩擦旋轴上的双摆系统，假设， l 为摆杆长度， m 为摆的质量；摆幅的角位移 很小， sin ,cos 均可进行线性化处理；当12 = 时，位于摆中间的弹簧无变形，弹性系数为 K ；且外力 ()f t 只作用于左侧的杆，若令m。
30、/4, /4=+ =KaglKmb（1） 确定双摆的运动方程； （2） 求传递函数1()()sF s并用零、极点图表示； （3） 画出双摆系统的结构图。 解 图 2-49 双摆系统 （1 ） 弹簧所受到的压力为 - 29 -1(sin sin )2lFk2 = （ 1） 左边摆杆的力矩方程为 22 11112() cos cos sin22=dllft F mgl mldt整理得 21112()cos cos sin221 =dft F gdt ml ml l（2 ） 右边摆杆的力矩方程为 222222sincos2 dtdmlmgllF = 整理得 lgmlFdtd22222sin2cos
31、（ 3） 因1 与2 很小，近似有1sin =1 ，1cos =1；22sin = ，2cos =1。 将1(sin sin )2lFk2 =代入左右摆杆的力矩方程（2 ）和（3 ）式中，得到 1&11() ( )2424 =+gk kftml l m m（5 ） 2&1(442) =+kgkmlm（ 6） 若令 112/4, /4, , 2 =+ = = =aglkmbkm ，则双摆系统的运动方程为 )(21)()(2111tfmltbtadtd+= &（7 ） )()(2122tatbdtd=&（ 8） （2 ） 双摆系统结构图如图解 2-23 所示 （3 ）设全部初始条件为零，对（7 ）式和（8 ）式进行拉氏变换，有 21121() () () ()2ssasbs Fsml=+ 2212() () ()s sbsas= 显然 212() ()bsssa= +- 30 -所以 22121( ) () ()2bsa s Fssa ml+ =+得到传递函数为 2122() 1() 2 ( )s sa2F smlsab +=+ （9 ） 图解 2-23 双摆结构图 - 31 -
