1、第 1 讲 整数计算综合 内容概述 熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理 “定义新运算 ”的问题，初步体会用字母表示数。 典型问题 兴趣篇 1. 计算： (1) 121 32 8; (2) 4 (250 8) (3) 25 83 32 125 2. 计算： (1) 56 22+56 33+56 44 (2) 222 33+889 66. 3. 计算： (1) 37 47+36 53 (2) 123 76 124 75。 4. 计 算： 100 99+98 97+96 95+ +12 11+10. 5. 计算： 50+4
2、9 48 47+46+45 44 43+ 4 3+2+1. 6. 计算： (1+3+5+7+ +199+201) (2+4+6+8+ +198+200). 7. 计算： 1+2+3+4+ +48+49+50+49+48+ +4+3+2+1. 8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的口令进行一连串的变换。口令“ 7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“ 8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“ 8 7，”在第一个口令“ 8”发出后变成 995，在第二个口令“
3、7”发出后变成 9995。 如果给出数“ 6595”以及口令“ 8 7 8 7 8 8”，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少 ？ 9. 规定运算“ ” 为： a b= (a+1) (b 1), 请计算： (1)8 10; (2) 10 8. 10. 规定运算“ ”为： ab=a b (a+b), 请计算： (1) 58; (2) 85; (3) (65)4; (4)6 (54) 拓展篇 1. 计算： (1)72 27 88 (9 11 12); (2) 31 121 88 125 (1000 121). 2. 计算： (1) 555 445 556 444; (2) 42 137 80
4、15+58 138 70 15. 3. 计算： 20092009 2009 20092008 2008 20092008. 4. 计算： 1+2 3+4+5 6+7+8 9+ +97+98 99. 5. 计算： 100 99 99 98 98 97 97 96 96 95 95 94+ +4 3 3 2 2 1. 6. 在不大于 1000 的自然数中， A 为所有个位数字为 8 的数之和， B 为所有个位数字为 3 的数之和 . A 与 B的差是多少？ 7. 求图 1-1 中所有数的和 . 8. 已知平方差公式： 22 ( ) ( )a b a b a b ，计算： 2 2 2 2 2 2 2
5、 220 19 18 17 16 15 2 1 9. 计算： 951 949 52 48. 10. 规定运算“ ”为： a b=a+2b 2, 计算： (1) (8 7) 6; (2) 8 (7 6) 11. 规定运算“ ”为： a b=(a+1) (b 2). 如果 6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什么数？ 12. 规定：符号“ ”为选择两数中较大的数的运算 ，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如： 3 5=5，3 5=3 请计算： 1 2 3 4 5 6 7 100.（运算的顺序是从左至右） 超越篇 1. 观察下面算式的规律： 2000+1991 1988 1982+1976+1
6、970 1964 1958+1952+1946 1940 1934+一直这样写下去，那么最后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？ 2. 从 1, 2, , 9, 10 中任意选取一个 奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？ 3. 计算： 1 3+6 10+15 21+28 +4950. 4. 已知平方差公式： 22 ( ) ( )a b a b a b , 计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2100 99 98 97 96 95 94 93 4 3 2 1 5. a b 表示从 a 开始依
7、次增加的 b 个连续自然数的和，例如： 4 3=4+5+6=15, 5 4=5+6+7+8=26, 请计算： (1) 4 15 (2) 在算式（ 7） 11=1056 中，方框里的数应该是多少？ 6. 定义两种运算： a b=a b+1, a b=a b+1, 用“ ”、“ ”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）： 7 3 4 5=2 7.现定义四种操作的规则如下： “一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1， 然后除以 2. 例如从16 可以得到 8，从 27 可以得到 14. “丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “ 3”或“ 4”，
8、就将其划掉，例如从 5304 可以得到 50，从408 可以得到 8. （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“ 丢三落四”操作） “七上八下”：如果一个自然数中包含数字“ 7”，就将所有“ 7”移到最左边；如果一个自然数中 包含数字“ 8”，就将所有“ 8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28. （不含数字 7 和8 的自然数不能进行“七上八下”操作） “十全十美”：将一个自然数的个位数字换成 0. 例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900. (个位是0 的自然数不能进行“十全十美”操作 ) (1) 请写出对 4176 依次
9、进行操作后的结果： (2) 从 655687 开始，最少经过几次操作 以后可以得到 0？ (3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是 8. 求有多少个这样的三位数 . 图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？ 第 2 讲 和差倍问题三 内容概述 数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数关系变化的问题；需要利用比较或分组的方法进行分析的问题。 典型问题 兴趣篇 1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的 3 倍 . 将它们插入水塘中，插入水中的长度都是 40厘米，而露出水面部 分的总长为 160
10、 厘米 . 请问：短竹竿露在外面的长度是多少 厘米？ 2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆 .如果从甲堆中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍 . 问：甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？ 3. 一个六边形广场的边界上插有 336 面红旗和黄旗 . 六边形的每个顶点处都插有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗 . 已知每条边上黄旗比红旗的 2 倍还多 12 面，那么每两面红旗 间插有几面共旗？ 4. 爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的 3
11、 倍 . 冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了 24 块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的 2 倍 . 请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？ 5. 四年级三班买来单价为 5 角的练习本若干 . 如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得 15 本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得 10 本 . 请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？此时每人应付多少钱？ 6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙 校多 5 人，比丙校多 7人 . 如果乙、丙两校一共有 40 人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？ 7. 有三个箱子，如果两箱两箱地称它
12、们的重量，分别是 83 千克、 85 千克和 86 千克 . 问：其中最轻的箱子重多少千克？ 8. 小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅 . 她们看中了两款，这两款桌椅都 包含一张桌子和若干把椅子 .其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样 . 第一款桌椅中有 6 把椅子，总价为 700 元；第二款桌椅中有 9 把椅子，总价为 970 元 . 请问：一张桌子的价钱是多少元？ 9. 小白兔与小黑兔一块 去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了 . 小白兔当天吃了 4 个胡萝卜，小黑兔则一口气吃了 12 个胡萝卜 . 小白免往后每天都吃 4 个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得太多，往后每天
13、只吃 2 个胡萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完 . 小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝卜？ 10. 一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售 . 福特汽车的数量是丰田汽车的 3 倍 .如果每周销售 2 辆丰田汽车和 4 辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下 30 辆福特汽车 . 请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？ 拓展篇 1. 李师傅 将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的 2 倍，每件产品需要 5 个甲零件和2 个乙零件，生产 30 件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？ 2. 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花 . 其中黄花的盆数
14、最多，既是红花盆数的 4 倍，也是蓝花盆数的3 倍，如果蓝花比红花多 20 盆，请问：学校门口一共有多少盆花？ 3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生 . 如果只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒，试 问：现在将这些花生平均分给三群猴子，每只可得多少粒？ 4. 养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的 3 倍 . 一天有 10 只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数是是东院的 2 倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？ 5. 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸
15、帮冬冬搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 5 倍；如果冬冬帮爸爸搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 2 倍 . 请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？ 6. 甲班和乙班共 83 人，乙班和丙班共 86 人，丙班和丁班共 88 人 . 问：甲班和丁班共多少人？ 7. 小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出 60 千克与 90 千克之间的重量，因此他们三人只能两个两个称重 . 如果小悦和冬冬一起称，总重量是 73 千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是80 千克；阿奇和小悦一起称，总重量是 75 千克，三人的体重分别是多少千克？ 8. 四年级有甲、乙、丙、丁四
16、个班，不算甲班，其余三个数的总人数是 131 人 ；不算丁班，其余三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人 . 问：这四个班共有 多少人？ 9. 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满 30 天，工厂将给他一套工作服和 70 玩钱，但由于学校另有安排，他工作了 20 天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和 20 元钱 . 请问：这套工作服值多少元？ 10. 小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看 50 页，接着每天看 15 页；冬冬则打算每天看 22 页，最后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？ 11. 某食堂买来的大米的袋数是面粉的 4 倍，该
17、食堂每天消耗面粉 20 袋，大米 60 袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下 200 袋，这个食堂买来大米多少 袋？ 12. 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的 3 倍还多 10 颗，售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下 170 颗 . 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？ 超越篇 1. 在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的 . 前 20 道题中，小时做对了 15 道；余下的题中，他做对的题仅是做错的一半，最后一共得了 50 分 . 如果满分是 100 分，那么小明做对了多少道题？ 2.
18、有四个数，其中每三个数的和分别是 45、 46、 49、 52，那么这四个数中最小的一个数是多少？ 3. 小伟和小杰两人玩游戏牌，第一轮过后，小伟赢了小杰 13 张牌，这时小伟的 牌数是小杰的 2 倍少 10 张；由于得意忘形，小伟在第二、三轮惨败，输了 29 张牌，结果小杰的牌数反而是小伟的 7 倍少 10 张 . 求小伟和小杰原来各有多少张牌？ 4. 费叔叔买了一台电视机，购买时可以按以下两种方式付款：第一个月付款 750 元，以后每月付 150 元；或前一半时间每月付 300 元，后一半时间每月付 100 元 . 两种付款方式的付款总数及时间都相同 .问：这台电视机的价格是多少元？ 5.
19、 甲、乙、丙三人乘坐飞机，三人所带行李的重量都超过了免费重量，超出部分必须另付行李费 . 甲付 20元，乙付 40 元，丙付 60 元 . 三人的行李共重 150 千克，如果是一个人带这些行李出行，就需要支付 240元的超重费用 . 请问：每人可以免费携带多少千克的行李？ 6. 小楠的妈妈买回了若干个桔子和梨，其中桔子的个数是梨的 3 倍 . 如果全家每天吃 5 个桔子和 2 个梨，那么一星期后，桔子的个数是梨的 4 倍少 5 个 . 原来桔子和梨分别有多少个？ 7. 小真、小想和小看在讨论买变形金刚电影票的事，小真现有的钱数是小想的 3 倍 ，是小看的 2 倍 . 小真说：“如果小想给我 1
20、5 元钱，我就可以买 3 张电影票 小想说：“如果我给小真 15 元钱，剩下的钱恰好能买 3 个一样的汉堡。” 小看说：“如果妈妈再给我 35 元钱，我就刚好能买 2 张电影票和 2 个汉堡 请问：小真原有多少元钱？他们要买的电影票每张多少元？一个汉堡多少元？ 8. 现有三堆糖果，其中第一堆的块数比第二堆多，第二堆的块数比第三堆多 . 如果从每堆糖果中各取出一块，那么剩下的糖果中，第一堆的块数是第二堆的 3 倍；如果从每堆糖果中各取出同样多块，使得第一堆还剩下 32 块，则第二堆剩下的糖果数是第三堆的 2 倍 . 问：原来三堆糖果总共最多有多少块？ 第 3 讲 还原问题与年龄问题 内容概述 学
21、会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。 典型问题 兴趣篇 1. 某数加上 6，再乘以 6， 再减去 6，再除以 6， 其结果等于 6，则这个数是多少？ 2. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝 . 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下 8 两酒，这天他一共遇到 3 家酒店，在最后一家酒店喝完酒 后，葫芦里的酒刚好喝完 . 问：原来酒葫芦里有多少两酒？ 3. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身
22、上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了 3 个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是 64 枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？ 4. 三棵树上共有 48 只鸟 . 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上 ；最后，第三棵树上又有 10 只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多 . 问：一开始三棵树上各有几只鸟？ 5. 1997 年张伯伯 45 岁，小方 9 岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的 4 倍？ 6. 今年，小明的年龄等于他父母的
23、年龄差； 4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的 3倍 . 今年小明多少岁？ 7. 今年，父亲年龄是儿子年龄的 5倍； 15 年后，父亲年龄是儿子年龄的 2 倍 . 问：现在父子的年龄各是多少？ 8. 兄弟两个年龄之和是 32 岁 . 当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的 3 倍 .求哥哥现在的年龄 . 9. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 3 岁；当你像我这么大时，我已经 39 岁了 .” 求老师和学生现在的年龄 . 10. 今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多 6 岁 , 多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少 6 岁？ 拓展篇
24、1. 有一个数，把它加上 37，再乘以 18，减去 323，得到的结果用 23 去除，商是 16，余数是 11.这个数原来是多少？ 2. 果园里有一棵桃树 . 有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴 子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半 . 这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？ 3. 地上有 26 地砖，兄弟二人争着去挑 . 弟弟抢在前面，刚挑起一些砖， 哥哥赶到了，挑了剩下的砖 . 哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半 . 弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半 . 哥哥不服，弟弟只好再给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块，请问：最初弟弟准备挑多少块
25、砖？ 4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有 5 块糖，乙有 12 块糖， 两个人原来的糖数分别是多少？ 5. 甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了 2 倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱 给甲和乙，使他们的钱数和增加 2 倍，结果三人的钱数一样多，如果他们三人共有 81元，那么三人原来分别有多少钱？ 6. 今年张明 15 岁，他父亲 45 岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的 2
26、倍？多少年前，父亲年龄是张明年龄的 4 倍？ 7. 12 年前，父亲的年龄是女儿年龄的 11 倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的 3 倍 . 请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的 2 倍？ 8. 去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的 2倍 . 求哥哥和弟弟现在的年龄。 9. 今年父亲的年龄是 48 岁，哥哥的年龄是弟弟的 2 倍 , 当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟 俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？ 10. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 5 岁；当你像我这么大时，我已经 50 岁了。“求老师和学生现在的年龄。 11. 有老师和甲
27、、乙、丙三个学生 ，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和； 9 年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了 3 年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；再过 3 年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄。 12. 1 年前，父母的年龄和兄弟二人年龄和的 7 倍； 4 年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 4 倍，已知爸爸比妈妈大 2 岁，妈妈今年多少岁？ 超越篇 1. 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、 小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另
28、外两个和尚 . 就这样，三人轮流谦让了一阵，结果太阳落山时， 老和尚的水罐里有 10 升水，小和尚的水罐则装着 20 升水 . 请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？ 2. 甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加 1 倍；经过 2005 次这样的操作以后，甲有 10 块糖，乙有 8 块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 3. 哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园 .”已知 哥哥和弟弟现在的年龄和为 32 岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上 幼儿园年龄的 7 倍，求哥哥获得博士学位的年龄是多少岁
29、。 4. 小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才 5 岁呢 .”小明对爷爷说：“我的岁数是您现在的岁数时，我爸都 89 岁了 .”请问：小明的爸爸今年多少岁？ 5. 1996 年时，父母的年龄之和是 78 岁，兄弟二人的年龄之和是 17 岁； 4 年后，父亲年龄是弟弟年龄的 4倍，母亲年龄是哥哥年龄的 3 倍，试问：当父亲年龄是哥哥年龄的 3 倍时是公元多少年？ 6. 全家 4 口人，父亲比 母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 岁， 4 年前全家人的年龄之和是 58 岁，而现在是 73岁，问：现在各人的年龄分别是多少岁？ 7. 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次
30、先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了 7 次，这时黑板上三个数的和为 159. 如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为 2008，且所有写过的数都是整数 .请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？ 8. ；甲、乙、丙三人现在年龄的和是 113 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是 17 岁，请问：乙现在多少岁？ 第 4 讲 数阵图初步 内容概述 各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。 典型问题 兴趣篇 1. 在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于
31、11. 2. 请分别将 1， 2， 4， 6 这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于 15. 3. 如图 4-3 所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。 4. 把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内，使得 各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。 5. 把 1 至 12 分别填入图 4-5 的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。 6. 在如图 4-6 所示的 3 3 方格表内填入 1、 2、 3 这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。 7. 把 1 至 6 分别填入图
32、4-7 的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13. 8. 把 1 至 6 分别填入图 4-8 的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等 . 这个和最大是多少？最小是多少？ 9. 把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。 10.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？ 拓展篇 1. 将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三
33、个顶点上的数之和都等于 15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数 . 2. 在图 4-12 中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等 . 现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。 3. 图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈 . 请你把 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。 4. 在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6，并且使得从上到下
34、第二行与 第三行的数字之和都是 7. 5. 请在图 4-15 的每个小圆圈内填入 1或 2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？ 6. 把 1 至 8 分别填入图 4-16 的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于 1. 7. 在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于 它们连线上的已知数 . 请问：标有 的圆圈内填的数是多少？ 8. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 这七个数填入图 4-18 的 七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数
35、之和恰好是 8， 11， 15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？ 9. 把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？ 10. 把 1至 11 填入图 4-20 中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。 11. 请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。 12. 如图 4-22，有一座长方形城堡，四 周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表 .为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武
36、器？ 武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪 威力数 1 2 3 4 5 武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮 威力数 6 7 8 9 10 超越篇 1. 如图 4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将 1 至 12 中的另六个数填入其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是 28. 2. 如图 4-24，请在 三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和 . 3. 把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。 4. 把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二
37、个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等 .现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。 5. 把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和 的一半。 6. 图 4-28 中一共有 6 条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是 6）填入其中的九个圆圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于 23. 7. 如图 4-29， 5 5 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、 2、 3、 4、 5 中的一个（其中两个格子已经分别填入 1 和 2），使得每行、每列、每条对角线的五
38、个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请问： ABCDE 是多少？ 8. 图 4-30 是奥林匹克 五环标志，五个圆内共分成了九个部分 ，请在这九个部分中填入 1 至 9 这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？ 第 5 讲 竖式问题 内容概述 以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。 典型问题 兴趣篇 1.如图 5-1 所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“ G”代表“ 5”，“ A”代表“ 9”，“ D”代表“ 0”，“ H”代表“ 6”
39、 .问：“ I”代表的数字是多少？ 2. （ 1）在图 5-2 的加法竖 式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？ (2) 在图 5-3 的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？ 3. 在图 5-4 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果 23+解 +数 +字 +谜=30，那么“ ”所代表的三位数是多少？ 4. 图 5-5 所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ ”代表的四位数 是多少？ 5. 已知图 5-6 所示的乘法竖式成立，那么 A
40、BCDE 是多少？ 6. (1) 在图 5-7 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？ (2) 在图 5-8 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？ 7. 如图 5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？ 数字谜 北京奥运 8. 在图 5-10 和 图 5-11 中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立 . 9.在图 5-12 所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？ 10. 有一个四位数，它乘以 9 后所得乘积恰好是将原
41、来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数 . 拓展篇 1. 在图 5-13 和 5-14 中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值 . 2. 如图 5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不 同的数字，那么数字 A、 B、C 分别是多少？ 3. 在图 5-16 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且 ABCD. 问：竖式中的和是多少？ 4. 在图 5-17 的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“ ”所代表的七位数是多少？ 5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四
42、位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是 7826. 小 悦原来写的四位数是多少？ 6. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数 . 求原来的三位数 . 7. (1) 一个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍，那么原数最小是多少？ (2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的 4 倍，那么原来的五位数是多少 /
43、8. 如图 5-18，每一个英文字母代表 0， 1， 2 9 中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母 A、Q、 T、 R、 F 分别代表什么数字？ 9. 图 5-19 中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来 . 10. 请把如图 5-20 所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？ 携手上海世博会 11. 请把图 5-21 中的除法竖式补充完整。 12. 在图 5-22 的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式 . 超越篇 1. 图 5-23 是一个加法竖式，其中 E、 F、 I、 N、 O、 R、 S、 T、 X、
44、 Y 表示 0 至 9 中的不同数字，且 F、 S不等于零，这个算式的结果是多少？ 2. 澳门的拼音和英语写法为 AOMEN 及 MACAO， 我们规定这些字母表示 1 至 9 中的不同数字，那么图5-24 中竖式的计算结果最大是多少？ 3. 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强韩赵魏，九章色股弦 . “三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字，我们来用这副有趣的对联做下面的题目： (1)在图 5-25 的竖式中 ，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“三”代表 3，“九”代表 9，请
45、将竖式补充完整 . (只需要找出一种解答 ) (2) 在图 5-26 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“ ”代表 345，请将竖式补充完整 . 4. 在图 5-27 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么 ABCDEFG 所代表的七位数是多少？ 5. 请把图 5-28 中的除法竖式补充完整 . 勾股弦 6. 在 图 5-29 所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，请问：被除数是多少？ 7. 在图 5-30 的乘法竖式中，“二”代表除以 3 余 2 的数字，即 2、 5、 8 中的一个；“ ”代表除以
46、3 余 1的数字，即 1、 4、 7 中的一个；“零”代表除以 3 余 0 的数字，即 0、 3、 6、 9 中的一个，请填出这个竖式 . 8. 在图 5-31 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中 W=0. 请用合适的数字替换字母，使得竖式成立 . 第 6 讲 行程问题一 内容概述 掌握速 度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系，掌握基本相遇问题和基本追及问题的解法；学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程 . 重点掌握画线段图的分析方法 . 典型问题 兴趣篇 1. A、 B 两城相距 240 千米，一辆汽车原计划用 6 小时从 A 城到 B 城
47、，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中停留了 1 小时 . 如果要按照原定的时间到达 B 城，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？ 2. A、 B 两地相距 4800 米，甲、乙两人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 100 米，请问： (1) 甲从 A 走到 B 需要多长时间？ (2) 两个人从出发到相遇需要多长时间？ 3. 在第 2 题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两个人同时、同向出发 . 请问：乙出发后多久可以追上甲？ 4. 甲、乙两地相距 350 千米，一辆汽车在早上 8
48、点从甲地出发，以每小时 40 千米的速度开往乙地， 2 小时后另一辆汽车以每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地 . 问：什么时候两车在途中相遇？ 5. 小悦和冬冬分别从相距 720 米的两地出发同向而行，且冬冬比小悦先出发 2 分钟， 已知小悦的速度是每分钟 60 米，冬冬的速度为每分钟 50 米，试问：当小悦追上冬冬的时候，冬冬已经走了多少米？ 6. 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距 350 千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行 40 千米，小轿车每小时行 60 千米，问： (1) 2 小时后两车相距多少千米？ (2) 经过几小时后两车第一次相距 50 千米？ 7.一辆公共汽车和一
49、辆小轿车从相距 300 千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行 40 千米；小轿车在后，每小时行 60 千米，问： (1) 经过 6 小时后两车相距多少千米？ (2) 经过几小时后两车第一次相距 100 千米？ 8. 甲、乙两人分别在 A 地和 B 地，甲从 A 地到 B 地需要 20 分钟，乙从 B 地到 A 地需要 30 分钟，如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？ 9. 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶 40 千米，两车 6 小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过了 3 小时，甲车到达 B 地，问：乙车还要过多久才能到达 A 地？ 10. 甲、乙两人分别从 A、 B 两地同时出
