1、多 约束最短路径模型与求解胡耀民1， 2，刘伟铭2（ 1.广州番禺职业技术学院 信息工程学院，广东 广州 511483； 2.华南理工大学 土木与交通学院，广东 广州 510640）收稿日期： 2009-10-22基金项目：国家自然科学基金资助项目（ 50978106）通信作者：胡耀民（ 1975-），男，湖南宁乡人，博士生，讲师，主要从事智能交通及数据挖掘研究 .E- mail： 摘 要：提供满足驾驶员多个心理期望的路径是导航系统该解决的关键问题，其本质是资源约束最短路径问题，属于 NP 难问题，无法使用传统的最短路径算法解决 .提供了多约束路径规划的数学模型，并使用了蚁群算法对其求解，在算
2、法中针对问题重新设计了信息素更新规则和启发因子 .实验证明算法具备良好的寻优能力，能准确找出路网中满足多种属性约束的路径 .关键词：多约束；路径规划；蚁群算法中图分类号： TP311 文献标识码： A 文章编号： 1672- 9102（ 2010） 01- 0087- 04湖南科技大学学报（自然科学版）Journal of Hunan University of Science & Technology（ Natural Science Edition）第 25 卷第 1 期2010 年 3 月Vol.25 No.1Mar. 2010驾驶员在使用导航系统进行路径规划时都希望得到的路径最短以达到
3、节省时间和费用，但同时又希望路径是容易驾驶 、安全性很高 、风景迷人的，这就要求路径满足多种路径质量的约束条件 .这个问题的实质就是在最短路径（ shortest path： SP）的基础上添加另外的约束条件而构成带约束最短路径问题（ constrainedshortestpath： CSP） .CSP 问题有多种形式，如要求路径必须经过某个节点 、必须经过某条弧 、路径资源限制等，文中使用的是资源约束的 CSP 定义1-5：求解满足路径上某种或某几种属性之和小于设定的上限值的最短路径 .众所周知， SP 问题的时间复杂度为 n2（ n 为节点个数），然而不幸的是 CSP 问题已经被证明为 N
4、P 难问题6-7，无法采用 dijstra 或 A* 来解决 .对于 CSP 问题的求解，也是学术界一直在探讨的问题， Handler， G.Y.，Zang6中使用了 K- 最短路径和拉格朗日松弛的方式进行求解，成为 CSP 问题的经典解法，但求解的时间复杂度并不令人满意 . 蚁群算法模拟生物界群体觅食的能力，能够在实际的路径搜索过程中对外界的影响做出动态的响应，是一种具有分布计算 、信息正反馈和启发式搜索等特征的优化工具8，因而在交通最优路径选择中具有极大的可能性和适应性 . 作者先给出多约束路径的数学模型，采用改进型蚁群算法来寻找多约束最短路径，并在基本蚁群算法的基础上重新设计信息素更新规
5、则，引入信息素更新算子，动态增加负荷约束的路径上信息素；为提高算法效率，算法中改进能见度启发因子 .1 数 学 模 型多约束最短路径是求解路网中能够同时满足多个路径属性约束（如到达时间限制 、安全性限制 、距离限制 、费用限制 、路的等级限制等），且距离最短的路径，下面对多约束最短路径建模 .交叉口对应结点，两交叉口之间的路段对应弧，路段的属性使用多元组来表示 . 有向图满足了导航需要的路网表达方法和存储结构应满足的要求，如存储量小，便于路线优化算法对其进行操作，充分考虑路网作为网络的特殊性，能够表达路网要素及拓扑结构，能够表达单向交通 、交叉口转向限制等交通管制措施，能够表达路网的各种特殊结
6、构，要考虑结点权重如何存储 .路网有向图的可以表示为式（ 1）：NR=（ V， E），V=1， 2， 3， 4， ，E=（ u， ， Qu） u， V.!#“#$（ 1）式中， Qu是道路的属性集用多元组表示，如（长度 、平87均 时速 、收费金额 、道路等级）等 .为了表示方便本文引入了其他一些符号定义：C：路网有向图矩阵；o：表示起始点；d：表示终点；cij：从节点 i 到节点 j 的弧， cijC；dij：路段 cij的长度；fij：路段 cij的通行费金额（不包括燃油耗费），按不同车辆类型有不同数据；tij：行驶在 cij时每公里的耗时，参考历史的平均时段统计数据；sij：发生在 ci
7、j上的交通事故率，参考历史的平均时段统计数据 .在行车时间 、通行费 、安全性等方面施加了质量约束的多约束最短路径数学模型：Min（ G） =min（iVjV（ Xijdij）， （ 2）s.t.iVjV（ Xijdijtij） Dp，iVjV（ Xijfij） iVjV（ Xijdijtij）时，0，当 DpiV， jV仪（ 1-Xijsij） 时，0，当 SpiVjV（ Xijfij） 时，0，当 FpiVjV（ Xijfij） 时仪.（ 15）式（ 11）中， A， B， C， D 是 4 个系数，都是正实数，分别表示距离限制 、时间限制 、安全性限制 、通行费限制的相对重要性，在如果算
8、法中要强调哪个因素的限制，就可以把系数取一个较大正实数 . 通过上述定义可知，如果所选路径的总路径距离越短，同时又满足时间限制要求 、安全性限制要求 、通行费限制要求，则该路径上信息素相应要增加更多，这就启发更多蚂蚁向这些路径上的边汇聚 .多约束高质量路径的蚁群算法具体步骤如下：1）初始化网络拓扑中各边的信息素；2）放置 m 只蚂蚁在出发节点，各蚂蚁通过转移规则来选择各自路径，当某只成功完成路由选择之后，该蚂蚁所选路径上各边的信息素根据信息素更新规则进行更新；3）对所有蚂蚁重复第 2）步，直到 m 只蚂蚁都完成了第 2）步；4）选择在本次循环中费用最小，且满足时间限制 、安全性限制的路由的蚂蚁
9、，然后使用全局更新规则对该蚂蚁所选的路径各边上的信息素进行更新；5）重复第 2） -4）步，直到获得满意的结果 .3 算 例3.1 试验为了验证算法的寻优能力，作者在 windows XP下，使用 Jbuilder2006 编程实现了算法，对多约束最短路径模型进行求解 .图 1 是是仿真所用的网络拓扑，假定所仿真路网上边的两个方向的属性一致，所以可以用把有向图转换为无向图表示，每一条无向边表示正反两条弧 .顶点用编号带坐标的方法表示，坐标值（ X，Y）如果在真实地图中则换成（经度，纬度）元组；每条边用一个四元组（ length， Speed， Tolls， Accident-rate）来表示，
10、其中元素分别表示距离 、允许车速 、通行费用 、事故发生统计概率 .试验 1：让算法尝试规划 1-14 之间最优路径 .规定路径质量：允许的行车时间 Dp4 h，允许的事故发生率（ 1-Sp） =10-5，通行费用 100.设置蚂蚁个数 m=10，信息素启发因子 =1，距离期望启发因子 =5，信息素初值 =100，信息素挥发因子 =0.55，系数 A=10， B=15，C=200， D=15，迭代次数设定为 100 次 .经过 300 次实验得到如表 1 所示结果 .试验 2：为了考查算法在无法给出驾驶员期望质量的路径时行为，作者尝试使程序规划 1-9 之间的路径，且规定路径质量：允许的行车时
11、间 Dp3 h，允许的89Multi- constrained shortest path model and solvingHUYao- min1， 2， LIUWei- ming2（ 1.Guangzhou Panyu Polytechnic， Guangzhou 511483， China； 2.South China UniversityofTechnology， Guangzhou 510640， China）Abstract： How to provide route to meet the drivers multiple psychological expectations i
12、s the key problem ofnavigation system. The essence of this problem is resource constrained shortest path problem （ RCSP）， which belongs toNP- C problems and can not be solved with the traditional shortest path algorithm. Multi- constrained shortest pathmathematical model was presented， and ant colon
13、y algorithm was used to solve it. Aimed at the problem， pheromoneupdate rule and heuristic factor were redesigned in the algorithm. Experiments show that the improved optimizationalgorithmhave a good abilitytoaccuratelyfind multi- constrained shortest path in road network.Key words： multi- constrain
14、ed； route plan； improved ant colonyalgorithm事故发生率（ 1-Sp） =10-5，通行费用 5.设置蚂蚁个数m=10，信息启发因子 =1，期望启发因子 =5，信息素初值 =100，信息素挥发因子 =0.55，系数 A=10， B=15，C=200， D=15，迭代次数设定为 100 次 .经过 300 次实验得到如表 2 所示结果 .3.2 结果分析试验 1 可以看出，发现最优解率为 88.67%；发现次优解率为 11.3%，没有无效解，说明改进后蚁群算法具备良好的寻优能力 . 从图中可以看出 1-14 的路由中存在 1-4-8-11-14，虽然通行
15、费用只要 25，距离 290，但耗时达到 5.55 h，且事故率达到 10-4数量级，路径质量没达到要求，算法没选择它 .试验 2 可以看出，当驾驶员给出的路径质量约束不能满足时，算法还是能够规划出路线 1-4-8-9 和1-2-3-9，此时算法已经退化为求距离最短的路径规划算法，保证了路径规划结果，体现了算法的鲁棒性 .4 结 论针对导航系统中多约束路径规划问题，引入蚁群算法求解，为求解属于 NP-C 的带约束最短路径问题提供了一个可行方案 . 基本蚁群算法式是求解 TSP 问题的，要使之能够应用于求解多约束最短路径问题，必须对其进行修改，文中重新设计了信息素更新算子，把路径质量约束添加到了
16、信息素更新算子中，改进了能见度启发因子，从而增强了算法的正反馈作用，提高了算法的收敛速度 .仿真试验表明：在驾驶员规定的路径质量能够满足时，算法能够快速有效的求得满足质量约束的最优路径或次优路径；在驾驶员规定的路径质量不能满足时，算法能够求出最短路径或次短路径 . 这对导航系统的路径规划问题的研究有一定的参考价值 .参考文献：1 AnejaY， AggarwalV， NairK.ShortestchainsubjecttosideconditionsJ.Networks， 1983， 13（ 1）： 295-302.2 Beasley J， Christofides N. An algorit
17、hm for the resource constrainedshortest path problemJ. Networks， 1989， 19（ 2）： 379-394.3 DesrosiersJ， DumasY， Solomon M， et al.Time constrained routing andschedulingJ.NetworkRouting， 1995， 8（ 1）： 35-139.4 DumitrescuI， BolandN.Theweight-constrainedshortestpathproblem：preprocessing， scaling and dynami
18、c programming algorithms withnumerical comparisonsC/International Symposium on MathematicalProgramming（ ISMP）， Springer LNCS， 2000： 453-461.5 SellmannM.Cost-basedfilteringforshorterpathconstraintsM.Principlesand Practice of Constraint Programming（ CP）， SpringerLNCS， 2003：679-693.6 Handler G Y， Zang
19、I. A dual algorithm for the constrained shortest pathproblemJ.Networks， 1980， 10（ 4）： 293-310.7 WangZ， CrowcroftJ.Qualityofserviceroutingforsupportingmultimediaapplications J. IEEE Journal on SelectedAreasinCommunications，1996， 14（ 7）： 1228-1234.8 MullenRJ， MonekossoD， BarmanS， etal.Areviewofantalgo
20、rithmsJ.ExpertSystemswithApplications， 2009， 36（ 2）： 9608-9617.9 Colorm A， Dorigo M， Miniezzo V. Distributed optimization by antcoloniesC/Proceedingofthe First European Conference on ArtificialLife， ElsevierPublishing， 1991： 134-142.10 Dorigo M， Cambardella L M.A cooperative learning approach to the
21、traveling salesman problemJ. IEEE Transactions on EvolutionaryComputation， 1997， 1（ 1）： 53-66.11 Yang J H， Shi X H.An ant colony optimization method for generalizedTSP problemJ.Progress in Natural Science， 2008， 18（ 1）： 1417-1422.12 JelmerMarinusvanAst， RobertBabuska.Novelantcolonyoptimizationapproa
22、ch to optimal controlJ. International Journal of IntelligentComputingandCybernetics， 2009， 2（ 3）： 414-434.13 SaraMorin， CarolineGagn， MarcGravel.Antcolonyoptimizationwitha specialized pheromone trail for the car-sequencing problemJ.European Journal of Operational Research， 2009， 197（ 1）： 1185-1191.表
23、 1 路径规划结果表 1Tab.1 Table ofpath planning results1路径请求 (o-d)所得路径通行费用距离耗时估计事故率(数量级 )结果次数所占比率 /%1- 141- 6- 7- 11- 141- 6- 7- 12- 1480953003403.2653.62510-510-52663488.6711.33表 2 路径规划结果表 2Tab.2 Table ofpath planning results2路径请求 (o-d)所得路径通行费用距离耗时估计事故率(数量级 )结果次数所占比率 /%1- 91- 4- 8- 91- 2- 3- 920702202704.1673.4310-410-52821894690
