1、2018年初中数学联赛试题 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准 第一试，选择题和填空题只设 7分和 0分两档；第 二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数 第一试 (A) 一、选择题： (本题满分 42分，每小题 7分 ) 1. 设二次函数 22 22ay x ax= + +的图象的顶点为 A，与 x轴的交点为 B， C 当 ABC 为等边三角形时，其边长为 ( ) A 6 B 22 C 23 D 32 2. 如图，在矩形 ABCD中， BAD 的平分线交 BD于点 E， 1 1
2、5AB CA E= = ， ，则 BE=( ) A 33B 22C 21 D 31 3. 设 pq， 均为大于 3的素数，则使 2254p pq q+为完全平方数的素数对 (p， q)的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 4. 若实数 a， b满足 2ab= ， ( ) ( )2211 4abba+=， 则 55ab=( ) A 46 B 64 C 82 D 128 5. 对任意的整数 x， y，定义 x y x y xy= + ，则使得 ( ) ( ) x y z y z x+( ) 0z x y= 的整数组 (x， y， z)的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 6.
3、 设 1 1 1 12 0 1 8 2 0 1 9 2 0 2 0 2 0 5 0M = + + + +，则 1M的整数部分是 ( ) A 60 B 61 C 62 D 63 二、填空题： (本题满分 28分，每小题 7分 ) 7. 如图，在平行四边形 ABCD 中， 2BC AB CE AB=， 于 E， F 为 AD 的中点，若 AEF48=，则 B= 8. 若实数 xy， 满足 ( )33 1 1 542x y x y+ + + =，则 xy+ 的最大值为 9. 没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为 10. 已知实数 a b c， ， 满足 0abc+ + = ， 2 2 2
4、1abc+ + = ，则 5 5 5abcabc+= 第一试 (B) 一、选择题： (本题满分 42分，每小题 7分 ) 1. 满足 ( ) 22 11xxx + = 的整数 x 的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2. 已知 1 2 3x x x， ， ( 1 2 3x x x)为关于 x 的方程 ( )323 2 0x x a x a + + =的三个实数根，则 2221 1 2 34x x x x + + =( ) A 5 B 6 C 7 D 8 3. 已知点 EF， 分别在正方形 ABCD 的边 CD， AD上， 4CD CE E F B F B C= = ， ，则tan
5、 ABF= ( ) A 12B 35C 22D 324. 方程 339xx+ + = 的实数根的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 5. 设 a， b， c为三个实数，它们中任何 一 个数加上其余两数之积的 2017倍都等于 2018，则这样的三元数组 (a， b， c)的个数为 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 6. 已知实数 a， b满足 3 2 3 23 5 1 3 5 5a a a b b b + = + =，则 ab+=( ) A 2 B 3 C 4 D 5 二、填空题： (本题满分 28分，每小题 7分 ) 7. 已知 pqr， ， 为素数，且 pqr 整除 1p
6、q qr rp+ + ，则 pqr+ + = 8. 已知两个正整数的和比它们的积小 1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 9. 已知 D 是 ABC 内一点， E 是 AC 的中点， 6 1 0A B B C B A D B C D= = = ， ，EDC=ABD ，则 DE= 10. 已知二次函数 ( ) ( )2 2 22 2 1 4 5 0y x m n x m n= + + + + + +的图象在 x轴的上方，则满足条件的正整数对 (m， n)的个数为 第二试 (A) 一、 (本题满分 20分 )设 a， b， c， d为四个不同的实数，若 a， b为方程 2 10 11
7、 0x cx d =的根， c， d为方程 2 10 0x ax b = 的根，求 a b c d+ + + 的值 二、 (本题满分 25分 )如图，在扇形 OAB 中， 9 0 1 2AOB OA = =， ，点 C 在 OA 上， 4AC= ， 点 D 为 OB 的中点，点 E 为弧 AB 上的动点， OE 与 CD 的交点为 F (1)当四边形 ODEC的面积 S最大时，求 EF； (2)求 2CE DE+ 的最小值 三、 (本题满分 25分 )求所有的正整数 m， n，使得( )3 3 2 22m n m nmn+是非负整数 第二试 (B) 一、 (本题满分 20分 )若实数 a， b
8、， c满足 ( ) 1 1 1 95 5 5 5abc a b c b c a c a b+ + + + =+ + + ，求 ( ) 1 1 1abc abc+ + + +的值 二、 (本题满分 25分 )如图，点 E在四边形 ABCD 的边 AB上， ABC 和 CDE 都是等腰直角三 角形， AB AC DE DC=， (1)证明： AD BC ； (2)设 AC 与 DE 交于点 P ，如果 30ACE = ，求 DPPE 三、 (本题满分 25分 )设 x 是一个四位数， x 的各位数字之和为 1mx+， 的各位数字之和为 n ，并 且 m 与 n 的最大公约数是一个大于 2 的素数 求 x
