1、2 含有绝对值的不等式,2.1 绝对值不等式,1.理解含有绝对值的不等式的性质. 2.掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义. 3.能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题,并认识不等式证法的多样性、灵活性.,1.实数的绝对值的概念(2)|a|的几何意义:|a|表示数轴上实数a对应的点与原点O的距离. |a|b|a2b2.(4)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点O的距离. (5)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的O距离.,2.绝对值不等式的定理 (1)定理
2、:对任意实数a和b,有|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. (2)定理的另一种形式:对任意实数a和b,有|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,分析:利用不等式的性质证明即可.,3.|a+b|a|+|b|的几何意义 (1)如图,当a,b同号时,表示它们的点位于原点的同一边,此时表示a与-b的点间的距离等于表示a与b的点到原点的距离之和.,(2)如图,当a,b异号时,表示它们的点分别位于原点的两边,表示a与-b的点间的距离小于表示a与b的点到原点的距离之和.,题型一,题型二,题型三,题型一 利用绝对值不等式证明不等式 【例1】 设m等于|a|,|b|和1中最大的一个
3、,当|x|m时,求证,分析:本题的关键是对题设条件的理解和运用.判断|a|,|b|和1这三个数中哪个最大.如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m|a|,m|b|,m1.从而利用这一条件证题.,题型一,题型二,题型三,反思分析题目时,题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据,而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来,准确理解题目中的文字语言,适时准确地进行转化也就成了解题的关键.如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|和1中最大的一个”可转化为符号语言“m|a|,|m|b|,m1”,这是证明本题的关键.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型
4、二,题型三,题型二 利用绝对值不等式求最值 【例2】 求函数y=|x+1|-|x-4|的最大值和最小值. 分析:利用绝对值不等式的性质进行变形来解.,题型一,题型二,题型三,反思1.形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用绝对值不等式或其几何意义进行求解. 2.一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a|-|x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|. 3.求最值时,还应注意等号成立的条件.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 若关于x的不等式|x+2|+|x-1|a的解集为,求实数a的取值范围. 解
5、法一:|x+2|+|x-1|(x+2)-(x-1)|=3, 当a3时,原不等式的解集为. 解法二:式子|x+2|+|x-1|可以看作数轴上一点到-2,1对应两点的距离之和,因为数轴上任一点与-2,1这两点间的距离之和不小于3,故使原不等式解集为的a的取值范围是a3.,题型一,题型二,题型三,题型三 绝对值不等式的应用 【例3】 已知a,b,c为实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1x1时,|f(x)|1.试证明:当-1x1时,|g(x)|2. 分析:在证明中要注意合理利用绝对值不等式的定理,由于g(x)是一次函数,因此可将|g(x)|2转化为g(-1),g(1)与2的
6、关系加以证明. 证明:当a0时,g(x)=ax+b在-1,1上是增函数, g(-1)g(x)g(1). 当-1x1时,|f(x)|1, |c|=|f(0)|1,g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2,|g(x)|2. 当a0时,g(x)=ax+b在-1,1上是减函数, g(1)g(x)g(-1). 当-1x1时,|f(x)|1,|c|=|f(0)|1,题型一,题型二,题型三,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2,g(1)=a+b=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)-2, |g(x
7、)|2. 当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c, -1x1,|g(x)|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2. 综上可知,当-1x1时,|g(x)|2. 反思当函数f(x)中x的最高次项含有字母时,要对字母进行分类讨论.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|1.求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1). 证明:f(x)=x2-x+13,|x-a|1, |f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a|x+a-1|x+a-1|. 又|x+a-1|=|x-a+2a-1|x-a|+|2a-1|1+2|a|+1=2(|a|+1)
8、, |f(x)-f(a)|2(|a|+1).,1,2,3,4,5,1若|x-a|m,|y-a|n,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.|x-y|2m B.|x-y|2n C.|x-y|n-m D.|x-y|n+m 解析:|x-y|=|x-a-(y-a)|x-a|+|y-a|m+n. 答案:D,1,2,3,4,5,2设ab0,则下面四个不等式中,正确的是( ) |a+b|a|;|a+b|a|-|b|. A.和 B.和 C.和 D.和 解析:ab0,a,b同号, |a+b|=|a|+|b|,和正确. 答案:C,1,2,3,4,5,3若a,bR,且满足|a-2b|b C.|a|a-2b|a|-2|b|,|a|2b-a|2|b|-|a|. |a|b|. 综上,知|b|a|3|b|. 答案:D,1,2,3,4,5,4若关于x的不等式|x-4|+|x-3|a对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是 . 解析:由|x-4|+|x-3|(x-4)-(x-3)|=1,得(|x-4|+|x-3|)min=1, 故a的取值范围是a|a1. 答案:a|a1,1,2,3,4,5,
