1、第6节 离散型随机变量的分布列及均值和方差,考纲展示,知识链条完善,考点专项突破,知识梳理,1.离散型随机变量的概念与分布列 (1)随机变量:一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.通常用大写字母X,Y,Z(或小写希腊字母, )等表示,而用小写字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.所有取值可以一一列出的随机变量,称为 .,离散型随机变量,(2)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2, xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi以表格的形式表示如下:,将上表称为离散型随机变量X的概
2、率分布列,简称为X的分布列.有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.,(3)离散型随机变量概率分布列的性质: pi0,i=1,2,n; p1+p2+pn= .,1,2.离散型随机变量的均值 (1)概念:一般地,若离散型随机变量X的分布列为,则称E(X)= 为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)性质:若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的数学期望是E(X),则E(Y)= .,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,aE(X)+b,3.离散型随机变量的方差 (1)概念:离散型随机变量X的分布列为,(2
3、)性质:D(aX+b)=a2D(X).,4.两点分布和超几何分布 (1)两点分布的分布列、均值和方差,若X服从成功概率为p的两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p).,对点自测,1.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取两个,可以作为随机变量的是( ) (A)至少取到1个白球 (B)至多取到1个白球 (C)取到白球的个数 (D)取到的球的个数,C,解析:选项A,B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.,2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( ),C,解析:设失败率为p,则成
4、功率为2p.X的分布列为,即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,所以由p+2p=1得p= ,故选C.,3.已知某离散型随机变量X的分布列如表,则随机变量X的方差D(X)等于( ),B,4.(人教版教材例题改编)用X表示投掷一枚均匀的骰子获得的点数,且X的分布列为P(x=i)= (i=1,2,6),则掷出的点数是偶数的概率为 .,5.已知X的分布列为,设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是 .,6.把下面结论正确的序号填在横线上 . 抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量. 离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象. 某人射击时命中的概率为0.5,此人射击
5、三次命中的次数X服从两点分布. 离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1. 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一 离散型随机变量的分布列 【例1】 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自
6、同一个协会”,求事件A发生的概率;,(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.,求解离散型随机变量X的分布列的步骤:(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列.,反思归纳,【跟踪训练1】 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB30952012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取
7、10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:,(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;,(2)从这10天的数据中任取3天数据,记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求X的分布列.,考点二 离散型随机变量的期望与方差(多维探究) 考查角度1:离散型随机变量的期望与方差 【例2】 (2019山西孝义市模拟)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,作为国家战略性空间基础设施,我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大,而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计,2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2 118亿元,较20
8、15年约增长22.06%.下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值(单位:万元)的频率分布直方图.,(1)根据频率分布直方图,求产值小于500万元的城市个数;,解:(1)根据频率分布直方图可知,产值小于500万元的城市个数为(0.03+ 0.04)540=14.,(2)在上述抽取的40个城市中任取2个,设Y为产值不超过500万元的城市个数,求Y的分布列及数学期望和方差.,反思归纳,求离散型随机变量的均值与方差的一般步骤: (1)理解的意义,写出可能取的全部值; (2)求取每个值的概率; (3)写出的分布列; (4)由均值的定义求E(); (5)由方差的定义求D().,(1)求甲、乙
9、两人所付滑雪费用相同的概率;,(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望E(),方差D().,考查角度2:均值与方差在决策中的应用 【例3】 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图.,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示
10、购买2台机器的同时购买的易损零件数.,(1)求X的分布列;,解:(1)由柱状图及以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列为,(2)若要求P(Xn)0.5,确定
11、n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?,解:(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68, 故n的最小值为19.,(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时, E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3 500)0.04=4 040. 当n=20时, E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用
12、的均值,故应选n=19.,反思归纳,随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.,考点三 超几何分布及应用 【例4】 (2019西宁市模拟)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如图.,(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;,(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选到的男生人数为X,求随机变量X的分布列;,反思归纳,超几何分布的
13、两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数.,【跟踪训练4】 (2019陕西渭南市一模)某班共50名同学,在一次数学考试中全班同学成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组:第一组90,100),第二组100,110),第五组130,140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”,120分以上记为“优秀”,不超过100分则记为“及格”.,(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好的”人数;,解:(1)由频率分布直方图知,成绩在100,120)内的人数为500.16+500.38=27(人), 所以该班学生在这次数学考试中成绩“良好的”人数为27人.,(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩,记X为取得第一组成绩的个数,求X的分布列与数学期望.,备选例题,【例题】 (2017山东泰安一模)在学校组织的“环保知识”竞赛活动中,甲、乙两班各6名参赛选手的成绩的茎叶图都受到了污损,如图.,(1)求乙班总分超过甲班的概率;,(2)若甲班污损的学生成绩是90分,乙班污损的学生成绩为97分,现从甲、乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个,记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为,求的分布列及数学期望.,
