1、第二章 圆锥曲线与方程,2.2.1 椭圆的标准方程,引入课题：椭圆,知识点一：椭圆的定义,圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆.,如果把这一个定点分裂成两个定点， 会画出什么图形呢？,知识探究：椭圆的定义,1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置 是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ 说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离 大小有怎样的关系？,知识探究：椭圆的定义,椭圆是怎样定义的？,椭圆定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆. 两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离
2、叫做焦距.,知识探究：椭圆的定义,(1)当大于时,(2)当等于时,(3)当小于时,椭圆,线段,不存在,为何固定值要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？,知识点二：椭圆的标准方程,根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？,求曲线的方程的基本步骤,(1)建系设点；,(2)写出点集；,(3)列出方程；,(4)化简方程；,(5)检验.,知识探究：椭圆的标准方程,(1)建系设点；,F1,F2,O,y,原则：一般利用对称性或已有的线段、点 建立坐标系(对称、“简洁”). 尽可能使方程的形式简单、运算简单.,x,椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)， 则F1(c,0)、F2(c,0)，P与F1和F2的距离的
3、和 为2a(2a2c) ，,知识探究：椭圆的标准方程,由椭圆的定义得：,由于,得方程 ，,|PF1|+|PF2|=2a，,移项、平方，,化为 ，,F1,F2,P(x , y),O,y,x,知识探究：椭圆的标准方程,由椭圆定义可知2a2c,整理得,两边再平方，得,椭圆的 标准方程,a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，,(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) ，,即ac ，,a2-c20,设a2-c2=b2(b0) ，,方程化为b2x2+a2y2=a2b2 ，,思考：利用此推导过程，能得到焦点在y轴上的椭圆的方程吗？,.,知识探究：椭圆的标准方程,焦点在
4、x轴上,焦点在y轴上,|PF1|+|PF2|=2a,F1(c,0)、F2(c,0),|PF1|+|PF2|=2a,F1(0,c)、F2(0,c),知识探究：椭圆的标准方程,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹,标准方程,不 同 点,相 同 点,图 形,焦点坐标,定 义,a、b、c 的关系,焦点位置的判断,复习引入,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹,标准方程,不 同 点,相 同 点,图 形,焦点坐标,定 义,a、b、c 的关系,焦点位置的判断,知识点一：与椭圆有
5、关的轨迹方程,已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切， 求动圆圆心C的轨迹方程,转化为动点C 满足的几何条件,由已知圆C1圆心为C1(4,0)， 半径为r113 圆C2圆心为C2(4,0)， 半径为r23. 设动圆的圆心为C (x，y)， 半径为r.,解：,圆C1与圆C相内切，|C1C|r1r 圆C2与圆C相外切，|C2C|r2r. 由可得,|CC1|CC2|r1r213316 |C1C2|8. 动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为其焦点 由题意得c4，a8， b2a2c2641648.,知识点一：与椭圆有关的轨迹方程,跟
6、踪训练,已知B，C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长 等于16，求顶点A的轨迹方程,解：以BC所在直线为x轴， 线段BC的中垂线为y轴,建立坐标系 由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6， 有|AB|AC|10 |BC|6 ，,知识点二: 代入法求轨迹方程,在圆x2+y2=4上任取一点P，向x轴作垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD中点M的轨迹方程.,O,x,y,P,M,D,主动点,从动点,设M(x, y), P(x0, y0)，,由题意可得：y0=2y, x0=x，,x2+4y2=4，,显然点M的轨迹为一个椭圆.,解：,，,，,跟踪训练,解：设M(x, y), P(x
7、0, y0),由题意可得：y0=3y, x0=x,x2+9y2=9,显然点M的轨迹为一个椭圆.,知识点三：直接法求轨迹方程,M,设点M的坐标为(x,y)，,化简，得点M的轨迹方程为,解：,跟踪训练,设点A、B的坐标分别为(-1，0)，(1，0).直线AM、BM相交于点M，直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，求点M的轨迹方程.,解：设点M的坐标为(x,y),化简，得点M的轨迹方程为x=3(y0).,典例分析,解：,椭圆的焦点在x轴上,由椭圆的定义知,又c=2,b2=a2-c2=6,定型定量,典例分析,另解：,椭圆的焦点在x轴上，,由已知：c=2,则a2-b2=c2=4 ,联立解得：a2=10，b2=6,跟踪训练,1.a4，b3，焦点在x轴上；,3.若椭圆满足: a5 , c3 ,求它的标准方程.,当堂训练,(0,4),当堂训练,A,D,当堂训练,已知A(0，1)、B(0,1)两点，ABC的周长为6， 则ABC的顶点C的轨迹方程是( ),D,当堂训练,归纳小结,求椭圆标准方程的方法,求美意识， 求简意识，前瞻意识,归纳小结,求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直接法、代入法、相关点坐标分析法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展开 过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何条件 有多种, 这些条件能让我们开拓眼见.,
