1、2.2.1 双曲线及其标准方程,第二章 2.2 双曲线,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的 等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ，_叫做双曲线的焦距.,差的绝对值,双曲线的焦点,两焦点,间的距离,知识点二 双曲线的标准方程 1.两种形式的标准方程,(a0，b0
2、),(a0，b0),F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),a2b2c2,2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，那么焦点在 上. 3.当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2By21(AB0). 4.标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2 要与椭圆中的b2 相区别.,x轴,y轴,c2a2,a2c2,1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) 2.在双曲线标准方程 中，
3、a0，b0且ab.( ) 3.在双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 求双曲线的标准方程,例1 求下列双曲线的标准方程.,解得20或7(舍去)，,(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；,解 因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，所以c13，所以b2c2a225.,解 设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,反思感悟 待定系数法求方程的步骤 (1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴
4、. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式， 若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0).,(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.,跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程.,解得a25或a230(舍).,解 设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,题型二 双曲线的定义及应用,例2 (1)如图，已知双曲线的方程为 (a0，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_.,4a2m,解析 由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，
5、|BF1|BF2|2a. 又|AF2|BF2|AB|， 所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB| 4a2|AB|4a2m.,(2)已知双曲线 的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_.,由双曲线定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,引申探究 本例(2)中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.,解 由双曲线方程知a3，b4，c5， 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a
6、6， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36. 在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100. 将代入得|PF1|PF2|32，,反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一： 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； 通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；,利用公式 |PF1|PF2|sinF1PF2求得面积. (2)方法二：利用公式 |F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.,特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一
7、是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系.,跟踪训练2 已知双曲线的方程是 ，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点).,因为|PF1|PF2|2a8，|PF1|10，,典例 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,由双曲线的定义求轨迹方程,解析 如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两
8、圆外切的条件 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|2，这表明动点M与两定点C2，C1 的距离的差是常数2且26|C1C2|. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a1，c3，,素养评析 (1)定义法求双曲线方程的注意点 注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值. 当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. 求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上. (2)建立数与形的联系，探索解决数学问题的思路，提升数形结合
9、能力，形成数学直观直觉，有利于培养学生的数学思维品质和关键能力.,3,达标检测,PART THREE,1.到两定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是 A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线,1,2,3,4,5,解析 由题意知|F1F2|MF1|MF2|6， 所以点M的轨迹是两条射线.,解析 由题意知，k30且k20， 3k2.,1,2,3,4,5,A.32 D.k2,1,2,3,4,5,又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，,1,2,3,4,5,解析 由于a0,0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故选D.,1,2,3,4,5,5.求适合下
10、列条件的双曲线的标准方程. (1)a3，c4，焦点在x轴上；,解 由题设知，a3，c4， 由c2a2b2，得b2c2a242327. 因为双曲线的焦点在x轴上，,1,2,3,4,5,(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6).,解 由已知得c6，且焦点在y轴上， 因为点A(5,6)在双曲线上，,则a4，b2c2a2624220.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,
