1、2.2 抛物线的简单性质,第二章 圆锥曲线与方程,2 抛物线,1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线 等几何性质 2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,学习目标,思维导航 1类比椭圆的几何性质，结合图像和方程，说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点、离心率,知识点一、抛物线的几何性质,知识梳理,新知导学 1抛物线y22px(p0)的简单几何性质 (1)对称性：以y代y，方程y22px(p0)不变，因此这条抛物线是以_轴为对称轴的轴对称图形 抛物线的对称轴叫做抛物线的_，抛物线只有一条对称轴 (2)顶点：抛物线和它的_的交点叫做抛物线的顶点 (3)离心率：抛物线上的点到
2、_的距离和它到_的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率为1.,轴,轴,焦点,准线,x,(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为_. (5)范围：由y22px0，p0知x0，所以抛物线在y轴的_侧；当x的值增大时，|y|也_，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P值越大，它开口_,2p,增大,右,越开阔,3顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是_,答案 y224x或y224x,思维导航 结合直线与圆、椭圆的位置关系，考虑怎样讨论直线与抛物线的位置关系？ 新知导学 2将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若0，则直线与抛物线_，若0
3、，则直线与抛物线_，若0，则直线与抛物线_特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有_个公共点,知识点二、直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦,相切,相交,没有公共点,一,3在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程_的问题,根,4焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为,5.p表示焦点到准线的距离，p0.p值越大，抛物线的开口越宽；p值越小，抛物线的开口越_,6焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y
4、2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.,窄,(1)以AB为直径的圆必与准线l_；(2)|AB|_x1x2p； (3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2_，y1y2_.,相切,p2,牛刀小试 4过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A8 B16 C32 D61 解析 由抛物线y28x的焦点为(2,0)， 得直线的方程为yx2. 代入y28x，得(x2)28x，即x212x40. x1x212，弦长x1x2p12416. 答案 B,题目类型一、待定系数法求抛物线的标准方程,典例剖析,分析 由题意可设出抛物线的标准方程，再找出一个
5、条件，即可求出参数p.分析时可画出草图,变式训练：,点评 本题中圆和抛物线都关于x轴对称，而它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长可得交点的纵坐标，再结合已知求出参数p.,题目类型二、抛物线的焦点弦问题,解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A、E、B作准线l的垂线，垂足为D、H、C，由抛物线定义知|AD|AF|，|BC|BF|，所以|AB|AF|BF|AD|BC|2|EH|. 由图可知|HE|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|GF|，即|AB| min2|GF|2p.,方法规律总结 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点
6、弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解,(1)斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长度为_ (2)过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的长度为_,变式训练：,解析 (1)如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x1. 由题设，直线AB的方程为：y2x2. 代入抛物线方程y24x， 整理得：x23x10. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|，,即|AF|AA|x11，同理|BF|x21， |AB|AF
7、|BF|x1x22325.,答案 (1)5 (2)10,题目类型三、最值问题,方法规律总结 与抛物线有关的最值问题，一是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常转化为函数最值求解,变式训练：,(2)设P是抛物线y22x上任一点，则P到直线xy30的距离的最小值为_，点P的坐标为_,题目类型四、直线与抛物线的位置关系及定点定值问题,点评 自己试一下，将直线与抛物线的方程联立后消去x解答，并比较两种解法，你有什么体会？ 方法规律总结 解析几何中，常遇到定点、定值问题，解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数，将题中定值(或过定点的几何对象)用参数表示，然后说明与参数无关，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等,A、B为抛物线y22px(p0)上两点，O为原点，若OAOB，求证：直线AB过定点,变式训练：,
