1、黑龙江省双鸭山一中 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、直线圆的位置关系，数列等；【题文】一、选择题【题文】1全集 ,集合 ，则 （ ） RU|21xAyUCAA. B. C. D.0,)(0)(0,)(,0【知识
2、点】集合及其运算 A1【答案解析】B A=x ，则 =x 故选 B.xUCx【思路点拨】先求出集合 A 再求 。【题文】2已知复数 满足 (其中 为虚数单位） ，则 的虚部为 z2014)(iziz（ ）A. B . C. D. 3212i21【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案解析】C i 4=1， i2014=（i 4） 503i2=-1z = = =- - i1i()i12 =- + i，其虚部为 故选：Cz1212【思路点拨】利用 i4=1，复数的运算法则、虚部的定义即可得出【题文】3已知等差数列 ，若 ，则 （ na4569a9=S）A. 24 B. 27 C . 15 D.
3、54 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2【答案解析】B 由等差数列的性质可得 a4+a5+a6=3a5=9，解得 a5=3，S 9= =9a5=27 故选：B19()2a【思路点拨】利用等比数列的性质求解。【题文】4 若 ，则 （ ） 31)6sin(x)2cos(xA. B. C . D.959549797【知识点】二倍角公式 C6【答案解析】C cos(2x- )=1- = 故选 C。)23cos(x32sin()6x【思路点拨】根据二倍角公式求解【题文】5若 的解集为 且函数 的最大值为-1 ，则实数1xa0|)1(logya的值为 aA. 2 B . C. 3 D. （ ）
4、41【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数 B6 B7【答案解析】B ：a x1 的解集为x|x0，0 a1，y= (x+ )的最大值为-1，x+ 2，a -1=2，a=logx，故选：B12【思路点拨】先确定 0a 1 ，再利用 y= (x+ )的最loga1大值为-1，x+ 2，即可求出实数 a 的值x【题文】6.若某多面体的三视图(单位：cm), 如图所示，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则此多面体的表面积是（ ） 2cmA. B. 2513C. 15 D. 5【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2【答案解析】B 由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱 PC=4 且
5、PC底面，底面是底边为 6、高为 4 的等腰三角形在等腰三角形ABC 中，CDAB，CD=4，AB=6 ，AC=BC= =5234PC底面 ABC，PCAC，PCBC，PCCDS 表面积 =2 54+ 64+ 64 =32+12 112故答案为 B【思路点拨】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱 PC=4 且 PC底面，底面是底边为 6、高为 4 的等腰三角形据此即可计算出答案【题文】7 若函数 的图像在点 处的切线方程为 ，则函数)(xfy)1(,f 23xy的图像在点 处的切线方程为 （ ）)()(2fxg)(,1gA . B . 035035yC . D. yx【知识点】导
6、数的应用 B12【答案解析】A 由函数 y=f（x）的图象在点（1 ，f （1） ）处的切线方程为 y=3x-2，得f（1）=3，f（1 ）=1又函数 g（x）=x 2+f（x） ，g（x）=2x+f （x） ，则 g（1 ）=21+f （1 ）=2+3=5g（1）=1 2+f（1 ）=1+1=2 函数 g（x）=x 2+f（x）的图象在点（1，g（1 ） ）处的切线方程为 y-2=5（x-1） 即 5x-y-3=0故答案为：A 【思路点拨】由函数 y=f（x）的图象在点（ 1，f （1） ）处的切线方程为 y=3x-2，可得f（1）=3，f（1 ）=1，求出函数 g（x）的导函数，再求出 g
7、（1）和 g（1） ，则由直线方程的点斜式可求函数 g（x）=x 2+f（x）的图象在点（1，g（1） ） 处的切线方程【题文】8已知函数 为偶函数，则 的一个取值为（ )cos()sin()xf ） A. 0 B. 4C . D. 2【知识点】函数 的图象与性质 C4sin()yAx【答案解析】B f（x）=sin（x+）+cos （x+ ）= sin（x+ ）24函数 f（x）为偶函数，+ = +k（kZ）= +k（kZ）当 k=0 时，42= 4故选 B【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据函数 f（x）为偶函数，结合诱导公式得 + = +k（kZ），进而求出 的值42【题文
8、】9设 （e 是自然对数的底数） ，则 （ 23,10log15zyx） A. B . C . D. zyxyxzyzx【知识点】指数对数 B6 B7【答案解析】D x=log 510=log55+log521+ =1+ = =z，5log123y= = = = z，xzy，故选：D12e12lnle3ln2【思路点拨】分别利用对数函数的单调性和指数函数的单调性比较大小即可【题文】10定义在 R 上的函数 是增函数，且对任意的 恒有 ，)(xf x)2()xff若实数 满足不等式组 ，则 的范围为 ba, 308()2622abf ba（ ）A. B . C . D. 27,1345,245,
9、149,13【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案解析】C f（x）=-f（2-x），-f（x）=f（2-x），f（a 2-6a+23）+f （b 2-8b）0 可化为 f（a 2-6a+23）-f（b 2-8b）=f （2-b 2+8b），又f（x）在 R 上单调递增，a 2-6a+232-b2+8b，即 a2-6a+23+b2-8b-20，配方可得（a-3） 2+（b-4） 24，原不等式组可化为 ，30)8()6(ff如图，点（a，b ）所对应的区域为以（3 ，4）为圆心，2 为半径的右半圆（含边界），易知 a2+b2 表示点（a，b ）到点（ 0，0）的距离的平方，由图易知：|OA|
10、 2a2+b2|OB|2，可得点 A（3，2），B（3，6）|OA| 2=32+22=13，|OB| 2=32+62=45，13m 2+n245，即 m2+n2 的取值范围为 13，45故选：C【思路点拨】由函数的性质可化原不等式组为 ，a 2+b230)8()2(22abff表示点（a，b）到点（0 ，0）的距离的平方，数相结合可得答案【题文】11三棱锥 的四个顶点均在半径为 2 的球面上，且ABCP, 平 面 平面 ，则三棱锥 的体积的最大值32BCAABCABCP为 （ ） A. 4 B. 3 C. D. 3423【知识点】棱柱与棱锥 G7【答案解析】B 根据题意：半径为 2 的球面上，
11、且 AB=BC=CA=2 ，ABC 为截面为大圆上三角形，设圆形为 O，AB 的中点为 N，ON =123平面 PAB 平面 ABC，三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时，PNAB，PN平面 ABC，PB= = ，21三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为 （2 ） 2 =3，故选：B1343【思路点拨】运用题意判断出三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时，几何体的性质，在求解体积的值【题文】12在 中， 是 的内心，若ABC,51cos,6,5AOBC,其中 ，则动点 的轨迹所覆盖图形的面积为 OPxy1,0yxP（ ） A. B . C . D. 36103643426【知识点】单元综合 F4
12、【答案解析】B 根据向量加法的平行四边形法则，得动点 P 的轨迹是以 OB，OC 为邻边的平行四边形，其面积为BOC 面积的 2 倍在ABC 中，由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA，代入数据，解得 BC=7，设ABC 的内切圆的半径为 r，则 bcsinA= (a+b+c)r，解得 r= ，163所以 S BOC= BCr= 7 = ，12263故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2S BOC= 故答案为 B.1463【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则，得动点 P 的轨迹是以 OB，OC 为邻边的平行四边形，其面积为BOC 面积的 2 倍第 II 卷（非选择题，共 90
13、分）【题文】二、填空题【题文】13已知两点 ，向量 ，若 ，则实数 k 的值(-1,0),3AB(21,)ak|ABa为 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算 F2【答案解析】 两点 A（-1，0），B（1，3），向量 =（2k-1 ，2）， =（2，3），76a ，3（2k-1）=4，解得：k= 故答案为： ABa7676【思路点拨】求出 AB 向量，然后利用向量的平行，求出 k 的值即可【题文】14已知等差数列 的前 项和是 , 用由此可类比得到各项均na2)(1nnaS为正的等比数列 的前 项积 （ 表示）nbTnb,1【知识点】等比数列等差数列 D2 D3【答案解析】 在等差数列a
14、 n的前 n 项和为 ，因为等差数列中的21()n 2)(1nnaS求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列b n的前 n 项积 Tn= 故答21()nb案为： 21()nb【思路点拨】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积【题文】15若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围10xy2()xaya是 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4【答案解析】-3，1 由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，化简得|a+1|2，故有-2a+12，求得-3a1 ，故答案为：-3 ，1012a【思路点拨】由题意可
15、得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即 ，解绝012a对值不等式求得实数 a 取值范围【题文】16已知函数 ，给出如命题：xxfcosin)( 是偶函数； 在 上单调递减，在 上单调递增；)(xf 23,02,3(函数 在 上有 3 个零点； 当 时， 恒成立；f,230x1)2xf其中正确的命题序号是 【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】 对于，显然定义域为 R，f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x ）=xsinx+cosx=f（x）所以函数为偶函数，所以为真命题；对于，f（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当 x0， 时，f（x）0，此时函数为增函2数，
16、故为假命题；对于，令 f（x）=0，所以 =-tanx，做出 y= 及 y=-tanx 在-11， 上的图象可知，它们在 - ， 上只有两个交点，所以原函数在- ，323232有两个零点，故为假命题； 对于，要使当 x0 时， f（x）x 2+1 恒成立，只需当x0 时， f（x）-x 2-10 恒成立，即 y=xsinx+cosx-x2-10 恒成立，而 y=xcosx-2x=（cosx-2）x 显然小于等于 0 恒成立，所以该函数在0，+）上递减，因此 x=0 时 ymax=0+cos0-1=0，故当 x0 时，f（x）x 2+1 恒成立，故为真命题故答案为【思路点拨】利用偶函数的定义判断
17、；利用导数求解，导数大于 0 求增区间，导数小于 0 求减区间；研究极值、端点处的函数值的符号；转化为 f（x）-（x 2+1）0 恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于 0 即可【题文】三、解答题【题文】17已知集合 函数 的定义域为|(-1)x2a-3),A-1,且 是 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。“x“【知识点】集合及其运算 A1【答案解析】 （1）x|1 x2 或 3x5 （2） a1+ 2（1）若 a=1，则 A=x|（x-1 ）（x-5）0=x|1x5，函数 y=lg =lg ，由 0 ，解得 2x3 ，即 B=（2，3），2()xa32则 RB=x|x2 或 x3，
18、则 ARB=x|1x2 或 3x5，（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0 的根为 x=1 或 x=2a+3，若 a-1 ，则 2a+31 ，即 A=x|（x-1）（x-2a-3）0=x|1 x2a+3由 0 得（x-2a ）x- （a 2+2） 0 ，2()xa 2+2-2a=（a-1） 2+10，a 2+22a（x-2a ）x- （a 2+2）0 的解为 2axa 2+2，即 B=x|2axa 2+2若 xA”是“xB”的必要不充分条件则 BA，即 且等号不能同时取，213即 ，则 ，即 a1+ 210a12a【思路点拨】 （1）求解集合 AB 根据集合的基本运算即可得到结论（2）求出集
19、合 A，B，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论【题文】18数列 的前 项和为 ，若nanS.1,41aSan（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 求数列 的前 项和 .,nbnbnT【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】 （1）a n=（-3） n-1（2） -( + )(-3)n164（1）a n+1=-4Sn+1，a 1=1，S n= ，aan=Sn-Sn-1= - = ，4a n=an-an+1，a n+1=-3an， =-414 1na3，a 1=1，a n=（ -3） n-1（2）b n=nan=n（-3） n-1，T n=1（-3） 0+2（-3）+3（
20、-3） 2+n（-3） n-1，-3Tn=1（-3）+2（-3） 2+3（-3） 3+n（-3） n，-，得：4Tn=（-3） 0+（-3）+ （-3） 2+（-3） n-1-n（-3） n= -n（-3 ） n= -( +n)(-3)n，T n= -( + )(-3)n1(3)14164【思路点拨】 （1）由已知条件得 Sn= ，从而得到 an=Sn-Sn-1= ，所以14a14na=-3，再由 a1=1，能求出 an=（-3） n-11na（2）由 bn=nan=n（-3） n-1，利用错位相减法能求出数列b n的前 n 项和 Tn【题文】19已知 分别是三角形 的三个内角 A，B ，C
21、的对边，c,ABC.cosCaA（1 ）求角 A 的大小; （2 ）求函数 的值域.3sin()6yBC【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】 （1） （2）（1，2（1 ）由题意得（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C ）即 2sinBcosA=sinB，所以 cosA= A 是三角形的内角，所以 A= 123（2）因为函数 y= sinB+sin(C- )= sinB+cosB=2sin（B+ ），而 B+ 36366，所以函数 y=2sin（B+ ）的值域（1，256【思路点拨】 （1）通过向量的平
22、行，利用共线，通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简，求出 A 的余弦值，然后求角 A 的大小；（2）通过函数 y= sinB+sin(C- )，利用两角和与差的三角函数，化为铁公鸡的一个三36角函数的形式，结合 B 的范围，直接求解函数的值域【题文】20已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴正半轴上，直线 与圆 C 相340xy切.（1 ）求圆 C 的方程； （2 ）过点 的直线 与圆 C 交于不同的两点 ，且(0,3)l 12(,)(,)AxyB时，求三角形 的面积.12xyOB【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4【答案解析】 （I）（x-2） 2+y2=4（II） 37（I）设圆心
23、为 C（a，0 ），（a 0），则圆 C 的方程为（x-a） 2+y2=4因为圆 C 与 3x-4y+4=0 相切，所以 =2，解得：a =2 或 a=- （舍），43143所以圆 C 的方程为：（x-2） 2+y2=4 （II）依题意：设直线 l 的方程为： y=kx-3，由 得（1+k 2）x 2-（4+6k）2()4ykxx+9=0，l 与圆 C 相交于不同两点 A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），=（4+6k 2）-4（1+k 2）90，且 x1+x2= ，x 1x2= ，46k9ky 1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1x2)+9= - +9，2k
24、28又x 1x2+y1y2=3， + - +9=3，29228整理得：k 2+4k-5=0 解得 k=1 或 k=-5（舍）直线 l 的方程为：y=x-3圆心 C 到 l 的距离 d= = ，在ABC 中，|AB|=2 =14，322原点 O 到直线 l 的距离，即AOB 底边 AB 边上的高 h= = ，3S AOB= |AB|h= =1214327【思路点拨】 （I）设圆心为 C（a，0），（a 0），可得圆 C 的方程的方程再根据圆心到直线的距离等于半径求得 a 的值，可得圆 C 的方程（II）依题意：设直线 l 的方程为： y=kx-3，代入圆的方程化简，里哦也难怪根与系数的关系求得
25、x1+x2= ，x 1x2= ，再由 x1x2+y1y2=3，求得 k 的值，可得直线 l 的方46k9k程求得圆心 C 到 l 的距离 d、以及|AB|的值，再由 S AOB= |AB|h，计算求得结果【题文】21. 在四棱锥 中，平面 平面 , ,在锐角ABDPPCD中 ,并且 ,PAD82542（1 ）点 是 上的一点，证明：平面 平MM面 ； （2 ）若 与平面 成角 ，当面 面PB60B时，求点 到平面 的距离.ABCACD【知识点】空间向量及运算 G9【答案解析】 （1）略（2 ） 3法一（1）BD=2AD=8，A B=4 ，由勾股定理得 BDAD，5平面 PAD平面 ABCD，平
26、面 PAD平面 ABCD=AD，BD面 ABCD，BD 平面 PADBD面 MBD， 平面 MBD平面 PAD（2）如图，BD平面 PAD，平面 PBD平面 PAD，APD=60，做 PFAD 于 F，PF面 ABCD，P F=2 ，5设面 PFC面 MBD=MN，面 MBD平面 ABCD面 PF面 MBD，PFMN ，取 DB 中点 Q，得 CDFQ 为平行四边形，由平面 ABCD 边长得 N 为 FC 中点，M N= PF=123法二（1）同一（2）在平面 PAD 过 D 做 AD 垂线为 z 轴，由（1），以 D 为原点，DA， DB 为 x，y 轴建立空间直角坐标系，设平面 PBD 法向量为 =(x， y， z)，设 P（2 ，0，a），u锐角PAD a 2，由 =0， =0，uPB解得 =(-a， 0， 2)， =(2， 0， -a)，A
