1、秘密启用前重庆市重庆一中 2015 届高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试题紧扣教材，内容全面，题型设计合理、规范，体现了新课程数学教学的目标和要求，能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。本试题知识点覆盖面广，重视基本概念、基础知识、基本技能的考察，同时也考查了逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分）【题文】1已知集合 1,AB， 2， ，则可以确定不同映射 :fAB的个数为( )A. 1 B.2 C. 3 D. 4【知识点】映射B1 【答
2、案解析】D 解析：由映射的定义知 A 中 1 在集合 B 中有 1 或 2 与 1 对应，有两种选择，同理集合 A 中 2 也有两种选择，由分步计数原理得从集合 A=1，2 到集合 B=1，2的不同映射共有 22=4 个，故选 D【思路点拨】由映射的定义知集合 A 中每一个元素在集合 B 中有唯一的元素和它对应，A中 1 在集合 B 中有 1 或 2 与 1 对应，有两种选择，同理集合 A 中 2 也有两种选择，由分步计数原理求解即可【题文】2已知集合 2|0,|MxNxa，若 MN，则实数 a 的取值范围是( )A , B (,) C (,) D (, 【知识点】交集及其运算A1 【答案解析
3、】A 解析：由 M 中不等式变形得：x（x 2）0，解得：0x2，即M=（0，2） ，N=x|x a ，且 MN，a2，则 a 的范围为 2，+） 故选：A【思路点拨】求出 M 中不等式的解集确定出 M，根据 N 以及 M 为 N 的子集，确定出 a 的范围即可【题文】3已知 ,(0,)，则 2是 sinco的( ).A充分不必要条件 .B必要不充分条件C 充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2512-32Oyx【答案解析】A 解析：，（0，） ，则 += ，= ，sin=sin （ ） ，即 sin=cos成立sin=cos，sin=sin（ ） ，
4、 = +2k，kz ，+= 不一定成立所以 += 是 sin=cos的充分不必要条件，故选；A【思路点拨】运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解【题文】4函数 ()sin()0,)fxx的部分图象如图所示，则 )(xf（ ）A2sin)6B. 2sin()3xC. i(4)3xD. i(4)6【知识点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式C4 【答案解析】B 解析：由图知 f（x）在 x= 时取到最大值 ，且最小正周期 T 满足T= + = ，A= ，T= =，=2；由 sin（2 +）= ，得：sin（ +）=1， +=2k+ ，=2k ，kZf（x）= sin（2x ） 故选
5、：B【思路点拨】由 y=Asin（x+）的部分图象可求得其振幅 A 及最小正周期 T=，继而可得；再由 sin（2 +）= 可求得 ，从而可得答案【题文】5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A36B.43C. 53D. 3【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】C 解析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体第 5 题原正三棱锥的底面边长为 2，高为 2，体积 V1=Sh= 2=2 截去的三棱锥的高为 1，体积 V2= 1=故所求体积为 V=V1V2= ，故选 A【思路点拨】由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底
6、面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积【题文】6方程xax2)(log21有解，则 a的最小值为( )A.2 B.1 C.3D. 21【知识点】函数的零点与方程根的关系B9 【答案解析】B 解析：若方程xax)2(log1有解，则 =a2x 有解，即 +2x=a 有解， +2x1故 a 的最小值为 1，故选 B。【思路点拨】若方程 有解，根据将对数式化为指数式后要得+2x=a 有解，根据基本不等式求出 +2x 的最小值，即可得到答案【题文】7函数 ()sin2)3cos(2)fx,（ 2）的图像关于点(,06对称，则 ()f的增区间( )A5,3kkZB,63kkZC,12D7
7、,12【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性C5 C3 【答案解析】D 解析：f（x）=sin（2x+ ）+ cos（2x+ ）=2sin （2x+ ） ，图象关于点 对称，2 + =k， （kZ） ， =k ， （kZ） ，| ， ， f（x）=2sin（2x+ ） ；由 （k Z）解得： （k Z）函数 f（x）的增区间为 故选 D【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点 对称，求出 的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数 f（x）的单调增区间【题文】81+cos204in1ta80i( )A. 1 B. C. 3 D. 2【知识点】三角函数的化简求值C7
8、【答案解析】C 解析： 2sin10（cot5tan5 ）= 2sin10（ ）= 2sin10 = 4cos10= = =2cos30= ，故选：C【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系把要求的式子化为= 4cos10，通分后利用诱导公式、和差化积公式化为 2cos30，从而得到结果【题文】9已知函数 ()fx的导函数为 ()fx，且满足 ()2fxf，则( )A2()1fefB201eC ln4(l3) D (ln)4(ff【知识点】导数的运算B11 【答案解析】B 解析：令 g（ x）= ，则 g（x）= = 0，则 g（x）= 为减函数，g（ 0） g（1） ，即 ，即 e2f（
9、 0）f（1） ，故选：B【思路点拨】构造函数 g（x） = ，利用定义得到函数的单调性，问题得以解决【题文】10给定实数 (0)a， :fR对任意实数 x均满足 ()(fxfa，则 ()fx的零点的个数（ ）A.0 B. 1 C. 2 D. 3【知识点】根的存在性及根的个数判断B9 【答案解析】A 解析：若 f（x）有零点 b，则 f（b）=0 ，则 f（f（b） ）=f（0）=bf （b）+a=a，即 f（0）=a ，则 f（f（0） ）=f（a ）=0 f（0）+a=a，则 f（a） =a，则 f（f（a） ）=f（a ）=af（a）+a=a 2+a=a，则 a2=0，解得，a=0，与题
10、意相矛盾，故 f（x）没有零点故选 A【思路点拨】假设函数有零点，通过反复利用公式 f（f （ x） ）=xf （x ）+a，最终可得 a=0，与题意相矛盾，从而说明没有零点二、填空题（本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）【题文】11函数 43)1ln(2xy的定义域为_【知识点】函数的定义域及其求法B1 【答案解析】 (1,) 解析：x+1 0，x 1，又 x33x+40 ，即，x 3+3x4=（x 31）+3 （x 1）= （x 1） （x 2+3）0，解得，x1从而，1x 1故答案为：（1，1）【思路点拨】由对数函数的真数一定大于 0，可以得到 x+10
11、 ，又因为偶次开方被开方数一定非负且分式中分母不能为 0，可以得到 x33x+40 ，进而求出 x 的取值范围【题文】12在 ABC中， 642ACB， ， ,则 ABC的面积-_【知识点】正弦定理C8 【答案解析】 23 解析：ABC 中，A=60，AC=4， BC=2 ，由正弦定理得： ， ，解得 sinB=1，B=90 ，C=30，ABC 的面积= 故答案为： 【思路点拨】利用三角形中的正弦定理求出角 B，再利用三角形的面积公式求出ABC 的面积【题文】13已知定义在 R 上的函数 ()fx满足：2,01),()xf且(2)(fxf，25)gx，则方程 ()fgx在区间 5，1上的所有实
12、根之和为_【知识点】分段函数的应用B10 【答案解析】 7 解析：由题意知 ，函数 f（x）的周期为 2，则函数 f（x） ，g（ x）在区间 5，1 上的图象如下图所示：由图形可知函数 f（x） ，g（x ）在区间 5，1 上的交点为 A，B，C，易知点 B 的横坐标为3，若设 C 的横坐标为 t（0t 1） ，则点 A 的横坐标为4 t，所以方程 f（x）=g（x）在区间 5，1 上的所有实数根之和为3+（4t ）+t=7故答案为：7【思路点拨】化简 g（x）的表达式，得到 g（x ）的图象关于点（ 2，1 ）对称，由 f（x）的周期性，画出 f（x） ，g（x）的图象，通过图象观察 5，
13、1 上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【题文】14.如图所示，已知 AB，BC 是 O 的两条弦，AOBC，AB ，BC 2 ，则 O 的半径等于 _3 2【知识点】与圆有关的比例线段N1 【答案解析】 解析：设垂足为 D，O 的半径等于 R，则32AB，BC 是O 的两条弦，AOBC，AB= ，BC=2 ，AD=1，R2=2+（R1） 2，R=1.5故答案为：1.5【思路点拨】设垂足为 D，O 的半径等于 R，先计算 AD，再计算 R 即可【题文】15以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是13ty(t 为参数
14、)，圆 C 的极坐标方程是 4cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为_【知识点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化N3 【答案解析】2 解析：圆 C 的极坐标方程是 =4cos， 2=4cos，2x2+y2=4x，化为（x2） 2+y2=4，其圆心 C（2，0） ，半径 r=2由直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，消去参数可得 y=x4圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 直线 l 被圆 C 截得的弦长=2 = 故答案为：2 【思路点拨】圆 C 的极坐标方程是 =4cos，利用 可得直角坐标方程，可得圆心 C 及其半径 r由直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，消去参
15、数可得 y=x4利用点到直线的距离公式可得圆心 C 到直线 l 的距离 d再利用弦长公式 l=2 即可得出【题文】16若不等式4|1|3|xa对任意的实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是_【知识点】绝对值不等式的解法N4 【答案解析】 （，0）2 解析：令 y=|x+1|+|x3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x3|的最小值为 4，不等式 对任意的实数 x 恒成立原不等式可化为 4解得 a=2 或 a 0故答案为：（，0）2【思路点拨】不等式 对任意的实数 x 恒成立转化为 a+ 小于等于函数 y=|x+1|+|x3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数 y=|
16、x+1|+|x3|的最小值为 4，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17 （本题满分 13 分）已知函数 f(x)2cos()in()3cos()3xx(1)求 f(x)的值域和最小正周期；(2)方程 mf(x) 20 在,6x内有解，求实数 m 的取值范围3【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法C3 C5 【答案解析】(1) 值域为2 ，2 ，最小正周期为 . (2) 3 3 233， 1解析：(1)f(x)2sin .(2x 3) 31sin 1.(2x 3)2 2sin 2
17、 ，T ，3 (2x 3) 3 3 22即 f(x)的值域为 2 ，2 ，最小正周期为 . 7 分3 3(2)当 x 时，2x ，0， 6 3 3， 23故 sin ，(2x 3) 32， 1此时 f(x) 2sin ，2.3 (2x 3) 3由 mf(x) 20 知，m0，f(x) ，3 32m即 2，32m即Error! 解得 m1.即实数 m 的取值范围是 13 分233 233， 1【思路点拨】 （1）先利用和差公式把函数解析式化成标准形式，然后结合正弦函数的值域求 f（x）的值域；（2）根据 x 的范围求出f （x）+ 的范围，然后由 mf（x）+ +2=03 3知，m0，f（ x）
18、+ = ，只须让 2 即可32m 3 2m【题文】18 （本题满分 13 分）已知函数 f(x) ax2+bxaab(a0)，当 (1,3)x时，f(x)0；当 (,1)(3,)x时，f(x)0(1)求 f(x)在 (1,2)内的值域；(2)若方程 fxc在 0,3有两个不等实根, 求 c 的取值范围【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的值域；函数的零点与方程根的关系B5B9 【答案解析】(1) (,4 (2) 4c解析：(1)由题意， 13是方程 ax2+bxaab=0 的两根，可得 1,2ab则2()fxx在 (,2)内的值域为 (0,47 分(2)方程 3c即 3xc在 ,有两个不等
19、实根，设2()3gxc则(1)0g，解得 34c.13 分【思路点拨】 （1）由题意，1，3 是方程 ax2+bxaab=0 的两根，求得得 a 和 b 的值，可得二次函数 f（x）的解析式，从而求得 f（x） 在（ 1，2）内的值域（2 ）由题意可得 x22x+c3=0，在0 ，3有两个不等实根，设 g（x）=x 22x+c3，则，由此解得 c 的范围【题文】19.（本题满分 13 分）如图，在多面体 1ABC中，四边形 1AB是正方形， 111,/,2C.(1)求证： 11/面 ；(2)求二面角 CAB的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定G5 G11 【答案解析】(1)见解析； (2) 13
