1、- 1 -重庆南开中学高 2018 级高一（上）期末考试数 学 试 题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求）1、已知集合 ，则 （ ）24,log02xABxABA、 B、 C、 D、,1, ,10,12、 “ ”是“ ”的（ ）条件6sin2A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要3、已知一个扇形的周长为 10cm，圆心角为 2 弧度，则这个扇形的面积为（ ）cm 2A、25 B
2、、5 C、 D、54254、已知函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）124xffxA、 B、 C、 D、0,1,2,33,45、函数 的单调递减区间为（ ）lg6fxxA、 B、 C、 D、1,21,212,1,326、将函数 ysinx 的图像上的点的横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不变得到图像 C1，再将图像 C1 向右平移 个单位得到的图像 C2，则图像 C2 所对应的函数的解析式为（ 3）A、 B、sin23yx 1sin26yxC、 D、sisi37、若 ，则 的大小关系为（ ）ln11l,l,2xxeaxbce,abc- 2 -A、 B、 C、 D、cbabcabcbac8、已知
3、 且 ，则 的值为（ ）0,3os45osA、 B、 C、 D、21210721072109、已知定义在 上的奇函数 f（x）满足 f（x+4 ）f （x）恒成立，且 f（1）1，R则 f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为（ ）A、0 B、1 C、2 D、310、化简 tan20+4sin20的结果为（ ）A、1 B、 C、 D、2311、如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 ， 在圆 上，点 的坐标为 ，点BOB1,2位于第一象限， 。若 ，则 的值为（ CA523sincos2）A、 25B、C、 5D、 212、已知函数 ，若方程 f（x）a 有四个不同的解
4、、 、 、 ，21,0logxf 1x234x且 ，则 的取值范围为（ ）1234xx13234xxA、 B、 C、 D、,1,1,- 3 -第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13、已知幂函数 在（0，+）单调递减，则实数 m 的值为 2213myx。14、计算： 。lg2log2l310615、已知 且 ，则 的值为 。0,cstan16、已知函数 ，若存在实数 k 使函数 f（x）的值域为0,2，l,21xkfxk则实数 a 的取值范围为 。三、解答题：（本大题共
5、6 个小题，共 70 分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17、 （10 分）已知 。3tan2,tan2（1）求 的值；t（2）求 的值。sisi2con- 4 -18、 （12 分）已知定义在 R 的函数 。1xfa（1）判断 f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于 x 的不等式： f（x -1）f（2x+1） 。19、 （12 分）已知函数 的图像关于直线 22sin3sincosfxxxR对称，其中 ， 为常数且 。3x0,（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 yf（x）的图像过点 ，求函数 f（x）在 上的值域。,060,2-
6、 5 -20、 （12 分）已知函数 f（x）为二次函数，若不等式 f（x ）0 的解集为（-2，1）且 f（0）-2。（1）求 的解析式；x（2）若不等式 对 恒成立，求实数 m 的取值范围。cos2insin4f mR21、 （12 分）已知函数 是奇函数。21logaxfx（1）求实数 的值；a（2）设函数 ，是否存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点？lgxfmx若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。- 6 -22、 （12 分）已知函数 的定义域 ，若 满足对任意的一个三边长为fx0,Dfx的三角形，都有 也可以成为一个三角形的三边长，则称 为“保,abcD,
7、afbc fx三角形函数” 。（1）判断 是否为“保三角形函数” ，并说明理由；sin,0gx（2）证明：函数 是“保三角形函数” ；l,2hx（3）若 是“保三角形函数” ，求实数 的最大值。sin,0fx- 7 -重庆南开中学高 2018 级高一（上）期末数学试卷答案1解：由 A 中不等式变形得：2 x4=22，得到 x2，即 A=（，2，由 B 中不等式变形得：log 2x0=log 21，得到 x1 ，即 B=（1，+） ，则 AB=（1 ，2， 故选：B2 【分析】 “ ”“ ”，反之不成立，例如 即可判断出结论61sin256解：“ ”“ ”，反之不成立，例如 因此“ ”是“ ”的
8、充分不必要条件 故选：A si3【分析】设扇形的半径为 r，弧长为 l，可得 l 和 r 的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得解：设扇形的半径为 r，弧长为 l， ，解得 l=5，r= ， 扇形的面积 S= lr=210lr52故选：C 4 解：函数 ，是单调增函数，并且 f（2）=4+ -50，1()254xf1f（3）= ， 函数 ，则 f（x ）的零点所在的区间为801()254xf（2，3） 故选：C 5【分析】令 t=x2+x+60，求得函数的定义域，根据 f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数 t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论- 8 -解：令 t=x2+x
9、+60，求得2x3，可得函数的定义域为 x|2x3，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数 t 在定义域内的减区间再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的减区间为（ ，3） ，1故选：D6解：将函数 y=sinx 的图象上的点的横坐标扩大为原来的 2 倍，得到 y=sin x，12然后向右平移 个单位得到的图象 C2，即 y=sin （x ）=sin（ x ） ，31故选：B 7 【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得 a0，b1， c1，从而可得e【解答】解：x （e 1，1） ，a=lnxa（1，0） ，即 a0；又 y= 为减函数，()2xb= = =1，即 b1；ln
10、ln10()2又 c=elnx=x （e1，1） ， bca 故选 B8【分析】根据同角的三角形关系求出 sin（+ ） = ，再根据 cos=cos（+ ） ，利用两454角差的余弦公式计算即可解：（0，） ，+ （ ， ） ，454 ， sin（+ ）= ，3cos()45cos=cos（+ ）=cos（+ ）cos +sin（+ ）sin = ，4 43272510故选：C 9 解：f（x+4）=f（x ），函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，- 9 -则 f（2016）=f（5044 ） =f（0），f（2017）=f（ 5044+1） =f（1）=1，f（2018）=f（ 504
11、4+2） =f（2），f（x）是奇函数，f（0）=0 ，当 x=-2 时，f （-2+4）=f（ -2），即 f（2）=-f（2），则 f（ 2）=0 ，即 f（2016）+f（2017）+f（2018）=f（0）+f（1）+f （2）=0+1+0=1，故选：B 10解：tan20+4sin20= = = = ， 故选：D311 解：点 B 的坐标为（ 1，2） ，|OB|=|OC|= ，5|BC|= ，OBC 是等边三角形，则 AOB=+ 3则 sin（ + ）= ，cos（+ ）= ，25315则 sin cos + cos2 = sin+ cos=sin（+ ）= ， 故选：D 2312
12、32512 【分析】作出函数 f（x） ，得到 x1，x 2 关于 x=1 对称， x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可- 10 -解：作函数 f（x）的图象如右，方程 f（x）=a 有四个不同的解 x1，x 2，x 3，x 4，且 x1x 2x 3x 4，x1，x 2 关于 x=1 对称，即 x1+x2=2，0x 31x 4，则|log 2x3|=|log2x4|，即log 2x3=log2x4，则 log2x3+log2x4=0 即 log2x3x4=0则 x3x4=1；当|log 2x|=1 得 x=2 或 ，1则 1x 42； x31；故 =2x3+ ， x31；31234
13、()则函数 y=2x3+ ，在 x31 上为减函数，则故 x3= 取得最大值，为 y=1，1当 x3=1 时，函数值为1即函数取值范围是（1， 1故选：B13 解：幂函数 在（0，+）单调递减，m23m+3=1，即 m23m+2=0，解得 m=1 或 m=2；当 m=1 时， m2m1=20，满足题意；当 m=2 时， m2m1=10 ，不满足题意，舍去；实数 m 的值为 1故答案为：1- 11 -14 解： =log66+2=3lg266log2l310故答案为：315 【解答】解：（0，2） ， （0，） ，2又 ， = ，1cos232sin1cos3 =2 ，insico2tan= =
14、 故答案为：21tan4742716 解：由题意，令 log2（1x）+1=0， x= ，12令 x22x+1=2，可得 x=1 ，存在实数 k 使函数 f（x）的值域为0，2，实数 a 的取值范围是 ，1+ 12故答案为： ，1+ 17【分析】 （1）由题意可得 tan（+）=2 ，tan= ，代入32tan=tan（+）= ，计算可得；tan()ta1（2）由诱导公式和弦化切可得原式= ，代值计算可得t2an解：（1） ，3tan()2,tan()tan（+） =2，tan= ，3tan=tan（+） - 12 -= = ；32tan()ta11()74（2）化简可得= =cosin1ta
15、2n3018 解：（1）f（x）= 1()xxafa则函数为偶函数，当 x0时，设 0x1x 2，即 f（x 1）f（ x2）= 21xaa= = =（ ，1212xx2112()xx1212()xxaa1， 0x1x 21 ，则 ， ，120x120xa则 f（x 1）f（ x2）0，则 f（x 1）f（x 2） ，即此时函数单调递增，同理当 x0时，函数单调递减；（2）函数 f（x）是偶函数，且在0，+ ）上为增函数，则关于 x 的不等式： f（x 1）f（2x+1 ）等价为 f（|x1|）f （|2x+1|） ，即|x 1| |2x+1|，平方得 x22x+14x 2+4x+1，即 3x
16、2+6x0，即 x2+2x0，得 2x 0，即不等式的解集为（2， 0） 19 - 13 -【分析】 （1）化简可得 f（x）=2sin（2x ）+，由对称性可得 ，可得最小正周期；6（2）由图象过点 可得 =1，由 结合三角函数的值域可得(,0)60,2解：（1）化简可得 f（x）= 2sinxcosx（cos 2xsin2x）+3= sin2xcos2x+=2sin（2x ）+36由函数图象关于直线 对称可得 2 =k+ ，kZ，32解得 = k+1，结合 （0，2）可得 =1，2f（ x）=2sin（2x ）+，6函数 f（x）的最小正周期 T= =；2（2）y= f（x ）的图象过点
17、，2sin（2 ）+=0，解得 =1，6f（ x）=2sin（2x ）1， ， 2x ， ，0,65sin（ 2x ） ，1 ，612sin （2x ） 1，2 ，2sin （2x ）1 2，1，故函数 f（x）在 上的值域为2，10,20 【分析】 （1）设出二次函数的表达式，得到关于 a，b，c 的方程，解出即可求出函数的表达式；（2）求出 f（cos） ，问题转化为 sin2+（1+m ）sin+10 对 R 恒成立，令 g（）=sin2+（1+m）sin+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出 g（）的最小值，得到关于 m 的不等式，解出即可解：（1）函数 f（x）为二次函数，- 14 -
18、设 f（ x）= ax2+bx+c，不等式 f（x）0 的解集为（2，1）且 f（0）= 2， ， 解得： ，4cab12abcf（ x）= x2+x2；（2）由（1）得：f（cos）=cos2+cos2，由不等式 对 R 恒成立，(cos)in()sin4f m得：cos2+cos2 sin（+ ）+msin 对 R 恒成立，sin2+（1+m）sin+10 对 R 恒成立，令 g（）=sin2+（1+m）sin+1= ，221()(sin)4m1sin1，1 1即3m1 时：12mgmin（）=1 0，2()4解得：3m1 ，符合题意； 1 即 m 3 时：2gmin（）= +1 0，2(
19、)2(1)4解得：m3，无解； 1 即 m1 时：2gmin（）= +1 0，2()2(1)4解得：m1，无解；综上，满足条件的 m 的范围是3，1- 15 -21 【分析】 （1）由奇函数性质得 f（x）+ f（ x）= =0，由此能求出 a221loglaxx（2）当 a=1 时，g（x）=f（x ） log2（mx）= log2（m x）=0，得 x= ，1m不存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点；当 a=1 时，g （x ）=f（x）log 2（mx）= =0，得 x=1，不存在非零实数 m 使得21log()x函数 g（x）恰好有两个零点【解答】解：（1）函数 是奇函数
20、，2()l1afxxf（ x）+ f（x）= 21loga= =0，()x =1， 1a2x2=1x2，1ax解得 a=1（2）不存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点，理由如下：当 a=1 时，g（x）=f（x ） log2（mx）= log2（mx ） ，由log 2（mx） =0，解得 mx=1，x = ，不存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点；1当 a=1 时，g （x ）=f（x）log 2（mx）= log2（mx ）= ，2log1x21lo()x由 =0，得 x=1，不存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点21lo()综上，不存在非零实数
21、m 使得函数 g（x）恰好有两个零点22 【分析】欲判断函数 f（x）是不是“ 保三角形函数” ，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c 满足 a+bc，判断 f（a） 、f（b） 、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可因此假设 ac且 bc，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求解判断即可- 16 -解：（1）若 a= ，b= ，c= ，32则 f（a）=f（ b）=sin = ，f（c ）=sin =1，1则 f（a）+f（ b）= =1，不满足 f（a）+f（b） f（c ）2故 f（x）=sinx，不是“ 保三角形函数 ”（2）对任意一个三角形三边长
22、 a，b，c2，+ ） ，且 a+bc ，b+ca，c+ab，则 h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc因为 a2，b2，a+b c ，所以（ a1） （b 1）1，所以 aba+bc，所以 lnablnc ，即 lna+lnb lnc同理可证明 lnb+lnclna， lnc+lnalnb所以 lna，lnb，lnc 是一个三角形的三边长故函数 h（x） =lnx （x2，+） ） （3） 的最大值是 56当 时，取 a= =b，c= ，显然这 3 个数属于区间（0， ） ，且可以作为某个三2角形的三边长，但这 3 个数的正弦值 、 、1 显然不能作为任何一个三角形的三边，故此
23、时，2h（x）=sinx， x（0，）不是保三角形函数当 = 时，对于任意的三角形的三边长 a、b、c（0， ） ，56 56若 a+b+c2，则 a2bc2 = ，563即 a ，同理可得 b ，c ， a、b、c （ ， ） ，33 3sina、sinb、sinc（ ，112由此可得 sina+sinb + =1sinc，即 sina+sinbsinc，同理可得 sina+sincsinb，sinb+sinc sina，故 sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长若 a+b+c2，则 ，2abc当 时，由于 a+bc，0 ，0sin sin 12ab2cab2cab- 17 -当 时，由于 a+bc，0 ，0sin sin 12ab2cab22cab综上可得，0sin sin 12ab再由|ab|c ，以及 y=cosx 在（ 0，）上是减函数，56可得 cos =cos cos cos 0，2ab2c51sina+sinb=2sin cos 2sin cos =sinc，abc同理可得 sina+sincsinb，sinb+sinc sin a，故 sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长故当 = 时，h（x）=sinx，x（0，M）是保三角形函数，故 的最大值为 ，56 56
