1、习题解答2-1 如题图 2-1 所示为 RLC 电路网络,其中 为输入电压,安培表的指示电流 为输()iUt )(tio出量。试列写状态空间模型。题图 2-1解:(1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()1()()iLCLCRCdUtittUttR(2) 在这个电路中,只要给定了储能 R 元件电感 L 和电容 C 上的 iL 和 UC 的初始值,以及 tt0时刻后的输入量 Ui(t),则电路中各部分的电压、电流在 tt0 时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和 UC 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选 iL 和为 UC 状态变量
2、,即x1(t)=iL, x2(t)=uC(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 1221idUtxxR经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组-状态方程 11i2200xxLUCR(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 1221CxyUx2(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式11i2212000xxLUCRyx32-2 如题图 2-2 所示为 RLC 电路网络,其中 为输入电压 , 为输出电压。试列写状态1()vt2()vt空间模型。题图 2-2解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系
3、式. 1121ddCLCLuiRittuitt(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件 (如电感和电容)的个数.对本题x1(t)=iL, x2(t)=uC(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组-状态方程 12121 112121()()0RLxxuLC (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 11212112 2d()()CL xuRyuRiRxt (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式 12121 1121212121()()0()()RLxxuLCyxRR 4
4、2-3 设有一个弹簧 -质量-阻尼器系统 ,安装在一个不计质量的小车上,如题图 2-3 所示。u 和y 为分别为小车和质量体的位移,k、b 和 m 分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。试建立 u 为输入,y 为输出的状态空间模型。题图 2-3解：下面推导安装在小车上的弹簧质量阻尼器系统的数学模型。假设 时小车静0t止不动,并且安装在小车上面的弹簧质量阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态) 。在这个系统中 , 是小车的位移 ,并且是系统的输入量。当 时,小车以定常速()ut 度运动,即 。质量的位移 为输出量（该位移是相对于地面的位移） 。在此。()yt系统中, 表示质量,
5、表示黏性摩擦系数, 表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与mbk成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与 成正比。yu yu对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为： maF式中, 为质量, 为质量加速度 , 为沿着加速度 的方向并作用在该质量上的外力之和。a对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到： 2()dydubkytt即： 2mttt这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得到： )()(2 sUkbsYkbs取 之比,求得系统的传递函数为：)(sUY与 2()skGUmbs下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程 bk
6、yyu与下列标准形式比较： 51212oyabu得到：, , , , 1bm2k0o1m2k即而得到： 0110222bakm并定义： 1021xyubx可得到： 1212 212bxuxmkbkbaxum输出方程为： 1yx即： 112221200bxxmukbkmyx62-4 题图 2-4 为登月舱在月球软着陆的示意图。其中 ,m 为登月舱质量,g 为月球表面重力常数, 项为反向推力,k 为常数,y 为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状mk态变量组 ,输入变量 ,试列出系统的状态方程。xyx321 ,和u题图 2-4解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。对给定力学系统,储
7、能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组。mxyx321 ,和基此,利用力学定律并考虑到输入变量 ,先来导出u122 33ykgkxxumu在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程： 1 0 0 13321321 xkxgx且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。72-5 某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图 2-5 所示 ,其中电动机轴上的负载为阻尼摩擦,其摩擦系数为 f;电动机轴上的转动惯量为 J。设输入为电枢电压 ua 和激磁电压 uf,输出为电机转角 ,试列出系统的状态空间模型。题图 2-5解 设电动机的铁芯工作在非饱
8、和区。分析题图 2-5 所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为 2daafffuRiEiLtMJt式中,E a 和 M 分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且, daeefECkittmafaCiki式中,C e 和 Cm 分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；为磁场的磁通量，其正比于励磁回路电流 if；k e 和 km 分别为比例常数。因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为(2-13)2ddaeffffmfauRiktiLkiJftt对于上述微分方程组,若已知电枢电流 if(t)、角位移 (t)及其导数 在初始时刻 t0t/d)(的
9、值,以及电枢电压 ua 和励磁回路电压 uf,则方程组有惟一解。因此 ,可以选择状态变量为123d()(),(),f txtixtxt因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为81123 13131- -ffmmaeaRxuLkkxf fxixJJRJ输出方程为y=x2由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为 112321132-ffmeaaRxuLkkfxJJyx92-6 题图 2-6 为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元 ,其中发生如下反应速率常数为k 的一级吸热反应AkB该化工反应生产过程为:温度为常量 f,含 A 物质浓度为常量 CAf 的料液以 Q(t)的
10、流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为 Q(t),保持单元内液体体积为 V;为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为 q(t)。试以料液的流量 Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度 (t)和物质 B 的浓度 CB(t)为输出,建立状态空间模型。题图 2-6参见 2.2 小节例题102-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1) (2) 2635yyu 23yu(3) 42解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有a1=2, a2=6, a3=3, b=5当选择输出 y 及其 1 阶、2 阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为 00136
11、25xxuy(2) 先将方程变换成 y 的首项的系数为 1,对方程两边除以 2，得312yu由所求的系统输入输出方程,有a1=0, a2=0, a3=-3/2, b0=1/2, b1=0, b2=0, b3=-1/2, 故由式(2-17) 可得 0110223130/4baa因此,当选择状态变量 102132012xyuyuxyu时,可写出状态空间模型为110103/2/4uxxy(3) 由所求的系统输入输出方程,有a1=4, a2=5, a3=2, b0=2, b1=1, b2=1, b3=2, 故由式(2-17) 可得 0110223130794baa因此,当选择状态变量 10213207
12、219xyuyuu时,可写出状态空间模型为 170192543uxxy122-8 将下列传递函数转换为状态空间模型(1) (2) 231840()6sG 21()56sG(3) 2(5)s解 (1) 由系统特征多项式 ,可求得系统的极点为6123sss1=-1, s2=-2, s3=-3于是有 321)(sksksG其中, 112233()ssk故当选择状态变量为 G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为 10123xxuy(2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下 22135() 1()566ssGGs由系统特征多项式 ,可求得系统的极点为2ss1=-2, s
13、2=-3于是有 12()kGss其中, 1223()4sk故当选择状态变量为 G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为13201314xxuy(3) 由系统特征多项式 ,可求得系统的极点为2(3)ss1=s2=-3, s3=-1于是有 31121)()sksskG其中 212 2311()3,d)3()ssksG。故当选择状态变量为 G(s)分式串- 并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得状态空间模型为 310xxuy142-9 试求题图 2-9 所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。 +U(s)1KspsKp1sJ12sJKbsn )(+_题图 2-9解： 系
14、统方框图变换成：upK1+_spK11sKps1Jns2JKbs1x1x2x3x45 _x6 _则状态空间表达式 中：xABuyCD, 0010/ / 000/2 1111 11JkJkJkAb npp pp 00/1pkB, 0CD152-10 给定题图 2-10 所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为 ,试列出系统yu和的一个状态空间模型。题图 2-10解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一阶环节的输出取为状态变量 。进而,利用每个环节的因果关系 ,可以导出变1234,x换域变量关系式： 1 23052xsuss21 4xxs323xs
15、s4x基此,可以导出变换域状态变量方程： 11235010sxsxsu2 42x3123sxssx4234x将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用 ,就定义此方块图的状态变量方程：1iiLsx1232 43434500xux16再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程： 1 12 23 34 4 50 0- 1- xxu进而,定出输出方程。对此,由方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出方程： 12340 1 xy172-11 已知系统的状态空间模型为 3010152560xxuy现用 =Px 进行状态变换,其变换矩阵为 1023P试写出状态变换后的状态方程和输出方程
16、。解 本题的线性变换为 =Px ，因此相应的各个矩阵的变换公式为11,ABCPDP 的逆矩阵为 10/213P因此有 11300254/415/60APBPC 故系统在新的状态变量 下的状态空间模型为x310254/05/61xuy182-12 求下列各方阵 A 的特征值、特征向量和广义特征向量。(1) (2) 1302。 12A(3) (4) 1254A01826解 (1) 由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为1=1, 2=2计算对应于 1=1 的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0将 A、 1 和 v1 代入上式,有 12030v该方程组有无穷组解。由于 n-rank( 1I
17、-A)=1,即特征向量解空间为 1 维,其通解式为TT1v令 v11=1, 可得如下独立的特征向量 T10再计算对应于重特征值 2= 2 的特征向量。按定义有(2I-A)v2=0将 A、 2 和 v2 代入上式,有 21300v由于 n-rank( 2I-A)=1,该方程组有特征向量解空间为 1 维,其通解式为TT21223v因此,令 v22=1,解之得 T219(2) 由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为1=2=-1, 3=5即-1 为系统的二重特征值,其代数重数为 2。计算对应于二重特征值-1 的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0将 A、 1 和 v1 代入上式,有 123
18、20v由于 n-rank(1I-A)=2,该方程组有特征向量解空间为 2 维,故特征向量解空间为 2 维,独立的特征向量数为 2。解该方程,可得特征向量的通解式为 TT11231212()vvvv因此,令 v11=1,v12=0 或 1,解之得和 T10T2即重特征值 2 有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为 2。 再计算对应于重特征值 3=5 的特征向量。按定义有(3I-A)v2=0将 A、 3 和 v3 代入上式,有 312420v该方程组有无穷组解。由于 n-rank( 1I-A)=1,即特征向量解空间为 1 维,其通解式为TT332313vvv令 v31=1, 可得如下
19、独立的特征向量 T1(4) 由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为1=2=1, 3=2由于矩阵为友矩阵，因此对应于 1=2=1 的特征向量和广义特征向量分别为20TT21, 1,2 100v对应于 3=2 的特征向量和广义特征向量分别为 TT233114v(4) 由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为1=2=3=-2由于矩阵为友矩阵，因此对应于 1=2=3=-2 的特征向量和广义特征向量分别为 TT2, 11,2TT,3 400v212-13 试将下列状态方程变换为约旦规范形(对角线规范形)(1) (2) 21702312uyxx82343157uxx解 (1) 先求 A
20、的特征值。由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为1=-1, 2=1, 3=2求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值 1,2,和 3 所对应的特征向量分别为p1=0 1 -1 , p2=1 0 1 , p3=-1 0 0取系统的特征向量组成线性变换矩阵 P 并求逆矩阵 P-1,即有101,0P计算 、 和ABC1 102,521PABPC 故系统在新的状态变量 下的状态空间模型为x02152xuy(2) 先求 A 的特征值。由特征方程| I-A|=0 可求得系统的特征值为1=-1, 2=1, 3=222求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值 1,2,和 3 所对应的
21、特征向量分别为p1=-4 -3 -2 , p2=3 2 1 , p3=2 1 1取系统的特征向量组成线性变换矩阵 P 并求逆矩阵 P-1,即有1432,021P计算 、AB1 10632, 237PABP 故系统在新的状态变量 下的状态空间模型为x106321237xu232-14 状态空间模型为 010232uyxx(1) 画出其模拟结构图;(2) 求系统的传递函数。解：(i) 系统的模拟结构图如下：u yx1x2s1-3s-s1-3x3-2(ii) 传递函数 由下式给出：()GsDBAIC1)对于该问题,矩阵 A,B,C 和 D 为：, , , 3102A2110C因此： 213100)(
22、sssG6723ss242-15 已知两系统的传递函数阵 分别为12()Ws。, 1()02ss2134()0s试求两子系统串联联结和并联联结时,系统的传递函数阵。解： 串联联结时,21()()Wss23121469754210432ssss并联联结时,12()()Wss211863404102sss252-16 给定题图 2-16 所示的动态输出反馈系统,其中, 1 211 34 , 0 0ssGG试定出反馈系统的传递函数矩阵 。s_sG1s2sysu+题图 2-16解：计算所依据的关系式为 sGsIsGsIsG121121 或采用前一个计算公式。对此,先行计算 21s 1s 4375 3
23、21 0 14 3212 ssss 21s3 1s 475 342212GsI12212 1s3 s 475 34 sI26 416237104 416237102 5 424 2332 sssss ssss基此,求得 416237104 4623710 95 1 416237104 16237042 5 12 0 1 24 33 424 2332121 ssss ssss sssssssGIG272-17 将下列系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1) (2)(1)()ykykuk(2) 0.6(12()yuk解： (1) 可知： 1021021 bba故可得：101021210 ab因此
24、,当选择状态变量如下：)()()()()01201 kyukkyxy可写出如下线性离散系统的状态空间表达式:)()(2)1(x0kky(2) (2)(1).6()1)(yuk解： 可知： 202 bba故可得：106.1210210 ab因此,当选择状态变量如下：)()()()1()0201 kuykukyxy可写出如下线性离散系统的状态空间表达式: )(1)(6.0)(x28)(01)(kkxy292-18 求下列系统状态空间模型对应的 z 域传递函数 G(z)(1) (2) 201(1)()()34kkuyxx0101()().6()2()kkuyxx解： (1) 由公式可得： 651213043021)()11zzzDHGICz(2) 00(1)()().1xkxku2y解：由公式可得： 16.02106)160(.84.12)() 221 zzzzDHGICz
