1、福建宁化一中 2015 届高三第一学期第三次阶段考试数学（理科）试卷第 I 卷（选择题 共 50 分）一、选择题：（共 10 小题，每小题 5 分，计 50 分）1若集合 ,且 ,则集合 可能是（ ）|xyMMNA B C D,0211|xR2如图，在复平面内，若复数 对应的向量分别是 ，,z,OAB则复数 所对应的点位于（ ）12zA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3已知 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）,mnA.若 则 B若 ， ，则/,/n/mnC若 ， ，则 D若 ， ，则m4下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）A. B ()1xfe1()
2、fxC D sin5若对于满足不等式组 的任意实数 ，都有 恒成立，则实数0,2yx,yxya的取值范围是（ ）aA B C D(,2(,0(,26下列说法不正确的是（ ）A. “ ”是“ ”的充分不必要条件3cos57cos25B.命题 ，使得 ，则 ： ，使得 :pxR10xpRx012xC.命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题是真命题ABCsiniABD. 若 为假命题，则 为假命题 qpq7若 的展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等，则直线 与曲线2()nx ynx围成的封闭图形的面积为（ ）yA B C D36132238已知 ，若 的最小值为 3，则 的值为（ ）,(0,
3、)30xyxy1(0)mxymyxBAO第 2 题图俯视图正视图 侧视图A B C D34569.如图是函数 在一个周期内的图象， 为坐标)2,0()sin( Axy O原点，点 分别是最大值、最小值点，若 ，则NM、 OMN的值为（ ）A. B. 662C. D. 127710设函数 的定义域为 ，如果 ，使 （ 为常数）()fxD,xyD()2fxyC成立，则称函数 在 上的均 值为 .给出下列四个函数： ； ；C31()2x；21cnjycomlny ，则满足在其定义域上均值为 的函数的个数为（ ）2si1x1A. B. C. D. 432第卷（非选择题 共 100 分）二.填空题：本大
4、题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。11 如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，则该几何体的体积是 ；12平面向量 与 的夹角为 ， ，ab60(2,)a，则 = ；|1|13将 5 支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支，那么互不相同的放法种数为（用数字作答） ；14定义在 上的函数 满足： （ 为 的导函数）且R()fx(1)0fx()fxf(1)yfx为偶函数，若向量 ， ，则满足不等式12(log,)am(,2)b的实数)1(fbaf的取值范围是；m15已知数列 满足 （n ） ，记n11,4naN，类比课
5、本中推导等比数列前 n 项和公式的方法，21234nTa可求得 54nTa三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 13 分）某校为了解高一年段期中考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取 份试卷n进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如下图，其中成绩在 的人数为 15，规定：70,8)成绩 80 分为优秀.（）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年段期中考试数学成绩的优秀率；（）从样本成绩在 和 这两组中共随机抽取 2 名同学，求抽取的 2 名同学50,6),70)中不及格（成绩 60 分）的人数 的分布列及数学期望
6、.17 （ 本小题满分13分）已知递增的等差数列 满足： 成等比数列，且 。na124,a1a（）求数列 的通项公式；（）若 ，设 ，求数列 的前 项和2log(1)nnb12nnTb 12nTnS18 （本小题满分 13 分）如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中 ， 为 中点，将它沿 折成2ABDECAE直二面角 . DAEB（）求证： 平面 ；（）求锐二面角 的余弦值.频率/组距0.0120.0160.018分806050 70 90 1000.0300.024A BCEDCDEA B19 （本小题满分 13 分）将函数 与函数 线性组合构成的函数sinyxcosyx()(,)fmn是 常
7、 数称为“优美函数” （）在 中， 分别是角 的对边，当 （ 为虚ABC,abc,ABC1,2emdxni数单位）时，角 对应的“优美函数”函数值 ，若 ，求 的面积；()2f,3acbABC（）对于（）中的“优美函数” ，若 关 于 的 方 程 在 区 间x2()log0fxk上 总 有 实 数 解 ， 求 实 数 k的 取 值 范 围 0,220 (本小题满分 14 分)如图，在矩形 中， , ， 是 的中点，该矩形有一内接ABCD2 3APAB， 为直角顶点， 、 分别落在线段 和线段 上，记 的面RtPQQRCDRtPQ积为 S（）设 为 , 将 表示成 的函数关系式，并求 的最大值；
8、SS（） ，将 表示成 的函数关系式。并求 的最小值；Bx设 x21 （本小题满分 14 分）已知函数 .2()ln()fxaxR（）若 是 的极值点，求 的值；1a（）如果函数 在公共定义域 上满足 ，那么就12,gf D12()()fxgfx称 为 的“隔离函数” 已知函数()12()f 21ln,aa.22fxa 若在区间 上，函数 是 的“隔离函数” ，求 的取值范围；(1,)()fx12,()fxa 当 时，求证：在区间 上，函数 的“隔离函数”有无穷多个32a,12,()f参考解答一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分1B 2A 3D 4C 5A 6
9、D 7C 8B 9D 10 B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分11 ； 12 ； 1320 ； 14 ； 15362310,8,2n三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题满分 13 分）解：（）由频率分布直方图可得： 的频率：70,8)0.31.0所以， 150.3n第四组 的频数： ；8,9).24152第五组 的频数： ；608所以，样本中优秀的试卷份数为 20，样本的优秀率= ，1840%5估计该校高一年段期中考试数学成绩的优秀率为 40%6 分（）第一组 的频数： ；50,6)0.15第二组
10、 的频数： ；789的所有可能取值为 0，1，2依题意，得 ， ， 9214C36()P15924C()P2514C0()9P 的分布列 为0 1 2P369509 13 分3645106502919E17 （本小题满分 13 分）解：（）设等差数列 的公差为nad成等比数列，且124,a1，即2()3d或 ，因为，数列 为递增等差数列d0na，1(1)na所以，数列 的通项公式为： 6 分n（） nnba122 231log()log()1n nT1()nTn ()23412nSnn所以，数列 的前 项和 13 分1nT24nS18 （本小题满分 13 分）（）证明：取 AE 中点 O，连结
11、 OD、BE ，AD=DE= ， ODAE，2又 二面角 DAEB 为直二面角，OD平面 ABCE， ODBE，AE=BE=2 ，AB=2 ，AB 2=AE2+BE2， AEBE，ODAE=O，BE平面 ADE （6 分）（）取 AB 中点 F，连结 OF，则 OF/EB，OF 平面 ADE，以 O 为原点， OA，OF，OD 为 x、y、z 轴建立直角坐标系（如图） ，则 A(1，0，0)，D(0，0，1) ，B( - 1，2 ，0)， ， ，)1,0(AD)1,2(BCDEA BOxyzF设 是平面 ABD 的一个法向量，则 ，),(zyxm 0BDm0A 取 x=1，则 y=1，z= 1
12、，则 ，02 )1,(平面 ADE 的法向量 )0,(OF . （13 分）31|cosm19 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ，11ln,23eedxi所以 ()si3cosi()fxx，2in)2fA 4in1,0,333AA，,3622234cos 2,bcabbc11sin3ABCS所以， 的面积为 6 分3（） ，()2sin()fx50,23xx1si,3(1,f因为关于 的方程 在 内恒有实数解，即 ，x2()log0fk,21logk即 ，即 ，即 的取值范围为 13 分2log1k14,420 （本小题满分 14 分） 解：()由图知，在 中， ；在 中， RtPBQ1
13、cosRtPA1sin因为 为直角，所以 RPQ1112cosinsi2SPRQ又 所以 ， ,ADBC分 别 在 线 段 、 上 ， 63，2 sin,132，32,)(3maxminS时 ，或当因此 ， 的最大值为 7 分 1 sin26S()f（） ，2, 1BQxPx又 , , ， ，RABRA21xPR 2221Sxx由于 ，, QDC在 线 段 上 ， 3（ ） S212x3x令 ， ，,tt则 12 (3)Stt因为函数 在 单调递减，在 单调递增ty1,3,证明如下：略（可用导数法证明） 1412ty当 时 ， 达 到 最 小 值 12minxg分（也可用基本不等式求解）21
14、（本小题满分 14 分） 解（） 1 分1()2fxa是 的极值点， 3 分(1)0f10即 2a（）由于在区间 上，函数 是 的“隔离函数”,)()fx1,()fx则 12()fxfx令 ，则 对任意 恒成立，2(lnPa0P(1,)x221()1()2)1(axPxax2()() 0xahxa 在 上单调递减，故只要 ，得 ，解得 ，1,)(hx120a12而 对任意 且 有2(21)xPx(,)()0Px在 上单调递减，故只要 ， 解得),)()0Px1的取值范围为 .a,2 当 时， ，则321 25()3ln,()34fxxfx2221,.50,()()4yfxyfxf上函数， 2121()fff设 ，则 ，(Rx2()()fxRfx所以，在区间 上， ，函数 的“隔离函数”有无穷多个。,)12,14 分
