1、山东师大附中 2015届高三第一次模拟考试文科数学试题(解析版)第 I卷（共 50分）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
2、求的.【题文】1.已知集合 20,123,30=MNxMN， 则A. B. C. D. 0x1,2【知识点】一元二次不等式的解法；集合运算. A1 E3【答案解析】D 解析： ，所以 ,故选 D.|03x【思路点拨】化简集合 N，求得 .1,2M【题文】2.已知 i 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于aiaA.2 B. C. D.12【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】A 解析：由 = 是纯虚数得： ，12ai21ai210a解得 a=2，故选 A.【思路点拨】化简已知复数，利用复数是纯虚数的条件求得 a 值.【题文】3.“ ”是“函数 在区间 上为减函数”的1m26fx
3、mx,3A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【知识点】函数的单调性. B3【答案解析】B 解析：函数 在区间 上为减函数的充要条件是：26fxx,3，即 .又 是 的真子集，所以“ ”是“函数3m1,1, 1m在区间 上为减函数”的充分不必要条件，故选 B.26fxmx,3【思路点拨】根据集合关系，若 A 是 B 的真子集，则 A 是 B 的充分不必要条件.【题文】4.已知函数 ，则实数 的值等于1,0,1.xf fa若 aA.1 B.2 C.3 D.4【知识点】函数值的意义. B1【答案解析】B 解析：因为 ，所以 为1,0xfa1f,即 a=1
4、.故选 B.12a【思路点拨】由函数值的意义得关于 a 的方程即可.【题文】5.已知两个不同的平面 和两个不重合的直线 m、 n，有下列四个命题：、若 ； 若 ；/,mn， 则 ,/则若 ； 若 ./,则 /， 则其中正确命题的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系. G4 G5 【答案解析】D 解析：根据线面垂直的定义、平行线的性质、线面垂直的判定得正确；由线面垂直的性质、面面平行的判定定理得正确；因为 。所以 ，,mnAn又因为 ，所以 ，故正确；若 ，则 m 与 n 可能平行，也可n,能异面，故不正确，所以选 D.【思路点拨】根据空间线、面
5、平行于垂直的判定与性质，一一判断每个命题的正误.【题文】6.若实数 满足条件 ，则 的最大值是,xy420xyxyA.8 B.7 C.4 D.2 【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案解析】B 解析：设 ，画出可行域，平移目标函数 z=0 时的直线 y=-2x，得2zxy使目标函数取得最大值的最优解是直线 x-y=2 与直线 x+y=4 的交点坐标（3，1）, 所以的最大值是 ，故选 B.2xy2317【思路点拨】画出可行域，平移直线 y=-2x，得使 取得最大值的最优解是直线 x-y=22xy与直线 x+y=4 的交点坐标（3，1）,所以 的最大值是 7.【题文】7.一个三棱锥的侧棱长都
6、相等，底面是正三角形，其正（主）视图如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是A. B. C. D. 239,89,2331,8,【知识点】空间几何体的三视图；空间几何体的结构. G1 G2【答案解析】A 解析：根据题意知，此几何体是底面边长 2，高为 2 的正三棱锥，则底面正三角形的高为 ，从而斜高为 ，所以该三棱锥侧面积339为 ，体积为 ，故选 A.139122sin60【思路点拨】由三视图可得该几何体的结构是底面边长 2，高为 2 的正三棱锥，则底面正三角形的高为 ，从而斜高为 ，由此求得该三棱锥侧面积和体积.339【题文】8.若函数 的大致图像如右图，logafxb其中 为常数，则函数
7、的大致图像是,abx【知识点】函数图像的应用. B8【答案解析】B 解析：由函数 的大致图像可得： 所logafxb01,ab以 是减函数， 的图像由 图像向上平移 b 个单位得到，所以函xyagxy数 的大致图像是 B，故选 B.xgab【思路点拨】由已知函数图像得 ，所以 是减函数，01,abxya的图像由 图像向上平移 b 个单位得到，所以函数 的大xxyxgab致图像是 B.【题文】9.已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只214x有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A. B. C. D.3,3,3,3,【知识点】双曲线的几何性质. H6【答案解析】A 解
8、析：此直线从与第二、四象限渐近线平行开始，绕焦点逆时针旋转到与第一、三象限渐近线平行为止，这个过程中直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以此直线的斜率的取值范围是 ，故选 A.3,【思路点拨】首先分析出，过点 F 与双曲线的右支有且只有一个交点的直线位置的图形表现，然后求出其斜率的取值范围.【题文】10.设向量 ，定义一种运算“ ”。向量1212,abrr .已知 ，点121212,abar 1,03mnurr的图象上运动，点 Q 在 的图象上运动且满足,sinPxyx在 yfx（其中 O 为坐标原点） ，则 的最小值为OQmurr A. B. C.2 D.1212【知识点】平面向量的坐标运
9、算. F2【答案解析】B 解析：根据题意得： Q,sin,03x= ，设 Q(X,Y),则 （x 是参数）11,2sin,0,2sin33xx12sinXY所以 ,即 ，所以 的最小值为：-2 ，2sin3YX2sin3fxxyfx故选 B.【思路点拨】由题设得 ，设 Q(X,Y),则 （x 是参数） ，OQ1,2sinx3123sinXY所以 ,即 ，所以 的最小值为：-2.2sin3YXsifyf第 II卷（非选择题 共 100分）二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.将答案填在题中横线上.【题文】11.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_.【知识点】
10、算法与程序框图. L1【答案解析】 解析：由程序框图得循环过程中 S,k 的值依95次为：（1） （2 ）1,;Sk23（3 ） ,3;14k（4 ） ，此时满足1,45S，所以输出k123= 112345.95【思路点拨】由框图得循环过程中 S,k 依次取的值，从而得到该程序运行后输出的值.【题文】12.函数 的图像，其部分图象如图所示，则 _.2sinfxx0f【知识点】 的图像与性质. C4iyA【答案解析】 解析：由图像得周期 T= ，221324从而 ，所以 ，又 是函数增区间上的零点，所以12sinfx4x，所以 ，044sif所以 .2sin()2f【思路点拨】根据图像确定函数
11、的周期、初相，从而得到函数解析sinfxx式，进而求得 的值.0f【题文】13.已知圆 C 过点 ，且圆心在 轴的负半轴上，直线 被该圆所1,x:1lyx截得的弦长为 ，则圆 C 的标准方程为_.2【知识点】直线与圆；圆的标准方程. H3 H4【答案解析】 解析：设圆心 C（a,0 ） ，则 C 到直线 y=x+1 的距离234xyd= ，12a圆半径 ，由勾股定理得 ，解得 a=1(舍去)或 a=-3，所以圆2221a心 C(-3，0),半径 2，所以圆 C 的标准方程为 .234xy【思路点拨】根据题设条件及垂径定理，求得圆心坐标及半径从而写出圆的标准方程.【题文】14.下面给出的四个命题
12、中：以抛物线 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ；24yx 21xy若 ，则直线 与直线 相互垂直；m210my30m命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”；xR234xxR24x将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象。sinysin6y其中是真命题的有_（将你认为正确的序号都填上） 。【知识点】命题的真假. A2【答案解析】 解析：因为抛物线 的焦点为 F（1,0）, 且 F 到原点的距离为24yx1，所以，以 F 为圆心坐标原点的圆的方程为 ，故正确；当 m=-2 时 ，两直21xy线方程分别为 ，显然这两条直线垂直，故正确；根据含量词的命题的否13,24yx定知命题正确
13、；将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数sin3的图像，故不正确.所以填.sin3yx【思路点拨】根据圆的标准方程的求法，直线互相垂直的条件，含量词的命题的否定方法，确定命题、正确；根据图像左右的口诀左加、右减，得命题不正确.【题文】15.已知 恒成立，则实数 m 的取值范围是280,yxxm， 若_.【知识点】基本不等式.E1【答案解析】- 4 m 2 解析：解：解 ： 根 据 题 意 ， x 0， y 0， 则 ，28,0yx即 的 最 小 值 为 8，288yxyxyx若 恒 成 立 ， 必 有 m2+2m 8 恒 成 立 ， m2+2m 8m2+2m-8 0，2mxy解 可 得 ，
14、-4 m 2， 故 答 案 为 -4 m 2【思路点拨】关 键 是 利 用 基 本 不 等 式 求 出 的 最 小 值 yx三、解答题：本大题共 6 个小题 .共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ，且满足 .,abc25os,3ABCur（I）求 的面积； （ II）若 、 的值 .1， 求 inB【知识点】解三角形. C8【答案解析】 （I ）2；（II） 25,sia解析：（I） -2 分3cos1,A而 -4 分3cos,55ACBAbc又 -5 分40,sin,-6 分122Sbc（I
15、I） 而 c=1， -9 分5,5b-10 分22cos0,aAa又 .-12 分,sinibAB45in2sib【思路点拨】 （I ）利用二倍角公式 ,再由平方关系求 ,由向量的数量积定义式求cosAsinA出 bc，再用三角形面积个公式求解；（II）由（I）的结论及 c=1 得 b=5，再根据余弦定理求 a，正弦定理求 .sinB【题文】17.（本小题满分 12 分）如图所示， 平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PA且 分别是线段2,DEFGH、 、 、PA、PD、CD、BC 的中点.（I）求证：BC/平面 EFG；（II）求证： 平面 AEG；（III）求三棱锥 E-AFG 与
16、四棱锥 P-ABCD 的体积比.【知识点】线面位置关系的判定与性质；锥体的体积. G1 G4 G5【答案解析】 （）略；（）略；（） 16解析：（）BCAD,AD EF,BCEF 2 分平面 EFG 3 分EFGEFBC平 面平 面 ,BC（）PA平面 ABCD，PADH ，即 AEDH 5 分ADGDCH ，HDC=DAG，AGD+DAG=90AGD+HDC=90DHAG 又AEAG=A，D H平面 AEG 8 分（） 10 分13AEFEFGAEFPABCGSVPBCD 12 分1112226CDEFACDPAP【思路点拨】 （）根据线面平行的判定定理，只需证 ；（）根据线面垂直的BCEF
17、判定定理，只需证 DH 与平面 AEG 中的两条相交直线 AE、AG 都垂直尽即可；（） ,113342FAGEFAEFADPVSGS14ADPS18CADPV而 ，由此求得三棱锥 E-AFG 与四棱锥 P-ABCD 的体积比.2PBCDPCDPV【题文】18.（本小题满分 12 分）某公司有男职员 45 名，女职员 15 名，按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关小组.（I）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；（II）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做
18、实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；（III）试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为 68，70，71 ，72，74，第二次做试验的职员得到的试验数据为 69，70，70 ，72，74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由.【知识点】抽样方法；古典概型；一组数据的数字特征. I1 K2【答案解析】 （I ）某职员被抽到的概率为 ，男、女职员的人数分别为 3,1；（II ） ；1512（III）第二次做试验的职员做的实验更稳定，（理由：略）.解析：（I） 某职员被抽到的概率为 -2 分4,601npm15设有 x 名职员，则 ， 男、女职员的人数分别为 3,1-4 分5x3（I
19、I）把 3 名男职员和 1 名女职员记为 ，则选取两名小于的基本事件有123,ab12121,aab1323,aab共 12 种，其中有一名女职员的有 6 种，所以选出的两名职员中恰3b有一名女职员的概率为 -8 分612p（） 16870745x， 297027415x2221()(1)s，222(61)()3.s第二次做试验的职员做的实验更稳定12分【思路点拨】 （）利用古典概型的概率公式某职员被抽到的概率，由抽样比乘以每层的人数为此层抽到的人数，得科研攻关小组中男、女职员的人数；（）从这 4 名职员中有顺序的抽取两名职员的情况用列举法知有 12 种，其中恰有一名女职员的有 6 种，据此得
20、所求概率；（）分别求出两组数据的平均数和方差，比较这两组数据的平均数和方差得距结论.【题文】19.（本小题满分 12 分）在数列 中，已知 .na *11 14,23log4nnnabaN（I）求数列 的通项公式；n（II）求证：数列 是等差数列；b（III）设数列 满足 的前 项和 .ncnnnabc， 求 nS【知识点】等差数列及等差数列的前 n 项和；等比数列及等比数列的前 n 项和. D2 D3 【答案解析】 （I ） ；（II）略；（III） . *)()41Nn231()4nn解析：（I） , 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，1nana41 .3 分*)()4n（II） 4 分2log31nb .6 分3)4(l1n ，公差1bd数列 是首项 ，公差 的等差数列. 7 分n1b3d（III）由（1）知， ,2,)4(nan 8 分23(nc ,)41(23()4153()1(7)(132 nnS 574 2n
