1、 -学 习 改 变 命 运- 157教 学 内 容 智康笔记【知识框架】【精选例题】（一）相似三角形的判定与性质的应用【例 1】设点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，F 是 BC 边上一点，线段 DE和 AF 相交于点 P，点 Q 在线段 DE 上，且 AQPC 证明：PC2AQ 当点 F 为 BC 的中点时，试比较PFC 和梯形 APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明。P QFEDCBA相似三角形与三角函数综合应用三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三
2、 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三-学 习 改 变 命 运- 158【例 2】图 图（1）已知：如图，RtABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D、E 在斜边 AB 上，且DCE=45 . 求证：线段 DE、AD、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形 ABC 中，点 D、E 在边 AB 上，且DCE=30 ，请你找出一个条件，使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果 AB=10，求 BDAE 的值【例 3】如图，ABCD、ADCE，F、G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线
3、依次交 AB、AD、CD、CE 于点 M、N、P、Q，求证：MNPQ2PNBACMNPEFQDG图-学 习 改 变 命 运- 159（二）相似与函数结合：求点的坐标、线段的长度【例 4】已知：反比例函数 和 在平面直角坐标系 第一象限中xy28xOy的图象如图所示，点 A 在 的图象上，ABy 轴，与 的图象2交于点 B， AC、BD 与 x 轴平行，分别与 、 的图象交于点xy28C、D. （1）若点 A 的横坐标为 2，求梯形 ACBD 的对角线的交点 F 的坐标；（2）若点 A 的横坐标为 m，比较OBC 与ABC 的面积的大小，并说明理由；（3）若ABC 与以 A、B、D 为顶点的三角
4、形相似，请直接写出点 A 的坐标.【例 5】如图，已知抛物线 y x2bxc 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点43的坐标为（1，0） ，过点 C 的直线 y x3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是t4线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PHOB 于点 H若 PB5t，且 0t1（1）填空：点 C 的坐标是 ，b ，c ；（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示） ；（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、 H、 Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由-学 习 改 变 命 运- 160ABxyOQHPC【例 6】如图，抛物线
5、经过 三点(40)1(02)AB， ， ， ， ，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使x得以 A，P，M 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件OC的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 的面积最大，求出点 DA的坐标（三）相似与动点结合：要注意分类讨论【例 7】 （2009 年中山）正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，（1）证明： ；RttABC （2）设 BM ，梯形 AB
6、CN 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；当xyx-学 习 改 变 命 运- 161点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时 ，求 的值RttABMN x【例 8】 （2009 年山西省）如图，已知直线 与直线382:1xyl相交于点， 分别交 轴于 AB、 两点矩形162:2xyl 2,DEFG的顶点 E、 分别在直线 1l、 上，顶点 FG、 都在 轴上，且x点与点重合（1）求ABC 的面积；（2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度x平移，设移
7、动时间为 t（0t12）秒，矩形 DEFG 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 关于 的函数关系式，并写出相应的 t的取值范围ADBEOCF xyy y1l2l（G）-学 习 改 变 命 运- 162【例 9】如图， 在平面直角坐标系中， 若 、 的长是关ABCD6AD， OB于 的一元二次方程 的两个根，且x2710x（1）求 的值sin（2）若 为 轴上的点，且 求经过 、 两点的直线的解析Ex63AOES ， DE式，并判断 与 是否相似？A D（3）若点 在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点 使以 、MBF， A、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 点的坐标；若CF不
8、存在，请说明理由xyA DB O C【课堂练习】1. (2009 年义乌)如图，在矩形 ABCD 中，AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动，设 AP= ，现将纸片折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕x与矩形边的交点） ，再将纸片还原。 （1）当 时，折痕 EF 的长为 ；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF=0-学 习 改 变 命 运- 163的长为 ；（2）请写出使四边形 EPFD 为菱形的 的取值范围，并求出当 时菱形的边xx=2长；（3）令 ，当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时，写出 与 的函数关系式。2yFy当 取最大值时，判断EAP
9、与PBF 是否相似？若相似，求出 的值；若x不相似，请说明理由2. （2009 恩施市）如图，在 中， 的面ABC 901BCA， ， 积为 25，点 为 边上的任意一点（ 不与 、 重合） ，过点 作DDD，交 于点 设 ，以 为折线将 翻折EBC ExEE（使 落在四边形 所在的平面内） ，所得的 与梯形A 重叠部分的面积记为 y（1）用 表示 的面积；xD（2）求出 时 与 的函数关系式；05 x（3）求出 时 与 的函数关系式；1y-学 习 改 变 命 运- 164（4）当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？xyEADB CAB CA3.如图（1） ，已知正方形 ABCD 在直线 M
10、N 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1）连接 GD，求证：ADGABE；（2）连接 FC，观察并猜测FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数） ，E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、C） ，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN 的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示tanFCN 的值；若 FCN 的大
11、小发生改变，请举例说明-学 习 改 变 命 运- 165NM B E CDFG图（1）【课后作业】 1. （2009 泰安）如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F。（1） 求证：FD2=FBFC。（2） 若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由。2. (2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交-学 习 改 变 命 运- 166于点 A、点 B，与反比例函数 在第一象限的图象交于点 c(1，6)、点xmyD(3，x)过点 C 作 CE 上
12、y 轴于 E，过点 D 作 DF 上 X 轴于 F(1) 求 m，n 的值；(2) 求直线 AB 的函数解析式；(3) 求证：AECDFB3.如图，已知一个三角形纸片 ， 边的长为 8， 边上的高为 ，ABCBC6和 都为锐角， 为 一动点（点 与点 不重合） ，过点 作BCMA、 M，交 于点 ，在 中，设 的长为 ， 上的高为N N MNxh（1）请你用含 的代数式表示 xh（2）将 沿 折叠，使 落在四边形 所在平面，设点A 落在平面的点为 ， 与四边形 重叠部分的面积为 ，当1 BCy为何值时， 最大，最大值为多少？xy-学 习 改 变 命 运- 1674.如图，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，DMEAB，且 DM 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结 FG，如果 45，AB ，AF3，求 FG 的长42数独游戏4 36 2 4 5 73 4 93 2 41 2 5 6 83 4 12 9 58 7 3 6 15 6-学 习 改 变 命 运- 168
