1、宁夏大学附属中学 2015 届高三上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1已知集合 ， ，则1Ax20BxABA B C Dx 12x02x【答案】B【解析】试题分析： ，则0|2| xx，故答案为 B.|1| xBA考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的并集运算.2函数 的值域为23,1logxy A B C D0,0,30,【答案】D【解析】试题分析：当 时， ，当 时， ，故函数的值1x01logl22x1x31x域为，故答案为 D.|30| yyy考点：分段函数的值域.3已知函数 为奇函数，且当 时， ，则()fx0x21()fx()fA1 B2 C D2【答案】C【解析】
2、试题分析：由奇函数得， .211ff考点：奇函数的应用.4函数 yx 32axa 在（0,1）内有极小值，则实数 a 的取值范围是A B （0,3） C （0，） D （，3）2,0【答案】A【解析】试题分析： ，得 ，或 ；由 ，得023axy32ax32ax0y，因此2a当 取极小值， ， ，故答案为 A.3x1320a230考点：函数极值的应用.5已知函数 的图像与 轴恰有两个公共点，则cxy3xcA 或 1 B 或 3 C 或 1 D 或 2 9【答案】D【解析】试题分析求导函数可得 ，令 ，可得 或 ；令 ，1xy0yx10y可得 ；1x函数在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 函数
3、在 处取得极大,值，在 处取得极小值， 函数 的图象与 轴恰有两个公共点， 极大cxy3x值等于零或极小值等于零，或 ， 或 ，故答案为 D.031c031c2考点：1、利用导数研究函数极值；2、函数的零点与方程根的关系.6下列函数中，图像的一部分如图所示的是A Bsin()6yxsin(2)6yxC D co43co【答案】D【解析】试题分析：由图可知， ， ， ， 函数1A624T2T， 是五点中第一个点， ， ，xy2sin0,60332cos32sinxxy，故答案为 D.66co考点：由函数图象求函数的解析式.7在 中， ， ，则 的值为 ABC1205AB7CsinBA B C D
4、858335【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得 ，即022 12cosABA，155722CA得 ，由正弦定理得 ，故答案为 D.3C53sinAB考点：正、余弦定理的应用.8设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则2()fxg()ygx1,()21yx曲线 在点 处切线的斜率是y1,()fA4 B C2 D42【答案】A【解析】试题分析：由导数的几何意义，得 ，求导函数得 ，1gxgxf，故答案为 A.421gfk考点：导数的几何意义.9已知非零向量 ,21|,0| ACBCABAC且满 足与 则ABC的形状是A等边三角形B直角三角形C等腰（非等边）三角形D三边均不相等的三角形【答案
5、】A【解析】试题分析： 表示与 同方向的单位向量，因为 ，所以 的a 0BCABAC平分线与 垂直，三角形是等腰三角形，又因为 ，所以 ，BC21 06所以该三角形是等边三角形，故答案为 A.考点：三角形形状的判断.10已知等比数列 中， 等差数列 中， ，则数列 的na2854,anb465anb前 9 项和 等于sA9 B18 C36 D72【答案】B【解析】试题分析：由等比数列的性质，得 ，得 ，由等差数列的性质，55824aa得，由等差数列的前 项和公式，得 ，故答案46bn18296419 bbS为 B.考点：1、等差、等比数列的性质；2、等差数列的前 项和公式.n11已知数列 的首
6、项 ， ，则下列结论正确的是na113naA.数列 是等比数列 B.数列 是等比数列2,naC.数列 是等差数列 D.数列 是等差数列n 3【答案】B【解析】试题分析：当 时， ， ，两式相减得213nSanSa1，即113nnSa，即 ，故数列从第 2 项起是等比数列，故答案为 B.nn1 24an考点：等比数列的判断.12若函数 没有零点，则 的取值范围是2,0fxbcacbA B C D2,1,1,【答案】D【解析】试题分析： 函数 没有零点， ，0,2cbaxf 042acb，acb42， ， ， ，0,cc4222c1b的取值范围是 ，故答案为 D.ca,考点：函数的零点与方程的关系
7、.二、填空题13幂函数 的图象经过点 ，则 ()yfx1(4,)2()f【答案】2【解析】试题分析：设幂函数 ，由于过点 ， ，得 ， ，xy21,42121xy，故答案为 2.2411f考点：幂函数的应用.14一 辆 汽 车 在 行 驶 中 由 于 遇 到 紧 急 情 况 而 刹 车 ， 以 速 度 （ 的单位：5()731ttt， 的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是 s【答案】 5ln24【解析】试题分析：令 ，化为 ，又 ，解得 ，01237ttv 03242tt4t所以由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离，故答案为 .5ln|1ln525404
8、0 ttdttS 5ln2考点：定积分的应用.15已知正方形 的边长为 2， 为 的中点，则 ABCDECDBDAE【答案】2【解析】试题分析： ， ，由于 ，DCAE21DCAB09A，0CD2421212 CB，故答案为 2考点：平面向量的数量积.16已知定义在 上的函数 、 满足 ，且 ，Rxfgxafxgfxf，若有穷数列 的前 项和等于 ，则 = 251gf nf*Nn321n【答案】5【解析】试题分析： 函数 ， 满足 ，xfgxaf，xffxgfax 2， ， ， ，ff 0a0lnax1a，251g， 或 （舍去） ， 有穷数列 是以 为首项，aangf*N21为公比的等比数列
9、， ，化简得 ，解得 ，故答案为2132112n 321n5n5.考点：数列与函数的应用.三、解答题17 （本小题满分 10 分）在 中， 分别为内角 的对边， ABC的面积ABCcba,BA,是 30， 12cos3A（1）求 ；CB（2）若 b，求 a的值【答案】 （1） ；（2）14A5a【解析】试题分析：（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角Zk,2的范围确定；（2）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦BacAbcCaSsin21sisin定理、余弦定理联系起；（3）
10、在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（4）在三角形中，注意 这个隐含条件的CBA使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围.试题解析：解：由 12cos3A，得 215sin()3.又 1sin30bc，156bc.（1） s5641BCb .（2） 2coaA2 12()(cos)156()53bA， 5.考点：1、求平面向量的数量积；2、求三角形的边长.18 （本小题满分 12 分）已知向量 3(sin,)(cs,).2axx（1）当 时，求 2cosix的值；ba/（2）求 在 ,0上的值域xf【答案】 （1） ；（2）3021,【解析】
11、试题分析：（1）先用数量积的概念转化为三角函数的形式，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（2）注意利用转化的思想，本题转化为求最值,熟悉公式的整体结构，体会公式间的联系，倍角公式和辅助角公式应用是重点；（3）利用倍角公式和降幂公式化简，得到 的形式，由 的取值范围确定 的取值范围，再确xAysinxx定 的取值范围.xsin试题解析：解（1） |ab， 3cosin02x， 3tan2x.1t2sinic2sico2 x（5 分）（2） 1(io,)2ab()sin(2)4fxabx 0x， 344，
12、1si() 21()f 函数 2,)(的 值 域 为xf （10 分）考点：1、同角三角函数的基本关系；2、求三角函数的值域.19 （本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足： 37， 5726a， na的前 项和为 nS（1）求 a及 n；（2）令 21n，求数列 nb的前 n 项和 Tb*N【答案】 （1） ， ；（2）anSn14n【解析】试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被
13、消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根和目的；（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.试题解析：（1）设等差数列 na的公差为 d，因为 37a， 5726，所以有12706ad，解得 3,，所以 321)=n+na（ ； nS= =213n（2）由（）知 +，所以= 21na= 2+)1（ = ，b4n1n所以 nT= = .34 144n考点：1、求等差数列的通项公式和前 项和；2、裂项求数列的和.n20 （本小题满分 12 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销
14、售量 （单位：y千克）与销售价格 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中x 20(6)3ayx， 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克。63xa（1）求 的值；（2）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销售该商品所获x得的利润最大【答案】 （1） ；（2）4x【解析】试题分析：（1）求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确立其定义域，利用函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点；
15、（2）求函数 的极值的一般步骤：（1）确定xf函数的定义域；（2）求导数 ；（3）解方程 ，求出函数定义域内的所有根；xf 0（4）列表检验 在 的根 左右两侧的符号，如果在 附近的左侧 ，xf00x0xf右侧 ，那么 是极大值；如果在 附近的左侧 ，右侧 ，0f 0xf那么 是极小值.x试题解析：解：（1）因为 时， ，所以5x1y1,2.2a由（1）可知，该商品每日的销售量 ，603x所以商场每日销售该商品所获得的利润 312610_322xxf从而， 64032 xf于是，当 变化时， ， 的变化情况如下表：xxff,4,xf+ 0 -单调递增 极大值 42 单调递减由表可得， 是函数
16、在区间 内的极大值点，也是最大值点；4xxf6,3所以，当 时，函数 取得最大值，且最大值等于 42答：当销售价格为 4 元 千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大./考点：导数在生活中的优化问题.21 （本小题满分 12 分）设 2()1)xfea，且曲线 在 处的切线与xfy1轴平行x（1）求 的值，并讨论 的单调性；af（2）证明：当 时，2,02sincoff【答案】 （1） ， ()fx在 ,2)， (1,)单调递减，在 (,1)单调递增；（2）a证明略【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点 处的切线方程，注意这个点的切,f点,利用导数的几何意义求切线的斜率 ；（2）函数 在某个区间内可导，1fkxfy则若 ，则 在这个区间内单调递增，若 ，则 在这个区间内单0xfxf 0f调递减；（3）若可导函数 在指定的区间 上单调递增或单调递减，求参数问题，可D转化为 恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；xf0xf或（4）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1） ， （2）maxfxfa恒 成 立.minxfaxfa恒 成 立试题解析：解：（1） 2()1)ex.有条件知，()0f，故 30 2 分于是 2()(2)xxee.故当 时， f0； ,1,
