1、四川省成都外国语学校 2015 届高三 10 月月考数学（文）试题（解析版）第卷【试卷综析】试卷全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。注重考查数学的各种思想和能力 函数与方程的思想、变换的思想、充分体现，挖掘考生的各项数学能力、体现宽口径，多角度的命题思路. 一、选择题（本大题 10 个小题，每题 5 分，共 50 分,请将答案涂在答题卡上)【题文
2、】1已知集合 A= ，集合 B 为整数集，则 A B=（ ）0)2(1|x A. B. 0,1 1,C. D.2 2【知识点】交集及其运算A1 【答案解析】D 解析：由（ x+1） （ x+2） 0，得1x 2，A=x|（x+1） （ x+2）0=x|1x2，又 B 为整数集，则 AB=1，0，1，2故选：D【思路点拨】求解一元二次不等式化简集合 A，然后直接利用交集运算得答案【题文】2为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）)12cos(xy xy2cosA.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 21 1C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 【知识点】函
3、数 y=Asin（x+）的图象变换 C4【答案解析】A 解析：因为函数 y=cos（2x+1）=cos2 （x+ ），所以要得到函数 y=cos（2x+1）的图象，只要将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位故选 A【思路点拨】化简函数 y=cos（2x+1） ，然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可【题文】3已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 的值为（ ）ia2)(i aA. 1 B. 2 C. D.12【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案解析】C 解析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出【思路点拨】（ai） 2=2i，a 212ai=2i， ，解得 a=1故选：C【题
4、文】4若 则一定有（ ）,0,dcbA. B. C. D.dcbcbdacbda【知识点】不等式的基本性质 E1【答案解析】D 解析：cd0， 0，ab0， 故选：D 【思路点拨】利用不等式的基本性质即可得出【题文】5若 是 的对称轴，则 的初相是（ ）3xxasincoxasincoA. B. C. D.667656【知识点】两角和与差的正弦函数 C5【答案解析】C 解析：已知 x= 是 f（x）=cosx+asinx 的对称轴，所以 cos（ ）+asin（ ） = ，解得：a= ，则：f（x）=cosx sinx=2sin（x+ ） ，故选：C 【思路点拨】首先根据函数的对称轴建立关于
5、a 的方程求出 a 值，进一步对 f（x）=cosx+asinx 的关系进行恒等变换，整理成 f（x ）=2sin（x+ ）的形式，最后求出结果【题文】6已知数列 的前 项和 ，则数列 （ ）na)0(1Sn nA.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列 D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【知识点】等比关系的确定 D3【答案解析】 解析：当 a=1 时，S n=0，且 a1=a1=0，an=SnSn1=（a n1）（a n11） =0， （n1）an1=Sn1Sn2=（a n11）（a n21）=0，a nan1=0，数列 an是等差数列当 a1 时，a
6、1=a1，an=SnSn1=（a n1）（a n11） =anan1， （n1）an1=Sn1Sn2=（a n11）（a n21）=a n1an2， （n2）， （n2）数列a n是等比数列综上所述，数列a n或是等差数列或是等比数列故选 C【思路点拨】由题意可知，当 a=1 时，S n=0，判断数列是否是等差数列；当 a1 时，利用 ，判断数列a n是等差数列还是等比数列【题文】7如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A. B. 52107C. D.49【知识点】众数、中位数、平均数；茎叶图 I2【答案解析】
7、C 解析：由已知中的茎叶图可得甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88，89，90，91，92，则甲的平均成绩 = =90设污损数字为 X，则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩 = =88.4+当 X=8 或 9 时， 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 =则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 P=1 =故选 C【思路点拨】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案【题文】8某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数 i 的最大值为（
8、） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【知识点】循环结构. L1 L2【答案解析】C 解析：经过第一次循环得到 S=2，n=1，经过第二次循环得到 S=5，n=2，经过第三次循环得到 S=10，n=3，经过第四次循环得到 S=19，n=4，经过第五次循环得到 S=36，n=5，经过第六次循环得到 S=69，n=6，输出的结果不大于 37， n 的最大值为 4，i 的最大值为 5.故选 C【思路点拨】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出 s 的要求，求出 n 的最大值，据判断框中 n 与 i 的关系求出 i 的最大值【题文】9用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数，定义
9、A*B=.若 A=1,2,B= ，且 A*B=1，)(),(BCABC 0)2()(|22axx设实数 的所有可能取值集合是 S，则 C(S)=（ ）aA. 4 B. 3 C. 2 D. 1【知识点】集合的确定性、互异性、无序性 A1【答案解析】B 解析：由于（ x2+ax） （x 2+ax+2）=0 等价于 x2+ax=0 或 x2+ax+2=0 ，又由 A=1，2，且 A*B=1， 集合 B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，1集合 B 是单元素集合，则方程 有两相等实根， 无实数根，a=0；2集合 B 是三元素集合，则方程 有两不相等实根，有两个相等且异于的实数根，即 ，解得 a=2
10、，综上所述 a=0 或 a=2 ， C（S）=3故答案为 B【思路点拨】根据 A=1，2，B=x|（x 2+ax） （x 2+ax+2）=0，且 A*B=1，可知集合 B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x 2+ax+1|=1 的根的个数进行讨论，即可求得a 的所有可能值，进而可求 C（S） 【题文】10如图所示，等边ABC 的边长为 2，D 为 AC 中点，且ADE 也是等边三角形，在ADE 以点 A 为中心向下转动到稳定位置的过程中， 的取值范围是（ ）CEBA. B. 23,1 1,3C. D.)4,( )5,4(【知识点】平面向量数量积的运算 F3【答案解析】A 解析：
11、设BAD=， （0 ） ，则CAE=，则 =（ ） （ ）= + =11cos 12cos（ ）21cos（ ）+22cos= 2（ cos+ sin+ cos sin）= 2cos，由于 0 ，则 cos1，则 2cos 故选：A【思路点拨】设BAD=， （0 ） ，则CAE=，则 =（ ）（ ） ，将其展开，运用向量的数量积的定义，再由两角和差的余弦公式，化简得到 2cos，再由余弦函数的性质，即可得到范围第卷二填空题（本大题 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，请把答案填在答题卡上）【题文】11等比数列 的前 项和为 ，已知 S1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列nan的公比为_
12、。na【知识点】等比数列的性质 D3【答案解析】 解析：等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S 2，3S 3 成等差数列，a n=a1qn1，又 4S2=S1+3S3，即 4（a 1+a1q）=a 1+3（a 1+a1q+a1q2） ，解 故答案为.【思路点拨】先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用 a1 和 q 分别表示出 S1，S 2 和 S3，代入即可求得 q【题文】12已知函数 则满足不等式 的取值范围是 .,0,1)(2xxf )2(1(xff【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法 B1 B8 E1【答案解析】 （
13、1， 1） 解析：由题意，可得故答案为： .【思路点拨】由题意 f（x）在0，+ ）上是增函数，而 x0 时，f （x）=1 ，故满足不等式f（1 x2） f（2x）的 x 需满足 ，解出 x 即可【题文】13已知直线 l 过点 ，且与曲线 相切，则直线 的方程为 )1,0(ylnl。【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程 B12 菁【答案解析】xy 1=0 解析：f（x）=xlnx，函数的导数为 f（x）=1+lnx，设切点坐标为（x 0，x 0lnx0） ，f（ x）=xlnx 在（ x0，x 0lnx0）处的切线方程为 yx0lnx0=（lnx 0+1） （xx 0） ，切线 l 过点
14、（ 0， 1） ，1 x0lnx0=（lnx 0+1） （x 0） ，解得 x0=1，直线 l 的方程为：y=x1即直线方程为 xy1=0，故答案为：xy1=0【思路点拨】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，代入点（0， 1） ，解方程即可得到结论【题文】14已知函数 ，则 = 。0),lg(2)xxf )10(f【知识点】函数的值 B1【答案解析】 解析： 100，f（10）=lg10=110，f（1）=2 1= ，故答案为 【思路点拨】求 ff（ 10）的值可从内往外逐一脱去“f”，ff （10 ） =f（1）即可解得【题文】15已知函数
15、的定义域为 ，部分对应值如下表：)(xf5,10 4 5)(f1 2 2 1的导函数 的图象如图所示，下列关于 的)(xfxfy)(xf命题：函数 是周期函数；函数 在0,2上是减)( )(xf函数；如果当 时， 的最大值是 2，那么 的,1t)(f t最大值是 4；当 时，函数 有 4 个零点；2aafy)(函数 的零点个数可能为 0，1，2，3，4 个.其中正确命题的序号是xfy)(_（写出所有正确命题的序号）.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性B12 B4 B9 B3 菁【答案解析】 解析：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大
16、致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：为假命题函数 f（x）不能断定为是周期函数为真命题，因为在0，2 上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当 t=5 时，也满足 x1，t 时，f（x）的最大值是 2；为假命题，当 a 离 1 非常接近时，对于第二个图， y=f（x）a 有 2 个零点，也可以是 3个零点为真命题，动直线 y=a 与 y=f（x）图象交点个数可以为 0、1、2、3、4 个，故函数y=f（x）a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个综上得：真命题只有故答案为：【思路点拨】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行
17、验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案三解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）【题文】16 （12 分）已知数列 是等差数列， 是等比数列，nanb。32,4,3,152ba（1）求数列 、 的通项公式；n（2）设数列 中， ，求数列 的前 n 项和 Snbanc【知识点】数列的求和；等差数列的性质 D3 D2 菁【答案解析】 （1） （1） ， ； （2）S n= .nn 2)1(n解析：（1）在等差数列a n中，由 a1=1，a 3=3，得 ，an=1+1（n1）=n 在等比数列b n中，由 b2=4，b 5=32，得 ，q=2
18、 ；（2）c n=anbn=n2n则 Sn=121+222+323+n2n ，得： = Sn=（n1）2 n+1+2【思路点拨】(1)直接由已知求出等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2 ）把数列a n、b n的通项公式代入 cn=anbn，然后利用错位相减法求数列c n的前 n 项和 Sn【题文】17 （12 分）已知向量 .)si,(cos),s2,i(os xxxm（1）求 的最小正周期和单调减区间；nxf)(（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原)(fy8的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，在ABC 中，角
19、A、B、C 的对边)(xgy分别为 ，若 ，求 的值.cba, 2,)B(,0)2A(bf a【知识点】平面向量数量积的运算；函数 y=Asin（x+）的图象变换 F3 C4【答案解析】 （1）周期 ， 单调减区间： ；（2）T )(83,Zkk263a解析：（1）向量 =（cosx+sinx，2cosx ） ， =（cosxsinx， sinx） mf（x）= =cos2xsin2x= sin（2x+ ） ，函数的周期为 =，2k+ 2x +2k，kz ， k xk+ ，k z，所以函数的周期为 =，k ，k ，k z（2）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐
20、标伸长到原的 2 倍，纵坐标不变，g（ x） = cosx，f（ ）=0，g（B ）= ，b=2 ， sin（A+ ）=0， cosB= ，在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，A= ， B= ，b=2 得： ，即 a= ，【思路点拨】 （1）向量 =（cosx+sinx，2cosx ） ， =（cosxsinx ，sinx） mf（x）= =cos2xsin2x= sin（2x+ ） ，运用三角函数的图象的性质求解（2 ）利用函数图象平移求出 g（x ）解析式，代入利用已知条件求解【题文】18 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是直角梯形，ADBC，AB
21、BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，DCE 是边长为 6 的正三角形。（1）求证：平面 DEC平面 BDE；（2）求二面角 CBED 的余弦值.【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法G5 G11【答案解析】(1)证明：略；（2） .解析：（1）证明：因为四边形 ABCD 为直角梯403形，ADBC，AB BC，AD=2，AB=3，所以 BD= ，又因为 BC=7，CD=6 ，所以根据勾股定理可得 BDCD，因为 BE=7，DE=6，同理可得 BDDE因为 DECD=D，DE 平面 DEC，CD平面 DEC，所以 BD平面 DEC因为 BD平面 BDE，所以平面 DEC平面
22、BDE；（2）解：在CBE 中，BC=7 ，CE=6 ，BE=7，S CBE= =6 ，在BED 中，BD= ，DE=6，BE=7，S BED= =3 ，二面角 CBED 的余弦值为 = 【思路点拨】 （1）根据勾股定理证明 BDCD，BDDE，可得 BD平面 DEC，利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明平面 DEC平面 BDE；（2 ）求出 SCBE、S BED，即可求二面角 CBED 的余弦值【题文】19 （12 分）从标有 1，2，3，7 的 7 个小球中取出一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个球，记下它上面的数字，然后把两球上的数字相加，求取出两球上的数字之和大于 11 或者能
23、被 4 整除的概率.【知识点】古典概型及其概率计算公式K2【答案解析】 解析：从标有 1，2，3，7 的 7 个小球中取出一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个球，记下它上面的数字，共有 77=49 种不同情况，其中两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整除的事件有：（1，3） ， （1，7） ， （2，2） ， （2，6） ， （3，1） ， （3，5） ， （4，4） ， （5，3） ，（5，7） ， （6，2） ， （6，6） ， （7，1） ， （7，5） ， （6，7） ， （7，6） ， （7，7） ，共 16 种，故取出两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整除的概率 P=.【思路点拨】本题先求出有放回的收取两个小球的取法总数，和两球上的数字之和大于 11或者能被 4 整除的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【题文】20 （13 分）已知数列 满足 ，前 n 项和为 Sn，S n= 。na01a )1(na（1）求证： 是等比数列；na（2）记 ，当 时是否存在正整数 m，都有 ？如果存)(|1*Nb5nmb在，求出 m 的值；如果不存在，请说明理由.【知识点】数列递推式D5【答案解析】(1)证明：略；（2）当 时存在正整数 m=4，都有 .51anmb解析：（1）证明： ，S n1= （ 1+an1） 两式相减得 ，
