1、吉林省吉林市 2015 届高三第一次摸底考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1计算： =（ ）2iA B C Di1i1i 1i【答案】C【解析】试题分析： = 2()21iii考点：复数的计算2已知 ，则 A 可以是（ ）1,350,48ABCC（A B C D1,2,42【答案】D【解析】试题分析： ，A （BC ） ，故集合 A= ，故选 D， 2考点：集合的交集、子集运算3已知条件 p ，条件 q ,且 q 是 p 的充分而不必要条件，2210xax则 a 的取值范围是（ ）A B C D13a3a【答案】B【解析】试题分析：条件 p： ，条件 q：x2，且 q 是 p 的充分而不必要
2、条2210xa件，q p，p q，即 a2 且 解不等式组可得：a1 故选：B24考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断4某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】试题分析：第一次运行 S= ，k=2；第二次运行 S= ，k=3；第三次运行1224S= ，k=4；第四次运行 S= ，k=5 故选 C4216601考点：程序框图5 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，视图可以是，12则该几何体的俯视图可以是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意可知当俯视图是 C 时，即每个视图是变边长为 1 的正方形，
3、那么此几何体是立方体，显然体积是 1，注意到题目体积是 ，知其是立方体的一半，可知选 A12考点：简单空间图形的三视图6 将函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到 2sin+36xf4函数 g（ x）的图象，则 g（ x）的解析式为（ ）A B 2sin+134xg 2sin134xgC D i i【答案】A【解析】试题分析：将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数2cos()36xf（ 4，再向下平移 1 个单位，得到函数2cos()314xf（的图象，则 g（x）的解析式为 故选 in+4g 2sin+134xgB考点：函数 y=Asin（x+ ）的图象变换7 已知等差
4、数列 的公差为 2，若前 17 项和为 ，则 的值为（ ）na17S=412aA-10 B8 C4 D12【答案】B【解析】试题分析：解：等差数列a n的前 17 项和为S17=34 ，a 1+a17=4，a 1+a17=2a917342aa 9=2，等差数列 的前 17 项和为 S17=34，a 12=a9+（12-9）2 ，a 12=8，故答案选nB考点：1等差数列的前 n 项和； 2等差数列的通项公式8 在 中，内角 A、B 、C 的对边分别是 a、b、c ，若AC，则 B=（ ）23,3bcasisiA30 B60 C120 D150【答案】A【解析】试题分析： ，a= c， ，cos
5、B= 23 sinAsi2323bac22acbac，B=30 ，故选 A32考点：余弦定理的应用9 在 的二项展开式中，常数项为 （ ）832xA1024 B1324 C1792 D-1080【答案】C【解析】试题分析：设第 r 项是常数项，所以 ，所以 ，18312rrrTx18063rr所以常熟项为 ，故选 C68279C考点：二项式定理10 已知双曲线 的左顶点与抛物线 的焦点的21 0,xyabb2 0ypx距离为 4,的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 （-2,- 1）,则双曲线的焦距为（ ）A B C D255210【答案】A【解析】试题分析：根据题意，双曲线
6、的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1 ），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=- ，则 p=4，则抛物2p线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即 a=2；点（-2 ，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 ，由双曲线的性质，可得 b=1；则 c= ，则焦距1yx5为 2c= ；故选 A5考点：1双曲线的简单性质； 2直线与圆锥曲线的关系11 中， ,D 是边 BC 上的一点（包括端点），则BC10 , 1BAC的取值范围是（ ）ADA1 ,2 B0 ,1 C0，2 D -5，2【答案】D【解析】试题分析：D 是边
7、BC 上的一点（包括端点），可设 BAC=120，AB=2，AC=1 ，101ABAC,（21cos01ABC 1()ADBCACB01，22B472（-7+2 ）-5，2 的取值范围是 故选：D5考点：平面向量数量积的运算12 对函数 f （x ），若 ， f （ a）, f （b）, f （ c）为一三角形的三边长，,abcR则称 f （ x）为“三角型函数”，已知函数 是“ 三角型函数”，则实2 0xmf数 m 的取值范围是（ ）A1, 4 B0,2 C 2, 4 D1, 2 【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，f（ a）+f（b）f （c ）对任意的 a、b、cR 恒成立，函数，当
8、 m2 时，函数 f（x）在 R 上是减函222 1xxxm数，函数的值域为 ；故 f（a）+f（b）2，f（c） ，m4 当 m2 时，1（ 2m函数 f（ x）在 R 上是增函数，函数的值域为（ ，1 ）；故 f（a）+f（b）m，f（c）1 ， m1 ，由可得 1m4，故选：A考点：函数的值二、填空题13已知 x，y 满足不等式组 ，则目标函数 的最大值为_2yx2zxy【答案】6【解析】试题分析：由约束条件 作可行域如图，2yx由 z=2x+y，得 y=-2x+z，由图可知，当直线 y=-2x+z 过可行域内的点 B（2 ，2）时，直线在y 轴上的截距最大，即 z 最大z=22+2=6
9、故答案为：6考点：简单线性规划14已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，有下列四个命题：若 ，则 l m ；若 ，则 lm；若 lm,则 ；若 lm，则 其中正确命题序号是 【答案】【解析】试题分析：直线 l平面 ，直线 m平面 ，当 有 lm，故正确；当 有lm 或 l 与 m 异面或相交，故 不正确；当 lm 有 ，故正确；当 lm 有 或 ，故不正确；综上可知正确，故答案为：考点：平面的基本性质及推论15若动直线 x =a 与函数 和 的图像分别交于 M ，N fxsincox2 cosgx两点, 则 的最大值为 MN【答案】 21【解析】试题分析： ，所以21122fxsincoxsi
10、gxcosx（|ABg则 时， 的11|2|2sinxcos（ 2| |4sinx（ 14sinx（AB最大值为： 故答案为： 1考点：1二倍角的余弦；2二倍角的正弦；3三角函数的最值16 若数列 满足 ，则该数列的前 2014 项的乘积na*11 2, nnaN123014.【答案】-6【解析】试题分析：由 递 推 关 系 式 ， 得 是 以 4 为 循 环 的 一 个241nnaa（n数 列 由 计 算 ， 得 ， 1234523（ 1234a 故 答 案 为 ： -6120124031426aaa 考点：数 列 递 推 式 三、解答题17已知 中， a,b, c 为角 A,B,C 所对的
11、边， ABC 3cos +cosbAaC（1 ）求 cos A 的值；（2 ）若 的面积为 ，求 b ， c 的长 23a（【答案】 （1） ;（2） 或 3,bc,2【解析】试题分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由 sinB 不为 0 求出 cosA 的值即可；（2 ）由 cosA 的值求出 sinA 的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与 sinA 的值代入求出 bc=6，再利用余弦定理列出关系式，把 a，cosA 的值代入，利用完全平方公式变形，把 bc 的值代入求出 b+c=5，联立求出b 与 c 的值即可试题解析：解：（1）
12、由正弦定理得： BCABsin)si(cosin30ios3A（2 ）由题意得： ，即：1si2ABCSbc6bc由余弦定理得： 22 2o,9(),53aAbc联立上述两式,解得： 或 ,3cc考点：正弦定理18 （本小题满分 12 分）已知数列 是公差大于零的等差数列，数列 为等比数列，且nanb123,1,abab（1 ）求数列 和 的通项公式nab（2 ）设 ，求数列 前 n 项和 ccnT【答案】 （1） ;（2） 21(*),(*)nN16(3)2n【解析】试题分析：（1）设数列 的公差为 d（d0 ） ，数列 的公比为 q，由题意列方程组nanb求得公差和公比，代入等差数列和等比
13、数列的通项公式得答案；（2）把数列 和na的通项公式代入 ，然后直接利用错位相减法求数列 前 n 项和 nbncbcT试题解析：解：（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为na(0)dnbq由已知得： ，解得：2(1)3qd124q，因为 ，所以 ，0d, 12(),2nn nab即 21(*)(*nnaNb（2 ） 235(1)(1)nT 23422n （2 ）（1 ）得： 3 11()nnn 34 12()n 11()2nn16(3)n考点：1数列的求和；2等差数列的性质19一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资部经理把参加笔试的 40 名学生的成绩分组： 第 1 组75,80 ）
14、 ，第 2 组 80,85） ，第 3 组85, 90） ，第 4 组 90, 95） ，第 5 组 95,100） ，得到频率分布直方图如图所示：（1 ）分别求成绩在第 4，5 组的人数；（2 ）若该经理决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试，已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲和乙同时进入面试的概率；若经理决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试，设第 4 组中有 X 名学生被考官 D 面试，求 X 的分布列和数学期望【答案】 （1）8 人，4 人;（2） ， 1【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图求出第 4，5 组的学生人数；（
15、2）求出第 3 组学生人数，再求第 3、4、5 组各抽取的人数，即可求出第 3 组甲、乙同时进入面试的概率；求出 X 的可能取值，计算 X 的分布列与数学期望试题解析：解（1）第 4 组学生人数为 ，第 5 组人数为0.80.254所以第 4，5 组的学生人数分别为 8 人，4 人（2 ） 因为第 3 组学生人数为 ，所以第 3，4，5 中抽取的人数分别是65123 人，2 人，1 人，则甲，乙同时进入面试的概率为102CP由知，X 的可能取值为 0，1 ，2所以21 244266681(0),(),()555CPPXXX 分布列为X 0 1 2P 25851203E考点：1频率分布直方图；
16、2离散型随机变量及其分布列； 3离散型随机变量的期望与方差20 一个多面体的直观图及三视图如图所示, 其中 M , N 分别是 AF、BC 的中点，（1 ）求证： MN / 平面 CDEF ；（2 ）求二面角 A-CF-B 的余弦值；【答案】 （1）详见解析; （2） 3【解析】试题分析：（1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF，且AB=BC=BF=4， DE=CF= ，CBF=90 ，由此能证明 MN平面 CDEF（2 ）（法一）作42BQ CF 于 Q，连结 AQ，由已知得 AB面 BCF，ABCF ，BQCF ，AQB 为所求的二面角的平面角，由此能求出二面
17、角 A-CF-B 的余弦值（2 ）（法二）：以 EA，AB ，AD 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A-CF-B 的余弦值试题解析： 解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF,且 AB=BC=BF=4,DE=CF= ,4290CBF,连结 BE, M 在 BE 上，连结 CEEM=BM,CN=BN, 所以 ,所以 平面N,ED面 /MNCDEF（2 ）方法一：作 BQCF 于 Q，连结 AQ，面 BFC 面 ABFE，面 ABFE面 BFC=BF，AB面 ABFE，AB BF，AB 面 BCF，CF面 BCF，ABCF，BQCF，ABBQ=B ，CF面 ABQ，AQ面 ABQ，AQCF，AQB 为所求的二面角的平面角，（ 8 分）在 RtABQ 中，tanAQB= ，42ABQcosAQB ，3二面角 A-CF-B 的余弦值为 （2 ）方法二：以 EA,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，
