1、上海市复旦实验中学 2015 届高三上学期期中考试理科数学试题(解析版)一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，每题 4 分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得 5 分，否则一律得 0 分.1. 已知集合 ， ，则 .03Ax41xBAB解析： ， .41,BxA,32. 函数 的最小正周期为 .2sincos4f x解析： ，所以最小正周期 .i sin2cos2fx xx 2T3. 已知 的展开式中， 的系数为 ，那么实数 .521p6x80p解析： ，令 .2155rrrrTxpC 352rC4. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的所有可能取值组成的集,A10
2、BxaBAa合为 .解析：分类讨论，不要忘了空集的情况： .,1,1,05. 在 中，角 所对的边长分别为 .若 ，则最大角ABC, ,abcsin:si6:54ABC为 .解析：由正弦定理可得 ，有余弦定理即可得最大角 的余弦值:6:54abc，即 .225481cos 1ros8A6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的 16 个小球，其中 8 个白球、8 个黑球. 现从口袋中任意摸出 8 个球恰好是 4 白 4 黑的概率为 .（结果精确到 0.001）解析：48160.3PC7. 在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ，若直线 的xOy3.1AO90BO倾斜角为 ，则 的
3、值为 .tan2解析：很明显 ，所以 ，即 .10AXX12tant24038. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 . 2lgfxx,解析： 在 上单调递增，内函数 在 上递增lfa1, 2yxa1,且函数值大于 0，所以 .210a19. 若一个圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 .4cm解析：轴截面是边长为 ，则底面半径 ，母线 ，所以侧面积为 .2r4l rl810. 已知定义在 上的函数 与 的图像相交与点 ，过点 作02， sin1yx83yP轴于 ，直线 与 的图像交于点 ，则线段 的长度为 .1Px11Ptax2P12解析： , .82sinsin3
4、21tnpyy11. 已知函数 满足 ，若 是 的反函数，则关于0,1xfa3fffxf的不等式 的解集是 .x1f解析： ，所以 ，23ff01a1logafx即 .1fxlogax,12. 设 为非零实数，偶函数 在区间 上存在唯一的零点，21fxamxR2,3则实数 的取值范围是 .解析： 为偶函数， ，结合图形可知21fxamR 0ffm.230f5,3213. 设函数 的定义域为 ，其中 .1fxQ,ba0ab若函数 在区间 上的最大值为 6，最小值为 3，则 在区间 上的最大值f,ab fx,与最小值之和为 .解析：令 ，定义域为 ，则有 在区间 上的最大值为 5，最gx,abg,
5、ab小值为 2，当 为偶函数时， 在区间 上的最大值为 5，最小值为 2，此时 在区间gx, fx上的最大值与最小值之和为 9；,ba当 为偶奇函数时， 在区间 上的最大值为-2，最小值为-5 ，此时 在区gxgx,ba fx间 上的最大值与最小值之和为-5；,ba综上，应填 或5914.已知命题“ ， ，则集合 ”是2fxm2gxm1,2xfgx假命题，则实数 的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即 在 上有解.显然 .fx1,20当 时，结合函数图像可得 ，无解；0mfg1mm当 时，结合函数图像可得 ，122704所以， .7二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有
6、且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得 5 分，否则一律得 0 分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）解析：有各函数的基本性质即可知 符合题意，选择 .13yxD16.在钝角 中， “ ”是“ ”的（ ）ABCsin22A解析： 能得到 ，反之不一定成立， 还可以为 .233sin2A317. 已知函数 ，其中 ， ，则下列判断正确的是（ ）axf0a,xbA. 当 时， 的最小值为bf 2B. 当 时， 的最小值为0afxaC. 当 时， 的最小值为bf 2bD. 当 时， 的最小值为0fxa解析： ，令 ，结合 函数图像，可得到当2afxNike时，
7、取到最小值 ，所以选择 C.0bfx2bf18. 给定方程： ，下列命题中：该方程没有小于 0 的实数解；该方1sin02xA. lgyxB. tanyxC. 3D. 13A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件程有无数个实数解；该方程在 内有且仅有一个实数解；若 是该方程的实数解，,00x则 .其中正确的命题个数是（ ）01xA.1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个解析： ， 的解就等价于函数1sin02x 1sin2xsin10x与 的交点个数，作出图像即可判断只有不对；所以选择 C. siyxxy三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，
8、解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分 12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分）如图，直三棱锥 中， ， .ABC1ABC45ABC求直三棱锥 的体积；1若 是 的中点，求异面直线 与 所成的角.DD1解析： 且 ，12ABC45AB . ；11ABCABCVS如图，取 中点 ，连接 、 ，又 是 的中点，EDBEAC所以 ，所以 即为异面直线 与 所成的角.1D 1计算可得 ， ，2AC5在 中，由余弦定理可得 ，EB210cosEDB即异面直线 与 所成的角为 .D1AC10ar20. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1
9、 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知函数 ，且 的最大值为 1.sin2sin3cos2,3fxxxmRfx求 的值，并求 的单调递增区间；mf在 中，角 的对边为 ，若 ，且 .试判断ABCC、 、 a、 b、 c31=-fBabc的形状.解析： sin2sin23cos2sin3cos23fxxxmxxmxm 即 ；max21fD C1B1A1CBAD C111BAE令 ，得 的单调递增区间为 ；223kxkfx 5,12kkZ ，31sin6=-fBBB ，又 ，223coacbabc ，2 132即 ，故 ，sin11si426BCA所以 为钝角三角形.A21. （本题满
10、分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最多不超过 300 吨，月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函yx数关系式可近似的表示为： ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化204yx工产品价值为 300 元该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？解析：每吨的平均处理成本为 204024020yxx当且仅当 即每月处理量为 吨时每吨的平均处理成本最低，最低为 200 元；设该单位每月获利为
11、 （元） ，则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价S值减去月处理成本 2 230045040Sxyxx解之得： 14由题意可知 ，所以当 时，该单位每月不亏损.31322. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.已知函数 ，其中常数 .2,xxfa0a 时，求 的最小值.1af讨论函数的奇偶性.若 恒成立，求实数 的取值范围.2fxfxa解析： 时， ，当且仅当 即 时 取最小值 2.1axf2x0fx ， ，所以2xxfaxxfa当 时 为偶函数，因为此时有 恒成立；1af ff当 时 为奇函数，因
12、为此时有 恒成立.fx fxf当 时 为非奇非偶函数.1af由 得 ；2x10x，令 ，有11221xxxxfxfaa 2,1xt，即 ，234tttat33attt所以 .23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.设函数 为定义在 上的奇函数， . 当 时，yfxR2fxfx1,0x. 30fxf当 时，求 的解析式；1,1yfx记 ， 为 ，求 及其反函数yfx4,kkZkyfxkyfx的解析式；1kf定义 其中 ，探究方程21,kgxfx21,106,kkZ在区间 上的解的个数.0xb03,解析：当 时
13、， ， ，即 ；0,1x1,0x3fxfx3,1fx当 时， ，有 .,32,2ff ，则 的周期为 ；242fxfxffxx4T当 时， ，41,k1,k ， ，34,kyfxfx34xky即 .131kf由 可得 的对称轴为 ，所以 的图像如下：2xxffx1xfx接下来求解 在 上的解析式：fx21,k当 为偶数时， 为其周期， .所以 ；k 21,xk32fxfkx当 为奇数时， 为其周期， .2k,3所以 3 322fxfxfxkxk1y32Oxy4综上， ， ，312kfx32gxk21,xkkZ所以将 向右移动 个单位，再向上移动 个单位即可得到 的图像：3y gx显然， 是连续的递增函数，gx 当 时，方程 在区间 上有一解，02130b0gxb213,0当 时，方程 在区间 上无解.gxb213,31Oxy3
