1、2018 届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试题（考试时间：120 分钟 满分：150 分）一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1.已知集合 1,234A，集合 3,45B，则 AB . 2. limnn .3. 已知函数 ()si23cosfxx，则函数 ()fx的最小正周期是 .4.已知 1,ba，若 a与 b平行，则 m . 5. 过点 A的直线 l的方向向量 1,2e，则 l的方程为 . 6. 已知 ()123fnn ，则 kff)1( .7. 若直线 1:0()lxym与直线 2:30lxny之间的距离是 5，则
2、mn . 8.设数列 na满足对任意的 *N， (,)nPa满足 1(,2)n，且 124a，则数列 1naA的前 项和 nS为_.9. 如果定义在 R 上的函数 )(xf满足：对于任意 21x，都有 )()(21xff)()(121fxf，则称 为“ H函数”给出下列函数： y； 1y；xey； 0|lnxy，其中“ 函数”的序号是 10. 设 1()f-为 cos,48f xpp=-+的反函数，则 1()()yfxf-=+的最大值为_.11.对于数列 na，定义112.naaH为 n的“优值” ，现在已知某数列 na的“优值”12H，记数列 nk的前 项和为 nS，若 5对任意的 恒成立，
3、则实数 k的取值范围是_12. 已知 aR，函数 4()fxa在区间 1,4上的最大值是 5，则 a的取值范围是_二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.关于 x、 y的二元一次方程组 50234xy的系数行列式 D为 （ ）来源:Z.X.X.KA. 0543 B. 1 C. 152 D. 605414.设 ,ab都是不等于 1 的正数，则“ ba”是“ log3lab”的什么条件 ( )A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要15. 已知 C 是边长为 2 的等边三角形， P为平面 ABC内一点，则 ()PABC的最小值是 （ ）A 2B 3C
4、 43D 116.已知函数 2017log0172x xf x，则关于 x的不等式314fx的解集为 （ ）A . , B. ,4 C.0, D.,0三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知在等比数列 na中， ，且 2a是 1和 3的等差中项（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 nb满足 *()nnN，求 nb的前 项和 nS解： 18. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）在 ABC中，内角 、 B、 C所对
5、的边分别为 a、 b、 c，已知 2ba，4c， sin2i（1）求 的面积 S；（2）求 )si(的值解： 19. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇， 决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为 50万元， 每生产 x台,需另投入成本 Cx(万元)，当年产量不足 80台时, 214Cxx (万元)； 当年产量不小于 80台时 8102 (万元)， 若每台设备售价为 0万元，通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润 y (万元)关于年产量 （台）的
6、函数关系式；（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？20. （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知函数 )(xf定义域是 RxZkx,，且 0)2()xf， )(1)(xff，当12x时， f3（1）证明： )(x为奇函数；（2）求 f在 21,上的表达式；（3）是否存在正整数 k，使得 12,kx时， kxf2)(log3有解，若存在求出k的值，若不存在说明理由解：21. （本题满分 18 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）若对任意的正整数 n，总存在
7、正整数 m，使得数列 na的前 项和 nmSa，则称 n是“回归数列”（1）前 项和为 2nS的数列 na是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为 b的数列 b是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设 na是等差数列，首项 1，公差 0d，若 na是“回归数列” ，求 d的值；（3）是否对任意的等差数列 na，总存在两个“回归数列” b和 c，使得 nnabc*()N成立，请给出你的结论，并说明理由金山中学 2017 学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷答案（考试时间：120 分钟 满分：150 分）一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712
8、 题每题 5 分）1.已知集合 ，集合 ，则 .2. .13.已知函数 ，则函数 的最小正周期是 . 4.已知 ，若 与 平行，则 .5. 过点 的直线 的方向向量 ，则 的方程为 .6. 已知 ，则 .7. 若直线 与直线 之间的距离是 ，则 .08.设数列 满足对任意的 ， 满足 ，且 ，则数列 的前 项和 为_.9. 如果定义在 R 上的函数 满足：对于任意 ，都有，则称 为“ 函数”给出下列函数： ； ； ，其中“ 函数”的序号是 10. 设 为 的反函数，则 的最大值为_.11.对于数列 ，定义 为 的“优值” ，现在已知某数列 的“优值”，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成
9、立，则实数 的取值范围是_12. 已知 ，函数 在区间 上的最大值是 5，则 的取值范围是_ 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于 、 的二元一次方程组 的系数行列式 为 （ C ）A. B. C. D. 14. 设 都是不等于 1 的正数，则“ ”是“ ”的什么条件 ( B ) A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要15. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 （ B ）A B C D16.已知函数 ，则关于 的不等式的解集为 （ A ）A . B. C. D.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76
10、 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 解：（1）设公比为 ，则 ， ， 是 和 的等差中项， ， ，解得 或 （舍） ， （2） ，则 18. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ，（1）求 的面积 ；（2）求 的值解：（1）因为 ，所以由正弦定理得 ， 又 ，故 ， ， 所以 ，因为 ，所以
11、 所以 （2）因为 ， ，所以 ， ，因为 ，所以 为锐角，所以 （或由 得到 ，） 所以， 19. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为 万元, 每生产 台,需另投入成本 (万元), 当年产量不足 台时, (万元); 当年产量不小于 台时 (万元),若每台设备售价为 万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润 (万元)关于年产量 （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的
12、生产中所获利润最大？解:（1）当 时, ;当 时, ,.（2）当 时, , 此时, 当 时, 取得最大值, 最大值为1300.(万元)；当 时 , , 当且仅当 ,即 时, 最大值为 1500(万元), 所以 , 当产量为 90 台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500 万元.20. （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知函数 定义域是 ，且 ， ，当时， （1）证明： 为奇函数；（2）求 在 上的表达式；（3）是否存在正整数 ，使得 时， 有解，若存在求出的值，若不存在说明理由解：(1) ,所以 的周期为
13、2，所以 ,所以 为奇函数（2） 因为 ，所以当 时， （3）任取所以不存在这样的 ，使得 时， 有解21. （本题满分 18 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ，则称 是“回归数列”（1）前 项和为 的数列 是否是“回归数列 ”？并请说明理由；通项公式为 的数列 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设 是等差数列，首项 ，公差 ，若 是“回归数列” ，求 的值；（3）是否对任意的等差数列 ，总存在两个“回归数列 ” 和 ，使得成立，请给出你的结论，并说明理由解:（1） ，作差法可得 ，当 时， ；当 时， ，存在 ，使得数列 是“回归数列” ，前 项和 ，根据题意 一定是偶数，存在 ，使得数列 是“回归数列” （2） ，根据题意，存在正整数 ，使得 成立即 ， ， ， ，即 （3）设等差数列总存在两个回归数列 ，使得 9 分证明如下：数列 前 项和 ，时， ； 时， ；时， 为正整数，当 时， 存在正整数 ，使得 ， 是“回归数列”数列 前 项和 存在正整数 ，使得 ， 是“回归数列” ，所以结论成立
