1、湖北省教学合作 2015 届高三上学期 10 月联考数学（理）试题 Word版本卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟第卷 （选择题，50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合 ，则22|3,|0xAxyxBABA B C D,1,12、下列命题中真命题的个数是（1）若命题 中有一个是假命题，则 是真命题,pq()pq（2）在 中， “ ”是“ ”的必要不充分条件ABCcosincosinAB90C（3） 表示复数集，则有 2,1xCA0 B1 C2 D3
2、3、已知四个函数： ； ； ； 的图象如下，但顺序打乱，sinycosyxcosyx2xy则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A B C D 4、已知 ，则 的大小关系是12515(),log,l3abc,abcA B C D caba5、将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数sin2csyx4gxA由最大值，最大值为 B对称轴方程是317,12xkZC是周期函数，周期 D在区间 上单调递增2T,6、已知函数 的导函数 ，log(0)afxfx,(1)(Afabffa，则 中最大的数是(1),(2)(1)CfaDffa,ABCDA B C D 7、已知 ，若函数 满
3、足 ，则称 为区间 上的一b,fxgbbaafxdgx,fxg,ab组“等积分”函数，给出四组函数： ； ； 2,1fxsin,cosf ； 2314gx函数 分别是定义在 上的奇函数且积分值存在,f ,其中为区间 上的“等积分”函数的组数是A1 B2 C3 D48、已知 ，若 对任意实数 恒成立，则实数 的取1abc231abcxm,abcxm值范围是A B C D,4,8,2,9、已知由不等式组 ，确定的平面区域 的面积为 7，定点 M 的坐标为 ，若 ，024xyk1,2NO 为坐标原点，则 的最小值是MONA B C D876410、已知函数 设两曲线 有公共点，且在该点221,3ln
4、fxaxgxb,yfxg处的切线相同，则 时，实数 的最大值是(0,)A B C D613e61e237e23e第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中的横线上11、已知向量 与向量 的夹角为 ，若 且 ，则 在 上的投影为 ab120()(2)ababa12、已知偶函数 在 上满足：当 且 时，总有 ，则不fx,012,0x12x120()xff等式 的解集为 1ff13、点 O 是锐角 的外心， ，若 ，ABC812,3ACAOxByC则 23xy14、定义在正整数集上的函数 满足（1） ；（2） ，()fn()4()fn
5、N(15)()fmN则有 fm20515、 （选修 4-4：坐标系与参数方程）曲线 C 的参数方程是 （ 为参数，且 ） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴cos2inxy(,2)为极轴建立极坐标系，曲线 D 的方程为 ，取线 C 与曲线 D 的交点为 P，则过交点 P 且与曲i()04线 C 相切的极坐标方程是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤16、 （本小题满分 12 分）已知集合 ，集合 ，函数 的定义域为集合 BUR|(2)30Ax2()lgxay（1） 若 ，求集合 ；12aUCB（2） 命题 ，命题 ，若 是 的必要条件，求实
6、数 的取值范围:px:qxpa17、 （本小题满分 12 分）在 中， 所对的边分别为 ，向量 ，向量ABC, ,abc(cos,in)mA(2sin,co)A若 2mn（1）求角 A 的大小；（2）若 外接圆的半径为 2， ，求边 的长Bbc18、 （本小题满分 12 分）据气象中心观察和预测：发生于沿海 M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度 与时间 的函数图象如图所示，过线段 OC 上一(/)vkmh()t点 作横轴的垂线 ，梯形 OABC 在直线 左侧部分的面积即为 内,0)Ttll()th台风所经过的路程 ()sk（1）当 时，求 的值，并将 随 变化的规律用数学关系式表示出来；
7、4tst（2）若 N 城位于 M 地正南方向，且距 N 地 ，试判断这场台风师父会侵袭到 N 城，如果会，在台风650km发生后多出时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由19、 （本小题满分 12 分）某地一天的温度（单位： ）随时间 （单位：小时）的变化近似满足函数关系：Ct，且早上 8 时的温度为 ， 24sin3cos,024ftt24C(0,)8（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过 时，开启中央空调降温，否则8关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、 （本小题满分 13 分）已知
8、函数 （其中 为常数）22(),(1)fxagxaxa（1）如果函数 和 有相同的极值点，求 的值，并写出函数 的单调区间；yy yfx（2）求方程 在区间 上实数解的个数0fx,321、 （本小题满分 14 分）（）证明：当 时， ；1x12lnx（）若不等式 对任意的正实数 恒成立，求正实数 的取值范围；()attta（）求证： 1920e教学合作 2015 届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1解析：D 依题意；化简集合 ， ，|13Ax或 |2Bx利用集合的运算可得：
9、.故选 D.|2B2解析：C 命题（1） （2）是真命题， （3）是假命题，故选 C3解析：A 是偶函数，其图象关于 轴对称； 是奇函数，其图象关于sinyxycosyx原点对称； 是奇函数，其图象关于原点对称且当 时， ； 为非奇|co| 02xy非偶函数，且当 时， ；当 时， ；故选 A.0xy0xy4解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知 ，而 ，1,01abc12()5a，所以有 ，故选 B.1555 1logl3log2cc5解析：D 化简函数得 ，所以sincsin()6yxx2()sin()3gx易求最大值是 2，周期是 ，由 ，得对称轴方程是23kZ7()1kxZ由 ，故选
10、 D.7()3112kxkxk 6解析：A 由于函数 是可导函数且为单调递减函数， 分别表示函数()log(0)afx,AC在点 处切线的斜率，因为 ， ，故 分别表示函数图象上,1affB()(fafDBD两点 和两点 连线的斜率，由函数图象可知一定(,)(,1)ffa(1,),2ff有 ，四个数中最大的是 ，故选 .ABCD7解析：C 对于， ，或者利用积分的几何意110110()|()2fxdxxdx义（面积）直接可求得 ，而 ，所以是一组“等12 11()+)|g积分”函数；对于， ，而 ，所以不是一()sin0fxx11()cosin0xx组“等积分”函数；对于，由于函数 的图象是以
11、原点为圆心，1 为半径的半圆，故()f，而 ，所以是一组“等积分”函112()fxdxd 111233()|42gxdx数；对于，由于函数 分别是定义在 上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于(),f ,原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分 ，所以是一组“等积11()()0fxdgx分”函数，故选 C8解析：B 由柯西不等式得, ,9)(432()32( 22cbacba即 ,即 的最大值为 3，当且仅当 时等号成立；32cba 2231c所以 对任意实数 恒成立等价于 对任意实1|xm,abcx|xm数 恒成立，又因为 对任意 恒成立，因此有即 ，解x|()|1|x3得 ，
12、故选 B.24m或9解析： B 依题意：画出不等式组 所表示的04xy 平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为 ，由8直线恒过点 ，且原点的坐标恒满足 ，2ykx(0,) 2k当 时， ，此时平面区域 的面积为 ，由于y6 ，67由此可得 .由 可得 ，依题意应有 ，因此 （ ，舍去）240kxy24(,)1kD12|1k1k3故有 ，设 ，故由 ，可化为 ， 所以当直(1,3)(,)Nxy2zOMNxy2xz2线 过点 时，截距 最大，即 取得最小值 ，故选 B2yxzD12710解析：D 依题意： ， ，因为两曲线 ， 有公共点，设为 ，()fxa23()gx()yf
13、x()g0(,)Pxy所以 ，因为 ，220001ln3() 3fgbxxaxa 或 0a所以 ，因此0xa22200153ln3ln(0)bxaxaa构造函数 ，由 ，当 时， 即 单调25()3ln()htt()1l)htt 13te()0ht()t递增；当 时， 即 单调递减，所以 即为实数 的最大值.13te()0t()ht 123max()()theb二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在题中横线上.11解析： 因为向量 与向量 的夹角为 ，所以 在 上的投影为318ab120ba，问题转化为求 ，0|cos12|bb|b因为 2()(2)()2)0
14、|40aab故 31|4b所以 在 上的投影为 .a31812解析： 依题意：偶函数 在 上单调递减，所以 在 上|2xR()fx,0()fx0,)单调递增，直接构造函数 ，问题转化为解不等式 ，解之得： ，()fx21x12所以不等式 的解集为 .1fx|Rx另解：依题意：偶函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，()f,0()fx0,)由于 ，即()fx 1|1|(|)|1|2xfx所以不等式 的解集为 .1()f|2R13解析： 53如图， 点在 上的射影是点 ，它们分别为 的中点，由数量积的几何意义，可得O,ABC,DE,ABC，|2ABD |72ACOAE依题意有 264832A
15、BOxyACBxy，即ED O CBA，432xy同理 ，即248172ACOxBAyCxy 63xy综上，将两式相加可得： ，即6955314解析： (2 分) （3 分） 注意到 和 ，5031m()4fn(125)fm易求得 ；()(240fmf因为 ，所以n()(43)(fnff故有2(2015)(403)4(503)(125)(15)43165fffffm15解析： sin2曲线 即直线的普通方程为 ，又曲线 即圆心为 ，半径为 2 的半圆，其方程为xyC2,0，注意到 ，所以 ，联立方程组得 ，解之得 ，2()4xy(,2)02()40xy2xy故交点 的坐标为 .过交点 且与曲线
16、 相切的直线的普通方程是 ，对应的极坐标方程为P(,)PCy.sin2三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 12 分）解析：（1）因为集合 ，因为|23Ax12a函数 ，由 ，9()4lg=lg12ayx0可得集合 2 分|Bx， 4 分9|4U或故 . 6 分()|3Ax（2）因为 是 的必要条件等价于 是 的充分条件，即qppqAB由 ，而集合 应满足 ，|23AxB2()0xa因为 217()04a故 ， 8 分|Bx依题意就有：， 10 分23a即 或12a所以实数 的取值范围是 . 12 分(-,117 （本小题满分
17、 12 分）解析：（）依题意： ，因为(cosin2,cosin)mnAA |2mn所以 ，化简得：2(cosi)4A，inta1故有 . 6 分4（）依题意，在 中，由正弦定理 ，所以 ，BC24sinaRA2a由余弦定理可得： ，22coab化简得： ，解得： （负值舍去）.12 分240c618 （本小题满分 12 分）解析：（）由图象可知：直线 的方程是： ，直线 的方程是： OA3vtBC270vt当 时， ，所以4t12. 2 分s当 时， ； 3 分01t232stt当 时， 4 分t10()0315tt当 时，20355 分21503(20)(730)750sttt综上可知 随
18、 变化的规律是7 分22,13015(027,35ttstt（） ，,， 8 分2max3106s, 9 分(tmax015460s当 时，令 ，解得 ， （ 舍去）113527t3t40t分即在台风发生后 30 小时后将侵袭到 城. 12 分N19 （本小题满分 12 分）解析：（）依题意2 分()24sin3cos248sin()3ftttt因为早上 时的温度为 ，即 ，8C()f3 分 1si()0)()338kkZ，故取 ， ，,812所求函数解析式为. 5 分()24sin(),(0,43fttt由 ， ，可知 ，si)17)2331412tt即这一天在 时也就是下午 时出现最高温度，最高温度是 .7 分C（）依题意：令 ，可得48sin()81t9 分sin()123t， 或 ，7(,7236t1236t
