1、浙江省嘉兴一中 2015 届高三上学期期中考试数学（文） 满分150分 时间120 分钟 2014 年 11 月一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合 ， ，则 =（ ）A=|2xR， 2B=|yxR， ABA B. C. D.|0|x|02.函数 的值域是（ ）176log21yA B C DR3,33,3.已知 为一条直线, 为两个不同的平面 ,则下列说法正确的是（ ）m,A.若 B.若 则/则 ,m、C.若 D. 若则, 则/4.已知 ，且 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是（ ）:1:(2)60px
2、qxqpmA B. C D. 3535m53或 53或5. 函数 的图象向左平移 个单位得函数 的图象，则函数 的)cossinxfxgxg解析式是 ( ) A B2sixgxg2csC D3cox in6关于 x 的方程 有四个不同的解，则实数 a 的值可能是 ( )0|2axA2 B1 C D 21417.已知 则 （ ）7sin4cos25,tanA. B. C. D. 274728.在 所在平面上有三点 ,满足 ,ABCMNP、ABMCA, ,则 的面积与 的面积比为（）NABCNA. B. C. D. 12134159设双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过 的直线与双曲线)0
3、,(2bayx 21,Fe2F的右支交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ）BA,ABF1 A. B. C. D.1425310.若函数 ，则函数 的零),2),(21(|)(xfxf 1)(xfF点的个数为( )A. 4 B. 5 C. 6 D.7二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。11. 已知函数 =_.211()log,(),()2xfxfafa若 则12.已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 .13.直线 截圆 所得弦长为_.03:yl 4)(:yC14.已知关于 的不等式组 所表示的平面区域的面积为 4，则 的值为.,x
4、,20xay a15.已知 为正数，且直线 与直线 互相垂直，则 的最小值为,mn5)(nx 30nxmy2mn_.16. 记数列 的前 和为 ，若 是公差为 的等差数列，则 为等差数列时, 的值为 nansnadnad17.O 为平行四边形 所在平面上一点， ABCD),(ODCBOA,则 的值是_.)2(OA三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算。18.(本小题 14 分)在 中，角 ,所对的边分别为 ,abc且满足 sincos.AaC（1）求角 C的大小；（2）求 的最大值，并求取得最大值时角 ,B的大小3sinco()4AB19. (本小题
5、14 分)数列 的前 项和为 ，nanS11,2(*).naSN(1) 求数列 的通项公式.n(2) 设 ，求数列 的前 项和 .(21)(*)nbNnbnT20. (本小题 14 分)已知函数 ，其中常数 a 02,0(,2)(xaxf(1) 当 a = 4 时，证明函数 f(x)在 上是减函数；,0(2) 求函数 f(x)的最小值21. (本小题 15 分)已知正方形 的边长为 ， ACBDO将正方形 沿对角线 BD折起，ABCD2AC使 ，得到三棱锥 ，如图所示 ACa(1) 当 时，求证： O平 面 ；2(2) 当二面角 的大小为 时，求 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值150A
6、B C D O 22 (本小题 15 分)设动点 到定点 的距离比到 轴的距离大 记点 的轨迹,Pxy01,02Fy12P为曲线 C(1) 求点 的轨迹方程；(2) 设圆 M 过 ，且圆心 M 在 P 的轨迹上， 是圆 在 轴上截得的弦，当圆心 M 运动时弦1,0ABDy长 是否为定值？说明理由；BD(3) 过 作互相垂直的两直线交曲线 C 于 G、 H、 R、 S，求四边形 面积的最小值,2F GRHS（2）由（1 ）知 ，于是34BA3sinco()3sinco()4s2()6ABA，从而 即 时，10,4623A取最大值 22sin()A综上所求， 的最大值为 2，此时3sico()4B
7、5,12B19. . （1）解： 111122()()()2()3(2),3nnnnnaSaSaa、（2 ） (1)(*)nnbaN（1）123232573.()2()3nnT （2）2n（1 ） -（ 2）得 ，12214(.)()3nnnT.21 13()4)32n nn T20解：(1) 当 时， ， 4a24)(xf任取 00，即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x)在 上是减函数； ,0(2) ， )(xaf 2当且仅当 时等号成立， 当 ，即 时， 的最小值为 ， 20a40a)(xf 2a当 ，即 时， 在 上单调递减， 2a4)(xf2,0所以当 时， 取得最小值为 ， x
8、)(fa综上所述： .42,0)(minaf21. （I）证明：根据题意，在 AOC中， ， ，21AOC所以 22AC，所以 ,因为 BD、 是正方形 的对角线，所以 OBD 因为 ， 所以 平 面 (2)：折叠后在 中， ，A在 中， 所以 是二面角 的平面角，ACC即 150在 中， ，O1过点 作 的垂线交 延长线于点 ，因为 ， ，且 ，HBDCOACO所以 平面 因为 平面 ，所以 BDACAH又 ，且 ，所以 平面 连接 ,HBO是 AB 与平面 BCD 所成角，因为 ，1sin302所以 .12sin4AB22. 【解析】() 由题意知，所求动点 为以 为焦点，直线 为准线的抛物线，,Pxy1,02F1:2lx方程为 .2yx（）因为圆心 M 在抛物线 上，可设圆心 ，半径 ，2yx2(,)aM2(1)ar圆的方程为 ，222()()(1)aax令 ，得 ， ，所以 ，所以弦长 为定值.0,1B0,D|2BD|BD（）设过 F 的直线方程为 ， ， ，1()2ykx1(,)Gxy2(,)Hxy由 得 ，21()ykx2()04由韦达定理得 ， ，122xk1x所以 ，|()()GHy22112()4kxxk同理 .2|RSk所以四边形 的面积 ，22218Tkk即四边形 面积的最小值为 8.GHS
