1、广东省惠州市 2015 届高三 10 月第二次调研考试数学（理）试题本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁考
2、试结束后，将答题卡一并交回参考公式：如果事件 互斥，则AB、 P(A+B)=(P)如果事件 相互独立，则、 (B一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.1设集合 ，集合 ，则 ( )|20Ax2|40BxAA B C D,2. 复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )(1)ziiA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3双曲线 的实轴长是( )28xyA2 B2 C4 D42 24设向量 ， ，则下列结论中正确的是( )(1,0)a1,bA B C D 与 垂直2a/abab5为
3、了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 ，众数为 ，平均值为 ，则( em0x)A Bem0xe0xC D6. 设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面ma内，直线 在平面 内，且 ，则“ ”是“bbab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7已知 , , 满足约束条件 ，若 的最小值为 1，则 ( 0axy13()xya2zxya)A. B. C D1412128. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时
4、再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关yx系用取整函数 ( 表示不大于 的最大整数）可以表示为( )yxxA B C D10310410y510二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9已知 ，则不等式 的解集为 24(0)()xf()fx10曲线 在点 处的切线方程为 :Clnxy(1,0)11 展开式中的常数项为 523x12锐角 中，角 所对的边长分别为 ，若 ，则角 等于 AB, ,ab2sinBbA13在正项等比数列 中， ， ，na512673
5、则满足 的最大正整数 的值为_121na n（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分14 （极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为 ，圆心为 ，点 的极坐标4cosCP为 ，则 _.4,3|CP15 （几何证明选讲）如图所示， 的两条切线 和 相交于点 ，与 相切于OPABPO两点， 是 上的一点，若 ，则 _.（用角度表示）,ABC70C三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本题满分 12 分）设向量 ， ， .3sin,axcos,inbx0,2（1）若 ，求 的值；b（2）设函数 ，
6、求 的最大值()fxa()fx17 （本题满分 12 分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 件产品作40为样本称出它们的重量(单位：克 )，重量的分组区间为， ， ，由此得到490,5,0510,样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过 克的5产品数量；（2）在上述抽取的 件产品中任取 件，设402为重量超过 克的产品数量，求 的分布列；Y5Y（3）从该流水线上任取 件产品，求恰有 件产品的重量超过 克的概率5018 （本题满分 14 分）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，PABCDAB60DAB2， 底面 .1AD（1）证
7、明： ；（2）若 ，求二面角 的余弦PC 值19 （本题满分 分）14设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， .nanS1a2123nSan*N（1）求数列 的通项公式；（2）证明：对一切正整数 ，有 .1274naa20 (本题满分 14 分)如图，已知椭圆 ： ，其左右焦点为 及 ，过点 的直C2xyab1,0F21,1F线交椭圆 于 两点，线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于,ABGABxy两点，且 、 、 构成等差数列.,DE1F22A（1 ） 求椭圆 的方程；C（2 ）记 的面积为 ， （ 为原点）的面积1G1SOED为 试问：是否存在直线 ，使得 ？说明2SAB12S理由
8、21.（本题满分 分）14已知 ，函数 .（ 的图像连续不断）0a2()lnfxa()fx（1）求 的单调区间；()f（2）当 时，证明：存在 ，使 ；80,03()2ff（3）若存在均属于区间 的 ，且 ，使 ，1,31()证明 .ln25lna xOAB1FDGE2惠州市 2015 届高三第二次调研考试 理科数学答案与评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C D D A B B1【解析】本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握由 ，解240x得 ，所以 ，又 ，所以 ，故选 A.2x2,2A2【
9、解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义， 复数(1)iziz 在复平面上对应的点的坐标为 ，位于第二象限1,3【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。双曲线方程可变形为 ，248xy所以 .24,aa4【解析】 ；22110,()b； ，故 垂直ab210abab与5【解析】由图可知，30 名学生的得分情况依次为：2 个人得 3 分，3 个人得 4 分，10 个人得 5 分，6 个人得 6 分，3 个人得 7 分，2 个人得 8 分，2 个人得 9 分，2 个人得 10分中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数，即 5.5,5 出现的次数最多，em故 5， 5.97
10、0m241056310x于是得 .e6【解析】若 ，又 ，根据两个平面垂直的性质定理可得,mb，又因为 ，所以 ；反过，当 时，因为 ，一定有 ，ba/ambba但不能保证 ，即不能推出 .7【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题由已知约束条件，作出可行域如图中ABC 内部及边界部分，由目标函数 的几何意义为直线 l： 在 轴2zxy2yxzy上的截距，知当直线 l 过可行域内的点 时，目标(1,)Ba函数 的最小值为 1，则 。2zxy28【解析】当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以 10 再用这个余数与 3 相加，若和大于等于 10 就增选一名
11、代表，将二者合并便得到推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系，用取整函数( 表示不大于 的最大整数）可以表示为 yxx310y二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分9 10 11 12 13(5,0),)10xy461214 1555239【解析】本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论及化归能力及运算能力由 ，可得 或 ，()fx240x240x解得 ，所以原不等式的解集为 5或
12、 (5,0),)10【解析】本题考查导数的几何意义。考查考生的求导运算及求直线方程的能力。由 ，则 .所以 ，即切线 L 的斜率为 1。又切线 L 过ln()xf 21ln()xf(1)f点(1,0) ，所以切线 L 的方程为 . 一般方程为 .y0xy11【解析】本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力，令 ，得 ，52 105132rrrr rrTCxCx r2故常数项为 .20354x12 【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力由正弦定理得， 可化为 ，2sinaBb2sinsiAB又 ，所以 ，又 为锐角三角形，得 .sin0
13、B1sinAC613【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力设等比数列 的公比为 由 可得na(0)q5671,3,2a21()3,q即 所以 ，所以 ，数列 的前 项和 ，260,q2nn5nS所以 ，由 可得(1)121nnaa 1212naaa ，由 ，可求得 的最大值为 12，而当 时，(1)522nn(1)52nn13n不成立，所以 的最大值为 12.8314【解析】由 可得圆的直角坐标方程为 ，圆心 点4cos2()4xy(2,0)C的直角坐标为 ，所以 .P(2,)3CP15【解析】如图所示，连接 ，则 .OAB,AOB故 ， .10AB152三、解答题：本
14、大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本题满分 12 分）解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质(1)由 ， . （ 1 分）222(3sin)(i)sinaxx， .（2 分）co1b及 ，得 .a2sin4x又 ，从而 ， .（4 分）0,x1i所以 .（6 分）6（2） 231()3sincosisincos2fxabxxx， .（9 分）1si2)6当 时，0,x5,6x所以当 时， 取得最大值 1 .（11 分）2,63即 sin(2)x所以 的最大值为 . .（12 分）()fx217 （本题满分 12 分）解：(
15、1)根据频率分布直方图可知，重量超过 505 克的产品数量为(件) .（2 分）(0.15)4012(2) 的可能取值为 0,1,2. .（3 分）Y.（4 分）284063()1CPY.（5 分）28405.（6 分）1240()3PYCY 的分布 列为.（7 分）(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3.（8 分）令 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量，则 ， .（10 分）(,0.3)B故所求概率为 .（12 分）235(0.).70.8PC18 （本题满分 14 分）解：（1）证明：因为 ， ，60DAB2AD由余弦定理得 . .（2
16、 分）3从而 ，故 . .（3 分）22面 面 ， .（4 分）P,CPB又 AD所以 平面 . .（5 分）B故 . .（6 分）（2）如图，以 D 为坐标原点，射线 DA，DB，DP 分别为 x,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则 (1,0)(,30),(1)(01)ACP， .（8 分）(,3)ABPB,B设平面 PAB 的法向量为 ，(,)nxyz则 0n即 30xyz0 1 2P 63130 56130 11130因此可取 .（10 分）(3,1)n设平面 PBC 的法向量为 ，则m0PBC可取 .（12 分）(0,13)则 427cos,n故钝二面角 APB C
17、的余弦值为 . .（14 分）277注：第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得 4 分，求出二面角的平面角的余弦值得 4 分。其它方法酌情给分。19 （本题满分 分）1解：本题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力（1 ） （解法一） 依题意， 又 ，所以 （2 分）12,3Sa1Sa24当 ，321nn时 ，3212()()(1)()nnSan两式相减得 32 321()()()()(1)n na整理得 ，即 ， （6 分）1)na
18、1a又 ，故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，21an所以 所以 （8 分）(),n2na（解法二） 2123nSan， 1a，得 9432a， ， .（2 分）猜想6)12(nSn.（3 分） 下面用数学归纳法证明：（1）当 时，猜想成立； （2）假设当 nk时，猜想也成立，即1(2)6kkS.（4 分）当 1时， 213kkSa=21()63kk(1)(2)3 2()1（ ） （ ），. （5 分）11kkSa 22(2)(1)76)(1)2(3)6 6kkk（ ）1nk 时，猜想也成立 .（6 分）由（1） ， （2）知，对于 nN，猜想成立。21naS当 ，当 ，也满足此式，故2na.（8 分）1（2）证明：当 ； （9 分）174时 ，当 ； （10 分）125na时 ，当 ， （12 分）13()nn时 ，此时 2221234naan 1117()()()4344n
