1、湖北省潜江中学 2015 届高三上学期元月质检理科数学试题第卷（选择题，共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1.设复数 满足 ，则 =( )zi21zA. B. C. D.i2ii2i22.设集合 P x| ，则集合 P 的非空子集个数是 ( )02 063xdtt,)(A.2 B.3 C.7 D.83.下列结论正确的是( )A.若向量 ，则存在唯一的实数 使得/ababB.已知向量 为非零向量，则“ 的夹角为钝角”的充要条件是“ 0”, ,b,abC.命题：若 ，则 或 的逆否命题为：若 且 ，则12x1x1x21xD.若命题 ，则0P,R: 02x
2、P，R:4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A. B. 369C. D. 298275.等比数列 的前 n 项和为 , ，则 =（ anS27),.(431n2312 aa6a）A.27 B.81 C.243 D.7296.设函数 )2,0)(si3)( xf 的图像关于直线 3x对称,它的周期是 ，则（ ）A. )(xf的图象过点 )21,0( B. 的一个对称中心是 ,5 C. )(xf在 3,1上是减函数D.将 的图象向右平移 |个单位得到函数 xysin3的图象7已知函数若 x，y 满足约束条件 目标函数 zax2
3、y 仅在点(1，0)处取得最1,2,x小值，则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D.(4,2)4,1)(,4)(2,)(,4)(1,)8如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF= ，2则下列结论中错误的个数是 ( )(1) ACBE ；(2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为 ；2(3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值；(4) 在空间与 DD1，AC，B 1C1都相交的直线有无数条；(5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40并且与平面 BEF 所成角为 50的直线有 2 条.
4、A.0 B.1 C.2 D.39.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦)0(:1211bayaxC )0,(1: 222babyaxC点 F1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若 PF1 PF2，则 的最小值为( ) 4eA. B.4 C. D.925 2910已知 ， ，对任意的 c1,存在实数 满足1ln)(xf *)()Nkxgba,，使得 ，则 k 的最大值为（ ）cba0(bafA.2 B.3 C.4 D.5第 卷（非选择题，共 100 分）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11.平面向量 与 的夹角为 60， =(2
5、,0)，| |=1，则 | +2 | .abaaab12.已知 tan ，sin() ，且 ，(0，)，则 sin 的值为 .43 51313.设正数 满足 ，则 .c, cb69c3214.已知两个正数 ，可按规则 扩充为一个新数 c，在 三个数中取两aba,ab个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作若 ，经过 6 次操作后扩充所得的数为 （m， n 为正整数）0pq(1)nqp，则 的值为 nm(15，16 为选做题，二选一即可)15. 如右图，圆O的直径AB =8，C为圆周上一点，BC =4，过C作圆的切线 l，过A作直线 l的垂线 AD，
6、D为垂足， AD与圆O 交于点E，则线段AE的长为 16.直线 l 的参数方程是 （其中 t 为参数），圆 c 的极坐标方程为24tytx，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .)4cos(2三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）17.(12 分)在ABC 中，角 A、 B、 C 对应边分别是 a、 b、 c，c=2,.222sinisinisnA（1）若 ，求ABC 面积；()2C（2）求 边上的中线长的取值范围.B18.(12 分)已知数列 的前 项和为 ，常数 ，且 对一切正整数nanS01nnaSn都成立.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， ，当 为何值时，数列 的
7、前 项和最大？10lgn19.(12 分)已知 x0，1，函数 .axxxxf 4321l 22 ，（1）求函数 f（ x）的单调区间和值域；（2）设 a -1，若 ，总存在 ，使得 g（x 0）=f （x 1）成立，求 a 的取10，0，值范围.20.(12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD /BC，ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2，BC = AD=1，CD = 123（1）求证：平面 PQB平面 PAD； （2）若二面角 M-BQ-C 为 30，设 =t ，试确定 t 的值.21.(
8、13 分)如图，已知点 和圆 AB 是圆 O 的直经，从左到右2,0A2:4,OxyM、 O 和 N 依次是 AB 的四等分点， P(异于 A、B)是圆 O 上的动点， 交 AB 于,PDABD， ，直线 PA 与 BE 交于 C，|CM|+|CN| 为定值.PE（1）求 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程；（2）一直线 L 过定点 S（4,0）与点 C 的轨迹相交于 Q，R 两点，点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q1，连接 Q1 与 R 两点连线交 x 轴于 T 点，试问TRQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由22.(14 分)已知函数 f(x)=ax+
9、+(1-2a)(a0)1（1）若 f(x)x 在1，)上恒成立，求 a 的取值范围；（2）证明：1+ + + （n +1）+ （n1） ；12321（3）已知 S= ，求 S 的整数部分.（ ，104 l2047.69）ln0157.68参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C C C B A A C B11. 12. 13. 14. 15. 4 16. 365126217. 解：由题意知 221cos3aba由 sinC+sin(B-A)=2sin(2A) = sinBcosA=2sinAcosA（1）若 cosA=0 23ABCS（2）若 cosA0 b=2a
10、 （6 分） 2CABDur2222cos3| 441cos| 14| 3|(1,ababCababDC Q故又故故（12 分）18. 解：（1）令 n=1，得 ，121aSa0)2(1若 ）（，时 ， 当则 1nan0-nnn SSa若 ，时， 当， 则 21a-1-nS两式相减得 从而数列 为等比数列）（，a2-a1-nn1na所以 -1n综上：当 ，当 （6 分）0an1时 ， n12a时 ，（2）当 ） 知， 由 （时 ， 令， 1algb10an1 2nlg-10lbn所以数列 是单调递减的等差数列（公差为-lg2）nb所以 01lg64l210lg621 当 01lg2lb777n
11、时所以数列 的前 6 项和最大。 （12 分）na1lg19. 解：（） f（ x）=2 x- ，21令 f（ x）=0，解得： ， x=-1（舍去） 2 分21列表：x 0 （0， ）21（ ，1）21f （x） - 0 +f（x ） ln2 4 1-ln 23可知 f（ x）的单调减区间是（ 0， ） ，增区间是（ ，1） ；4 分21因为 1-ln =ln2-（ln3-1）ln2，4123所以当 x 0，1时， f（ x）的值域为 ，ln26 分41（） g（ x）=3（ x2-a2）因为 a-1，x 0，1所以 g（x）0，8 分g（ x）为0，1上的减函数， g（1） g（x） g（
12、0） ，所以 g（ x） 1-4a-3a2，-4 a10 分因为当 x 0，1时， f（ x）的值域为 ，ln24由题意知： ，ln2 1-4a-3a2，-4 a41所以 ， ，2ln3a又 a-1，得 a- 。12 分PABCDQMNx yz20. 解：（） AD / BC， BC= AD， Q 为 AD 的中点，12四边形 BCDQ 为平行四边形， CD / BQ ADC=90 AQB=90 即 QB AD又平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCD=AD， BQ平面 PAD BQ 平面 PQB，平面 PQB平面 PAD 6 分另证： AD / BC， BC= AD， Q 为
13、 AD 的中点， 12 四边形 BCDQ 为平行四边形， CD / BQ ADC=90 AQB=90 PA=PD， PQ AD PQ BQ=Q， AD平面 PBQ AD 平面 PAD，平面 PQB平面 PAD6 分（） PA=PD， Q 为 AD 的中点， PQ AD平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， PQ平面 ABCD 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系则平面 BQC 的法向量为 ；(0,1)n， ， ，(0,)(,3)PB1,3C设 ，则 ，,Mxyz(,3)xyz，(3) ，PtC ， 9 分(1)3xtyztz） 131txytz在平面 MBQ 中，
14、， ，(0,3)QB3(,)1tMt 平面 MBQ 法向量为 ,mt二面角 M-BQ-C 为 30， ，23cos3030nmt 12 分3t21、解：(1)易得 ， ， ，设 则2,0B1,M,0N0,PxyC0,1yEx直线 PA 与 BE 交于 C，故 ， 2x0,2yx且 ， 2 分012yx相乘得 又因为点 P(异于 A，B)是圆 O 上的动点，故202,4yx21,yx即 ， 要使 为定值，则 解得 此时241CMN41,322,3xyx即 时，点 C 的轨迹曲线 E 的方程为 6 分1 212.43xyx（2）联立 消 得2413xmyx2(3)60ym，即 （8 分）222(4
15、)6(4)(4)24设 Q( ） ， ，则1,xy2,Ry1,Qxy由韦达定理有1224,(1)36,my直线 的方程为RQ211()yxy令 ，得0=y12121212124(4)4()xmmyyy将（1） ， （2）代人上式得 ，（10 分）=又 2121123|()4TRQSyy= 2236m= 24183=18 2()16m=18 223434当 时取得。（13 分）328=m、22.(14 分)已知函数 f(x)=ax+ +(1-2a)(a0)1（1）若 f(x)x 在1，)上恒成立，求 a 的取值范围；（2）证明：1+ + + （n +1）+ （n1） ；12321（3）已知 S=
16、 ，求 S 的整数部分.（ ，104 l2047.69）ln20157.68422、解: ()令1()ln2ln,1,agxfxx则,)()(1)(,0)1( 222 xaxxag （i）当.,时若 是减函数，所以)(,0)(,1xgax则 ,0)1(gx即 上不恒成立.,1ln,ln)(在故 ff（ii）当.,21a时若 是增函数，所以)(,0)(,xgx则 ,0)1(gx即 时，1lnf故 当 .ln)(f综上所述，所求 a 的取值范围为 （4 分）.,21（II）由（I）可知：当 时，有)1(ln)(xf令 有 且当,21a1ln)()xxf xln2（时 ，令 ， )1()(21kln, kkkx有即 n,.3),(l)1l(将上述 n 个不等式依次相加得 )1(2)21(l( n整理得（ 9 分）.)1(2)ln(1321
