1、甘肃省张掖市 2015 届高三第一次（12 月）诊断联考(文科)数学试卷 （含析版）第 I 卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 ，集合 ，则 （ ）|20Ax2|40BxABA B C D ,2i 是虚数单位， =（ ）A.1+2i B. 12i C.12i D.1+2i3等差数列 中， ， ，则 的值为（ ） na2349a61aA14 B18 C 21 D274为了得到函数 )cos(xy的图象，只需将函数 xy2cos的图象上所有的点（ ）A. 向左平移 21个单位长度
2、B. 向右平移 1个单位长度C. 向左平移 1 个单位长度 D. 向右平移 1 个单位长度5一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 344246设 m、 n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ， 且 ，则 m n B ， 且 ，则 C ，n ， 则 D ， ， ， ，则 7已知 是 内的一点，且 ， ，若 ，MABC23BA30MBC， 的面积分别为 ，则 的最小值为（ ）Axy1,4A. B. C. D.2081698函数 的大致图像是（ ）cosyx9口袋内装有一些大小相同的红球
3、、白球和黒球，从中摸出 1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）A. B. C. 0.3 D. 0.7 10某程序框图如图所示，则输出的 n 值是( )A21 B22 C23 D2411已知二次曲线 =1，则当 时，该曲线的离心率 的取值范围是 （ 24xym1,2e）A BC D3,26,56,236,212给出定义：若 （其中 m 为整数） ，则 m 叫做离实数 x 最近的整数，12x记作x，即 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题：.m()fx ； ； ； 的定义域是 R，()2f(34)0.f 1()4f()yf值域是 . 则其中真命题
4、的序号是 （ ）1,A B C D第 II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置.13已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是 21log()yxa2,a_ _14过抛物线 的焦点作一条直线交抛物线于 两点，若线段 的中点 的42 BA,ABM横坐标为 ，则 等于 .|AB15设 为单位向量，若 为平面内的某个向量，则 | | ；若 与 平行，则0aaa00a| | ； 若 与 平行且 | |1，则 .上述命题中，假命题个数是0 0_16已知函数 ，则函数 的零点个24,ln3xf gx yfxg数为_三、
5、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本大题 12 分）已知数列 与 ，若 且对任意正整数 满足 数列 的前nab1an12,nanb项和 2S（I）求数列 的通项公式；,（II）求数列 的前 项和1nb.nT18 （本大题 12 分）在长方体 中， ，过 、 、 三点的平面截去长方体ABCD2ABC1AB的一个角后，得到如图所示的几何体 ，且这个几何体的体积为 D10（I）求棱 的长；1（II）若 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的余弦值. 1O1119 （本大题 12 分）某小组共有 、 、 、 、 五位同学，他们的身高（单位: 米）以及体
6、重指ABCDE标（单位：千克/米 2）如下表所示： CDE身高 1.691.731.751.791.82体重指标 582309（I）从该小组身高低于 的同学中任选 人，求选到的 人身高都在 以下的802概率；（II）从该小组同学中任选 人，求选到的 人的身高都在 以上且体重指标都在2.0中的概率18.5,23920（本大题 12 分）已知椭圆： ，离心率为 ，焦点 过 1F的210yxab212,Fc直线交椭圆于 两点，且 的周长为 4.,MNNF2(I) 求椭圆方程;(II) 与 y 轴不重合的直线 与 y 轴交于点 P(0,m)(m 0),与椭圆 C 交于相异两点 A,B 且l .若 ,求
7、 m 的取值范围。APB4OP21 （本大题 12 分）已知函数 ，曲线 经过点 ，2xfeabxyfx0,1P且在点 处的切线为 .P:41ly（I）求 、 的值；ab（II）若存在实数 ，使得 时， 恒成立，求 的k-，2fkk取值范围.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22 （本小题满分 10 分）如图，AB 是O 的直径，C，F 为O 上的点，CA 是BAF 的角平分线，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于 D 点，CMAB，垂足为点 M.（I）求证：DC 是O 的切线；（II）求
8、证：AMMB= DFDA.23. （本小题满分 10 分）选修 4-4 参数方程和极坐标极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极xoyOx轴.已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程为l123tC.2sin8cos（I）求 的直角坐标方程；C（II）设直线 与曲线 交于 两点，求弦长 .l,AB|AB24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()1.fxxa（I）若 a，解不等式 ()3f；（II）如果 ,2R，求 的取值范围答案1 A【解析】试题分析：方程 解得 ，则 ，240x2x2402,Bx， .|,A考点：集合的
9、运算.2D【解析】试题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可解： ，故选 D3A【解析】试题分析：等差数列 ， ， ， ，na2349a2291add，12ad， 647164考点：等差数列的通项公式4A【解析】试题分析： ，所以应该向左平移 21个单位长度，选 A.1cos(2)cs()2yxx考点：函数图象的变换.5B【解析】试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半， （沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为 2，底面圆的半径为 1，故其表面积为故选：B.21234S考点：由三视图求面积、体积6B【解析】试题分析：对于 ，直线 可能平行、相交、异面，不对；对于 ，由面面垂直性
10、质得Anm, B正确；对于没有 内，不对；对于 ，没有说明 是两条相交直线，不对，故答Dnm,案为 B.考点：空间中直线与直线、平面与平面的位置关系.7B【解析】： cos23ACA4BC，1in12BSxy= ，当且仅当 时等号成立xy4455218xy 4yx取最值考点：向量数量积及均值不等式8B解析：因为 ，所以函数 在 上单调递增，故可排除 C 选项；1sin0yxcosyxR又因为 时， ，故可排除 A 选项；当 时，0xco1(,)2x，故此时函数 的图像在直线 的上方，故 D 错误，Bcoy正确考点：函数的图像9 C 解析： 1(0.428)0.310. C【解析】试题分析：程序
11、在执行过程中 的值依次为： ； ；,np2,1np5,1np； ，程序结束，输出 ,3np,793考点：程序框图11C【解析】试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且 ，所以 ，因为mba2,4c42，所以 ，所以选 C1,2m6,254mace考点：双曲线性 质 的 应 用 12B解析：因为 故命题 1 正确11()22f1()23.43.40.1110-(),()2 4,(,21(),4命 题 错 误同 理 可 得命 题 正 确令 命 题 错 误fffxmaf二、填空题13 4a14 6解析：设 ，又抛物线的准线方程为 ，焦点 ，则根据抛物12(,)(,)AxyB1x(,0)F线的定义可
12、知 ,所以12|1Fx.| 6m考点：1.抛物线的定义；2.直线与抛物线的位置关系.153解析:向量是既有大小又有方向的量， a 与| a|a0 模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a| a0，故、也是假命题，填 316 .3解析：函数 与 的图象，如图：()fxg由图可以看出，函数 ()fxg的零点有 个.y3考点：分段函数，函数的零点，函数的图象.三 、 解 答 题171 （1） ， ；（2）12na,14nbn 32016nTn【解析】试题分析：（1）给出 与 的关系，求 ，常用思路：一是利用nS
13、aa转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，1Snn nS先求出 与 的关系，再求 ；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的 （3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减试题解析：解：（1）由题意知数列 是公差为 2 的等差数列 又因为 所以na1a2na当 时， ； 14bS当 时， 221112nn n对 不成立1=4所以，数列
14、的通项公式: nb,()n2nb（2） 时，120T时，n11()()323nbnn所以 1612057920520(3)nn 仍然适合上式综上， 61120(3)nnT考点：1、求数列的通项公式；2、裂项法求数列的和18 （1）3（2） 1【解析】本题主要考查了点，线和面间的距离计算解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。（1）因为）设 ，由题设 ，可知棱长。1Ah1110ABCDABCDBACVV（2）因为在长方体中 / ，1所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）1OBCO1那么借助于三角形求解得到结论。解：（1）设 ，由题设 ，h1110ABCDABCDBAC得 ，即 ，解得
15、 103ABCDABCSS223hh3h故 的长为 6 分1（2）因为在长方体中 / ，1所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角） 8 分1OO1在 中，计算可得 ，则 的余弦值为 。12 分BC1BC1OBC1193 （1）选到的 人身高都在 以下的概率为 ；2.782（2）选到的 人的身高都在 以上且体重指标都在 中的概率为 .08.539310【解析】试题分析：（1）先确定身高低于 的只有 、 、 、 四人，然后利用列1.ABD举法将所有可能的基本事件以及问题中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率计算公式来计算出问题中事件的概率；（2）先将身高都在 以上且体重指标都在1.7
16、0的同学为 、 、 三人，然后利用列举法将所有可能的基本事件以及问题8.5,39CDE中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率计算公式来计算出问题中事件的概率；试题解析：（1）从身高低于 180 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B) ，(A ， C)，(A，D)， (B，C)，(B，D) ，(C，D)，共 6 个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 4 分选到的 2 人身高都在 178 以下的事件有：(A，B)，(A ， C)，(B，C)，共 3 个因此选到的 2 人身高都在 178 以下的概率为 6 分132P（2）从该小组同学中
17、任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A ，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D) ，(C，E) ，(D，E)，共 10 个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 10 分选到的 2 人身高都在 170 以上且体重指标都在185，239) 中的事件有：(C，D) ，(C，E)，(D，E)，共 3 个因此选到的 2 人的身高都在 170 以上且体重指标都在185，239) 中的概率为 12 分30P考点：1.列举法；2.古典概型20() ;()21yx1(,)(,2m【解析】试题分析：（1）设 C： （A b0）
18、 ，由条件知 A-C= , 由此能导12xay 2ac出 C 的方程()由题意可知 =3 或 O 点与 P 点重合当 O 点与 P 点重合时，m=0 当=3 时，直线 l 与 y 轴相交，设 l 与椭圆 C 交点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，得 再由根的判别式和韦达定理进行求解12xmky ,)()(22mkx试题解析：（1）设 C： （ b0） ，设 C0， ，由条件知12aa22bac4 =4， ，a=1，b=C= ,故 C 的方程为： ; 4 分a2c 1yx()设 ：y=kx+m 与椭圆 C 的交点为 A( ， )，B( ， )。将 y=kx+m 代入l 1x22
19、1yx得 ,所以 ,220kkmx4(0km.6 分11,因为 ， ，所以 ,APBOP3AB所以 , . 8 分2121,3xx消去 得 ,所以 ,.9 分23()40221()4()0k即 ,当 时, .10 分24kmk21m2mk所以 , 由得 ,解得 12 分1242k(1,)(,2考点：1、直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ；2、向 量 在 几 何 中 的 应 用 21 （1） ， ；（2 ） .ab,13e【解析】试题分析：（1）利用条件“曲线 经过点 ，且在点 处的切线为yfx0,1P”得到:4lyx以及 ，从而列出方程组求解 、 的值；（2）利用参数分离法将问题
20、0f04f ab等价转化为在区间 上恒成立，并构造新函数 ，转化为12xek2,11xeg，maxg利用导数求出函数 在区间 的最大值，从而可以求出实数 的取值范围.g, k（1） ，2febx依题意， ，即 ，解得 ；041f4a1ba（2）由 ，得： ，2xkx2xekx时，2,1x-0x即 恒成立，当且仅当 ， fk12xekx12xek设 ， ， ，21xeg2,23()1eg由 得 （舍去） ， ，0 3x当 ， ；当 ， ，3,2x0g,20gx在区间 上的最大值为 ， 1xeg,13214e所以常数 的取值范围为 .k,423e考点：1.导数的几何意义；2.不等式恒成立22解析：
21、选修 41：几何证明选讲解：（I）连结 OC，OAC=OCA，又 CA 是BAF 的角平分线，OAC=FAC，FAC=ACO，OCAD.3 分CDAF，CDOC，即 DC 是 O 的切线.5 分（）连结 BC，在 RtACB 中，CMAB，CM 2=AMMB.又DC 是 O 的切线，DC 2=DFDA.易知AMCADC，DC=CM，AMMB=DFDA10 分23 选修 4-4：参数方程和极坐标。() ；（） .28yx3|AB【解析】本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.试题解析：（）由 ，得 ，即曲线 的直角坐标方2sin8cos2sin8cosC程为 5 分28yx（）将直线 l 的方程代入 ，并整理得， ， ，2yx231640t1263t所以 10 分12643t12122|()4ABtt考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.24解：（）当 a时， .fxx由 ()fx得 3.当 1时，不等式可化为 1,23即 ，其解集为 3(,.2当 时，不等式化为 x，不可能成立，其解集为 ；
