1、湖南省宁远、江华两县 2015 届高三第一次联考理科数学试卷时 量： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题（本题共 10小题,每小题 5分,共 50分）1已知集合 （ ）BAxBA则02320A B. C. D. ,3,3,22条件 ，条件 ，则 是 的（ ）xp|:xq:pqA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件3函数 的定义域是 （ ）)12(log3xyA B C D1,1(,21,24定积分 的值为（ ）20)(dxexA. B. C. D. 2 12e2e5.已知 表示两条不同直线， 表示平面。下列说法正确的是（ ）nm, A.若 B. 若 nm，
2、则 /,n，m则C. 若 D. 若/,/则 /则6.为了得到函数 的图象，可将函数 的图象（ xy3cossi xy3si2）A.向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 44C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位12127 ， ， ，若 取最小值时， 的值是（ ),3(xa)3,(xb4ba ba,）A B C D463658实 数 满 足 不 等 式 组 ， 且 的 最 大 值 为 9， 则 （ yx,02myxyxzm） A. B. C. D. 343934329某海上有 A， B两个小岛相距 10海里，从 A岛望 C岛和 B岛成 60角，从B岛望 C岛和 A岛成 75角，则 B
3、， C两岛之间的距离是（ ）A 海里 B. 海里 C 海里 D 海里3103610256510. 已知定义在实数集 R上的函数 满足 =2，且 的导数 在 R)(xf)1(f)(xf)(xf上恒有 ，则不等式 的解集为（ ） )(xf)A B C D ,11,(,1,二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）11命题“ ”的否定是 。0,2xR12复数 则复数 在复平面内对应的点位于 象限。,321izi21z13如图，在透明材料制成的长方体容器 1DCBA内灌注一些水，固定容器底面一边 于桌面上，再将容器倾斜，根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面
4、四边形 的面积不会改变；EFGH（3）棱 始终与水面 平行；1DA（4）当容器倾斜如图所示时， 是定值。BFE其中所有正确命题的序号是 。14在 中，不等式 成立；在凸四边形 中不等式BC19AC+ ABCD成立；在凸五边形 中，不等式1162AD+ BDE成立；，依此类推，在凸 n边形 中，不等式53BCE n21。n11215定义在 上的函数 满足：(1) ；(2)当 时，,)(xf )(2(xff42x，则集合 中的最小元素是 。31)(xf )34S三、解答题（本大题 6小题，共 75分）16 （本小题满分 12分）在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ，且cba,。2cossin5
5、C（1）求角 C的大小；ABCDA1B1C1D1EFGH（2）若 ，求边 的长。2,341tancbBAa17. （本小题满分 12分）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边PABCDAB形， ， ， ， 底面 .60DAB21（1）证明： ；P（2）若 ，求二面角 的余弦值。18 （本小题满分 12分）已知数列 , 是其前 项的和，且满足 ，对naSn21a一切 都有 ，设 。*Nn231Sn ab（1）求证： 是等比数列；b（2）求使 成立的最小正整数 。 814021n n19 （ 本 小 题 满 分 13分 ） 某 分 公 司 经 销 某 种 品 牌 产 品 ， 每 件 产 品 的 成 本
6、 为 30元 ， 并且 每 件 产 品 需 向 总 公 司 缴 纳 ( 为 常 数 , )元 的 管 理 费 ,根 据 多 年 的 统a52a计 经 验 ,预 计 当 每 件 产 品 的 售 价 为 元 时 ,产 品 一 年 的 销 售 量 为 ( 为 自 然 对xxek数 的 底 数 )万 件 .已 知 每 件 产 品 的 售 价 为 40元 时 ,该 产 品 一 年 的 销 售 量 为 500万件 .经 物 价 部 门 核 定 ,每 件 产 品 的 售 价 最 低 不 低 于 35元 ,最 高 不 超 过 41元 。(1)求分公司经营该产品一年的利润 (万元)与每件产品的售价 元的函数L关
7、系式；(2)当每件产品的售价为多少时，该公司一年的利润 最大？并求出)(xL的最大值。)(xL20 （本小题满分 13分）焦点在 轴的椭圆 ，过 右x21:(34)4xyCaa1C顶点 的直线 与曲线 相切，且2(0)Aa， :()0lykxa22:4akCyx交 于 二点1CE、（1）若 的离心率为 ，求 的方程1531C（2）求 取得最小值时 的方程2|A221、 （ 本 小 题 满 分 13分 ） 已 知 ， 函 数 .（ 的 图 像 连 续 不 断 ）0a2()lnfxa()fx（1）求 的单调区间；()fx（2）当 时，是否存在 ，使 成立？8a02,03()ff（3）若存在均属于区
8、间 的 ，且 ，使 ，1,31()f证明： ln2ln5a2014 年 11 月宁远、江华高三联考试卷数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：BACCA CCCDA二、填空题：11、 12、二 13、 （1） （3） （4） 0,2xR14、 15、6)(n三、解答题：16、解：（1）由 得： 3C5sico2032sin5si2C分， 所以 6 分0C21sin3C（2） bcBA4sicon由 题 得9 分sin4nco3i 413si,A由 得 12 分AaCsini 3917、解：（1）证明：因为 ， ，由余弦定理得60DB2AD.3BDA从而 ，故 . 22面 面 ， P,ABCA
9、BPB又 所以 平面 DD故 . 6 分（2）如图，以 D 为坐标原点，射线 DA，DB，DP 分别为 x,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz 则(1,0)(,30),(13,0)(,1)ABCP， ,P8 分()C设平面 PAB 的一个法向量为 ，(,)nxyz则 即 0nABP30xyz因此可取 (,1)设平面 PBC 的一个法向量为 ，则 可取 m0PBC(0,13)m则 427cos,mn故二面角 APB C 的余弦值为 . 12 分277第二问若使用几何法找到并证明二面角的平面角得 4 分，求出二面角的平面角的余弦值得 4 分。其它方法酌情给分。18、解：（1）证明：由 得
10、 231nSn 2)1(3nSn两式作差得 3 分a可得 )(1ann数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，且 1nna可知 是等比数列 6 分11,3nnbnb（2）因为 故原不等式可化为 1)(n 814031)(n48)31(n故使得原不等式成立的最小正整数为 5. 12分19、解：（1）设产品的销售量为 万件.则 ，将 ， 代入，yxek405y得 ，所以 .405ekxe405故 6分yaxL)3()xa40)3( )135(（2） 40x 40xaex当 时， ，当且仅当)(L )1(540xe时取等号，故 在 上单调递减，所以35,4xa L1,35m0)()(aL当 时
11、，令 ;)(xax35令 ,所以 在 上单调递增, )(x413)(L)31,在 上单调递减.因此 . 12分41,a ae9max50答：当 时，每件产品的售价为 35元时，该产品一年的利润2最大，最大为 万元；当 时，每件产品的售价为)(xL5)(0e4元，该产品一年的利润 最大，最大为 万元。 13a31(xLae950分20、解：（1）由 的离心率 得 1C2453ae29a4 分21:94xy（2） 与 方程联立消 得l22304akx由 与 相切知 ， 由 知 6 分Ck3ka与 方程联立消 得 l1y23242() 0ax设点 交 于 二点， 、 是的二根()Ex， l1C2AE
12、、 Ex，故 8 分324ak284Exak222 246|()(1)(19)EEEaAyx10 分4296()a令 ，则 21t，229|64()tAE令 ，29()()4)tft则 在 上恒成立2231847() 0()ttf 916t，故 在 上 单 调 递 减 ，ft96，故 即 ， 时 取 得 最 小 值 ，14a12k()ft则 取得最小值，此时 . 13 分 2|AE2:1Cyx21、解：（1）2(),(0).fx令 ，解得 2 分0f.a当 变化时， 的变化情况如下表：x(),fx20,a2(,)a()fx 0 递增 极大值 递减所 以 ， 的 单 调 递 增 区 间 是 ， 单 调 递 减 区 间 是 4 分()fx2(0,)a2(,)a（2）当 时， ，由(1)知18a21()ln8fx在 内单调递增，在 内单调递()fx0, (,)减令 3()2gf由于 在 内单调递增，故 ，()fx, 3(2)f即 .取 ，则 .20g32e4190egx所以存在 ，使 ，(,)x0()即存在 ，使 02,32fxf(说明： 的取法不唯一，只要满足 ，且 即可) 9 分x(0gx（3）证明：由 及(1) 的结论知 ，从而 在()ff2a()fx上的最小值为 ，又由 ， ， 知,1,3123故 即 ()(1)ffln24l9a从而 13 分ln32l53a
