1、湖北省宜昌市 2015 届高三年级元月调研考试理科数学试题本试题卷共 4 页，共 22 题，其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，集合 ，则 等于2Mx230NxMNA. B. C. D. 1, 1, ,11,22.设 、 是两个非零向量，则“ ”是“ ”成立的arb/abrabrrA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.变量 x, y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为0
2、236xy2zyxA. B. C. D.74124.已知数列 ， ， ， ，则 是数列的lnl1n5ln53A.第 项 B.第 项 C.第 项 D.第 项1678195.已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时，fxR0x2fxf0,x，则 的值为2f2041ffA. B.C.1 D.2:6.右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，则它的43正视图为 111111111111A B C D7.在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则BC, ,abc220bcasin(30)abcA. B. C. D.121232328.如图，面积为 的平行四边形 ，对角线 ， 与 交
3、8OABCCOAB EC BAOyx第 8 题图11111侧视图俯视图第 6 题图第 13 题图于点 ，某指数函数 的图象经过点 ，则E0,1xya且 ,EBaA. B. 23C. D.9.设 、 是双曲线 的左、右焦点， 是其右支上1F22(,)baA一点，连接 交双曲线的左支于点 ，若 ，且 ，则该双曲线的1AB2F260B离心率为A. B. C. D.5231710.由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪，直到 1872 年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割” ，才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ，且满足
4、 ， ， 中的QMNQMN每一个元素都小于 中的每一个元素，则称 为戴德金分割试判断，对于任一戴德N,金分割 ，下列选项中不可能成立的是,MA. 没有最大元素， 有一个最小元素 B. 没有最大元素， 也没有最小元素C. 有一个最大元素， 有一个最小元素 D. 有一个最大元素， 没有最小元素二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114 题）11.已知平面向量 ， ，若 ，则 _ (1,2)a2(,1)bkabk12.已知 ，则 的最小值是 3xyzxyz
5、13.如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为 ，宽为6hm，则该抛物线拱的面积为 24bm214.若以曲线 上任意一点 为切点作切线 ，曲线上总存在异于 的点()f1(,)M1lM，以点 为切点作切线 ，且 ，则称曲线 具有“可平行性” 现有(,Nxy2l2/l()yfx下列命题：函数 的图象具有“可平行性” ；2)lnx函数 的图象都具有“可平行性” ；si三次函数 具有“可平行性” ，且对应的两切点 、3(fab 1(,)xy的横坐标满足 ；2,)Nxy123x要使得分段函数 的图象具有“可平行性” ，当且仅当实数 ()()0xmfe m其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）（二）
6、选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑 . 如果全选，则按第 15 题作答结果计分.）15.（选修 4-1：几何证明选讲 ）如图，已知圆中两条弦 与 相交于点 是 延长线ABCDEF,AB上一点，且 。若 与圆相切，BFACFD2,E且 ，则 27E16.（选修 4-4：坐标系与参数方程 ）在同一平面直角坐标系中，曲线 经过伸缩变换 后变为曲线 ，在C13xy21:9yCx以此坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为l，则直线 与曲线 的公共点共有 个 sin14l三、解答题：本大题共
7、 6 小题，共 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 11 分）已知函数 ， 2()123sincosinfxxxR（1）求函数 的单调增区间；()fx（2）在 中， 分别是角 的对边，已知 ，求ABC,abc,ABC3,()1abfA角 18.（本小题满分 12 分）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数，当且仅当nnS1724n时， 取得最大值nS（1）求数列 的通项公式.a（2）设 ，求数列 的前 项和为 1(9)2nnbnbnT19.（本小题满分 12 分）某单位有员工 名，平均每人每年创造利润 万元为了增加企业010竞争力，决定优化产业结构
8、，调整出 名员工从事第三产业，调整后他们平均每(*)xN人每年创造利润为 万元（ ） ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以310()5aa提高 0.2x（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 名员工创造的年总利润，则最多调10整出多少名员工从事第三产业？EBAFC第 15 题图（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 的最大值是多少？a20.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 的底面是边长为 正三角形， 平面1ABC41A， ， 为 的中点ABC126M1（1）求证： ；（2）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，1PP确定点
9、的位置；若不存在，说明理由；（3）若点 为 的中点，求二面角 的余弦值P1CBAC21.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知曲线 上任意一点到点 、xoy1C(1,0)A的距离之和为 (1,0)B2（1）求曲线 的方程；1C（2）设椭圆 ，若斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，垂直于 的23:1xykOM2OM直线 交曲线 于点 ON求证： 的最小值为 ；M2问：是否存在以原点为圆心且与直线 相切的定圆？若存在，求出该定圆的方程；N若不存在，请说明理由22.（本小题满分 14 分）已知函数 1()lnfx（1）求曲线 在 处的切线方程；()yfx2,（2）若 有两个不同的极值点，其极
10、小值为 ，试判断1gaM23的符号，并说明理由；（3）设 ，求证：当 时， 2qp(,)xpq()()fxpfxq宜昌市 2015 届高三年级元月调研考试第 20 题图理科数学试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B A D D B B A D C二、填空题11、12、 13、 14、 15、 16、279612三、解答题17、 3 分2()13sincosin3sicosin()6fxxxx（1）由 得2,6kkZ,kkZ函数 的单调递增区间为 5 分()fx,36（2） 112sin)1sin(2)6AA 即 7 分(0,)(,53由正弦定理得3si
11、n12iBba又 9 分ba(0,)26故 11 分36C18、 （1）由题意知， ， 2 分40a5即 4 分774dd又 为整数 6 分2Z2d故 7 分(1)29nan（2） 8 分9nbA3nTA24 1()2n A两式相减得 123 1(2)nn A 12 分()nA19、 （1）由题意得： 2 分010()(.2)1x即 ，又 4 分25x5x故最多调整 名员工从事第三产业 5 分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元，从事原来产业的员工的年310()xa总利润为 万元010()(.2)x则 （ ） 8 分03.5ax即 恒成立20x 当且仅当 即 时取等号1210555x
12、A210x5x 故 的最大值为 12 分a20、 （1）取 AB 中点 O，连接 OM，OC. M 为 A1B1 中点，MOA 1A又 A1A平面 ABC，MO 平面 ABC，MOAB 2 分 ABC 为正三角形，ABCO 又 MOCO=O，AB平面 OMC 又MC 平面 OMC ABMC 4 分（2）以 O 为原点，以 ， ， 的方向分别为 轴， 轴，z 轴的正方向，建立空BCxy间直角坐标系则 5 分(0,)(2,0)(,)(0,23),(0,6)CM设 (0,3)6Pt则 2,4,MCAOPt要使直线 平面 ，只要BP0.MB即 ，解得 7 分2(3)60t6t 的坐标为 P(,3)当
13、为线段 的中点时， 平面 8 分1CAP（3）取线段 的中点 ，则 易知 平面AD(,0)D，1C故 为平面 的一个法向量 10 分(3,0)BP又由（2）知 为平面 的一个法向量 (,236)MB设二面角 的平面角为 ，则C3023063cosMCDBA二面角 的余弦值为 12 分P21、 （1）由椭圆定义可知曲线 的轨迹是椭圆，设 的方程为1C1C21(0)xyab则 ， 则 故 的方程为 3 分22acb2（2）证明：当 时， 为 长轴端点，则 为 短轴端点， 4 分0kMN1MN当 时，设直线 代入:Oykx23y整理得 即 2(3)kx222k 6 分2ky又由已知 ，可设 ，同理可
14、得 7 分OMN1:yxk22kON22222 2()433(k则 8 分28(1)() 0()kk 的最小值为 9 分N存在以原点为圆心且与直线 相切的定圆 10 分MN设 斜边上的高为 ，由当 时， 11 分Oh0k2h当 时， 0k223AA22()43(kN 13 分Nh故存在满足题意的定圆，其方程为 14 分21xy22、 （1）易知 ，21()fx=-()ln,()4ff=+=所求的切线方程为 ，即 4 分 1l24yx-ln20y-+=（2）易知 ，2()lngxax=-+211()2(0)axgxax-+=-+有两个不同的极值点在 有两个不同的根210p,122,12,xxa则 ， 在 递减 2x=- 21lnl1xpx+只需证： 21lnln0+-事实上，设 2()ll()pux pxqx=-()u,即原式成立 12 分()p同理可以证明当 时， (,)xq ()()fxqf-综上当 时， . 14 分,fp-
