1、河南省天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2015 届高三上阶段性测试（三）数学理试题（解析版） ）【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度，这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的.【题文】第 I 卷【题文】一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】(1)已知全集 U=R，集合 2|0,|0AxB
2、x，则图中的阴影部分表示的集合为(A)(-,1U(2,+) (B) ,01,2(C)1，2) (D)(1，2【知识点】集合运算. A1【答案】 【解析】A 解析：图中的阴影部分表示的集合为 ,12,ABC,故选 A .【思路点拨】根据题中韦恩图得阴影部分表示的集合为 AB，再结合2|0,|0xBx得结论. 【题文】(2)已知 i 是虚数单位，则复数 213()i在复平面内所对应的点位于(A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4【答案】 【解析】D 解析：因为 213()i= 13122ii i，所以此复数在复平面内所对应的点位于第一
3、象限. 【思路点拨】先把复数化为 a+bi 形式，再由复数的几何意义得结论. 【题文】(3)已知数列 na的通项为 2n,则“ 0”是“ 1,nNa”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条件. A2【答案】 【解析】A 解析：因为 2na，所以 120na对于 n 恒成立，所以0”是“ 1,nN”的充分不必要条件 . 【思路点拨】先求出 0a的条件，再根据充分性、必要性的判定方法确定结论. 【题文】(4)已知圆 22:()Cxyr与抛物线 2:16Dyx的准线交于 A，B 两点，且 8AB，则圆 C 的面积为( A)5
4、 (B)9 (C)16 (D)25【知识点】抛物线的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理. H7 H4【答案】 【解析】 D 解析：设抛物线准线交 x 轴于 E，则 CE=3，所以 22345r，所以圆 C 的面积为 25，故选 D. 【思路点拨】结合图形可知，利用勾股定理求得圆 C 半径得平方. 【题文】(5)已知 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 对， 2cos,08,()6lgxf(16)f (A) 12 (B) 32 (C) 1 (D) 3【知识点】奇函数的性质；分段函数的应用. B4 B1【答案】 【解析】C 解析：因为 2(16)log4f，所以 (16)f()(4ff4
5、2coss63，故选 C. 【思路点拨】根据奇函数的性质，以及分段函数的函数值的意义求解. 【题文】(6)高三某班上午有 4 节课，现从 6 名教师中安排 4 人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为( A)36 (B)24 (C)18 (D)12【知识点】排列与组合；计数原理. J2 J1【答案】 【解析】A 解析：第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课，由 3 种方法；第二、三节从除上第一节课的教师和丙教师外的四名教师中，任选两名分别上第二、三节课，由 24A种方法. 根据分步计数原理得不同的安排方案种数为 2436A种. 故选 A. 【
6、思路点拨】完成把六名教师中安排 4 人各上一节课这个事件，需分两步：第一步，安排上第一节课的教师；第二步，安排上第二、三节课的教师，(第四节丙教师上 ).求得完成每步方法数后，由分步计数原理得结论. 【题文】(7)设 31sin(810),tan(),lg85abc ，则它们的大小关系为(A)abc (B)acb (C)bca (D)cab【知识点】数值大小的比较. E1【答案】 【解析】B 解析： 11,0,lg,085abtnc，acb,故选 B. 【思路点拨】先求出各数值或确定其大致范围，从而得到它们的大小顺序. 【题文】(8)函数 3()xfe的大致图象是【知识点】函数图像得确定. B
7、8【答案】 【解析】C 解析：因为 f(0)= -3,所以排除选项 A、B；又因为 3x时， ()0fx,所以排除选项D,故选 C. 【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项. 【题文】 (9)如图的几何体是长方体 1ABCD的一部分，其中13,2ABDBcm则该几何体的外接球的表面积为(A 2c (B) (C) 23 ( D) 21c【知识点】几何体的结构. G1【答案】 【解析】B 解析：该几何体的外接球即长方体 1ABCD的外接球，而若长方体 1ABCD的外接球半径为 R ，则长方体 1ABCD的体对角线为 2R，所以2221()3R，所以该几何体的外接球的表面积 2cm，故选 B
8、. 【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体 1AB的外接球的关系，进而得结论. 【题文】(10)执行如图所示的程序框图，输出的 S 为(A)1 006 (B)1 007 ( C)1 008 (D)1 009【知识点】算法与程序框图. L1【答案】 【解析】B 解析：根据程序框图得执行的结果是计算：234201411S4563=1007，故选 B .【思路点拨】根据程序框图描述的意义，得其运行结果是计算 234201411S的值. 【题文】(11)双曲线 2:(,)xyCab的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0 垂直， 12,F为 C 的焦点，A 为双曲线上一 点，若 又 12FA，则 2
9、1cosAF(A) 32 (B) 54 ( C) 5 (D) 4【知识点】双曲线及其性质. H6【答案】 【解析】C 解析：因为双曲线的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0 垂直，所以 b=2a,又 12FA，且 12FAa，所以 21,4FAa，而255caca，所以21cosAF2222211041655AFa，故选 C.【思路点拨】根据题意得 a,b,c 关系，以及 1212,AF关于 a,b,c 的表达式，然后用余弦定理求得结论. 【题文】(12)设 ()lnfx，若函数 ()gxfax在区间(0，4)上有三个零点，则实数 a 的 取值范围是(A) 10,e (B) l2,e ( C
10、) ln21,e (D) ln20,【知识点】函数的零点；数形结合法确定参数范围；导数的几何意义. B9 B12 【答案】 【解析】C 解析：即方程 lnxa区间(0，4)上有三个根，令1lnhxhx，由 h(x)在 0,l处切线 001lnyxx过原点得 0xe，即曲线 h(x)过原点得切线斜率为 e，而点 4,ln与原点确定的直线的斜率为 l2 所以实数 a 的 取值范围是 ln21,e，故选 C. 【思路点拨】根据函数的零点与方程的根的关系，方程的根与两函数图像交点的关系，采用数形结合法，结合导数的几何意义，确定参 a 的取值范围. 【题文】 第卷【题文】二、填空题：本大题共 4 小题，
11、每小题 5 分【题文】(13)设 201sinxd，则 31nx展开式中的常数项为_（用数字作答）【知识点】定积分；微积分基本定理；二项式定理. B13 J3【答案】 【解析】210 解析： 201sinxd= 20cos|1x，又 31nx展开式的通项1510361 0rrrrrTCxC，由 6r，所以展开式中的常数项为6102. 【思路点拨】由微积分基本定理得 n=10，由二项展开式的通项公式得展开式中的常数项为第七项661021TC. 【题文】14 某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映 A，B， C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看
12、其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行；小张说：B，C，D，E 都行；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为_【知识点】集合运算. A1【答案】 【解析】D 解析：小赵可以看的电影的集合为：A,C,D,E,，小张可以看的电影的集合为B,C,D,E，小李可以看的电影的集合为：A,B,D,E，小刘可以看的电影的集合为：A,B,C,D，这四个集合的交集中只有元素 D ，故填 D .【思路点拨】分别找出小赵、小张、小李、小刘四人各自可以看的电影的集合，然后求这些集合的交集即可. 【题文】(15)ABC 中， 2,1,20
13、ABCBA，若 2BDC，则 AB=_.【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案】 【解析】 13 解析：因为 ,3D,所以 22ABCABCAB 2213CAB11cos033. 故填 . 【思路点拨】先把 ,D用 ,表示，再用向量数量积的运算性质求解. 【题文】(16)已知数列 na的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列 nx满足 123,9,xx12nnax，则 nx_.【知识点】等差数列；等比数列；数列通项公式的求法. D2 D3【答案】 【解析】 n 解析：设 12nnaaxx=k，则 1loglognxknkxa，同理 1212log,log
14、knknnxa，因为数列 n的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以122lllkknknnx，所以数列 nx是等比数列，把 13x代入139x得公比 q=3(负值舍去)，所以 13n. 【思路点拨】设 12nnaaxx=k，利用指数与对数互化及对数换底公式得 1logknnxa，1212log,logknknna，再由 n的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，以及对数运算性质得 2nx，所以数列 nx是等比数列，又因为 nx各项都是正数且123,9,得公比 q ,从而求得 nx. 【题文】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】(17)（本小题满分 10 分）已知向量 2
15、(sin,1)(cos,)44xm，记 ()fxmn(I) 若 3)2fa，求 )a的值；()将函数 ()yfx的图象向右平移 3个单位得到 ()ygx的图象，若函数 ()ygxk在 70,3上有零点，求实数 k 的取值范围【知识点】向量的数量积；三角函数的求值；三角函数的图像. F3 C3 C7 【答案】 【解析】(I)1(II) 302， 解析： 213sincosin4462xxf (I)由已知 fa得 1sin6，于是224,cocos1333kZk (II)将函数 yfx的图象向右平移 个单位得到函数 1sin26gx的图象，当 x70,3时， 162，所以 1sin126，所以 3
16、sinx，若函数 ()ygxk在 70,3上有零点，则 k 302，【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的取值,从而求得使函数 ()ygk在 70,3上有零点得 k 范围. 【题文】(18)（本小题满分 12 分）设等差数列 na的前 n 项和为 nS， 56124,3aS数列 nb的前 n 项和为 nT满足 112()nTN(I)求数列 na的通项公式及数列 1na的前 n 项和；()是否存在非零实数 ，使得数列 b为等比数列？并说明理由【知识点】等差数列、等比数列的性质；数列求和. D2 D2 D4【答案】 【解析】(I) 69n (II)见解析. 解析
17、：(I)设数列 na的公差为 d,由166543,1,a24Sa又，解得 51,d2a,因此 n的通项公式是 *nnN所以 123na，从而前 n 项的和为1113572572369nnn (II)因为 111,(),4na nTNT24n当 n时， 6b；当 时， 113nnb.所以 142n，若 是等比数列，则有 21b而 261,b，所以 22114bb与 矛盾，故数列 不是等比数列.【思路点拨】根据数列的已知条件可求出前 n 项和，再通过项的关系判定 n不是等比数列.【题文】(19)（本小题满分 12 分）已知国家某 5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对 3 月份
18、的游客量作出如图的统计数据：(1)某人 3 月份连续 2 天到该景区游玩，求这 2 天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率；(2)从该景区 3 月份游客人数低于 10 000 人的天数中随机选取 3 天，记这 3 天游客拥挤等级为优的天数为 ，求 的分布列及数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望. K2 K6 K8【答案】 【解析】 （1） 25；（ 2） ， 156E.解析：(1)记 “这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件 A ,此人 3 月份连续 2 天到景区游玩的所有结果共有 30 种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有 4 种，所以 4()3015PA. （
19、2 ）由题意知 的可能取值为 0,1,2,3，因为该景区 3 月份游客人数低于 10000 人的天数为 16，其中游客拥挤等级为优的天数为 5，所以21513366(0),()2CCPP125533616(),()CP,所以 的分布列为：故 3515()02316E. 【思路点拨】 （1）此人 3 月份连续 2 天到景区游玩的所有结果共有 30 种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有 4 种，所以所求概率为 42015；（ 2）由题意得 的可能取值为 0,1,2,3，因为该景区 3 月份游客人数低于 10000 人的天数为 16，其中游客拥挤等级为优的天数为 5，根据组合数公式求得取
20、每个值的概率，从而写出 的分布列，进一步求得 的期望. 【题文】(20)（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，AD DB，其中三棱锥 P- BCD 的三视图如图所示，且3sin5BDC(1)求证：AD PB(2)若 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为 12365，求 AD 的长【知识点】几何体的三视图；垂直关系的判定；线面角的意义. G2 G5 G11【答案】 【解析】 （1）证明：见解析；（ 2）6. 解析：由三视图可知ABCDPABCDP平 面 ， 而 面又, APBD且 平 面 ， 平 面，又 平 面 ， 。 (2)由(1)可知，PD,AD,BD 两两互相垂直，
21、以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系.设 AD= (0),结合 sinBDC= 35可得 912(,0)(,3)(,0),(,4)5ABCP.所以 9124(,)4PADCP设 (,)nxyz为平面 PCD 的法向量，由题意得 0Dn即 91205zxy，令 y=3,则 x=4,z=0，得平面 PCD 的一个法向量 (4,30)n. 设 PA 与平面 PCD 所成角为 ，可得 243413sinco, 65169PAn ，解之得 6，即 AD=6.【思路点拨】 （1）由三视图得此几何体的结构特点，从而得 AD平面 PBD，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【题文】(21)（本小题满分 12 分）
