1、河南省新郑市新郑一中 2015 届高三上学期第一次模拟测试数学文科试题第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1. 已知集合 ， ，则2|0Ax |ln(1)BxyxABA. B. (0,(,1)(2,)C. D. 1)2. 已知复数 （ 是虚数单位）在复平面上表示的点在第zaiRi四象限，且 ，则5A. B. 22C. D. 3. 如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. ？ B
2、. ？cxxC. ？ D. ？b4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. (8)36B. 2C. ()36D. 925. 直线 与 相交于点 ，点 、 分别在直线 与 上，1l2ABC1l2若 与 的夹角为 ，且 ， ，则ABC604AA. B. C. D. 22326276. 若 ，设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为(1,4)x1axblncxabcA. B. cbC. D. 7. 在正项等比数列 中，已知 ， ， ，则n1234a56121324nanA. 11 B. 12 C. 14 D. 16xa开 始输 入 bc， ，?xc输 出 x结 束是是否否 31 2 2
3、正 视 图 侧 视 图俯 视 图8. 已知直线 与圆 交于不同的两点 、 ， 是坐标原点，且有0xyk()24xyABO，那么 的值为|OABA. B. C. D. 2 49. 关于函数 与函数 ，下列说法正确的是()sin2)4fx3()cos2)4gxA. 函数 和 的图像有一个交点在 轴上gyB. 函数 和 的图像在区间 内有 3 个交点()fx(0,)C. 函数 和 的图像关于直线 对称2xD. 函数 和 的图像关于原点 对称()fxg(,)10. 若两个正实数 满足 ，并且 恒成立，则实数 的取值范围是,y21x2xymmA. B. (,4)(,4,)C. D. 2) )11. 如图
4、，等腰梯形 中， 且 ， ，则以 、 为焦点，且ABCD/2ABD3ABB过点 的双曲线的离心率 eA. B. 5131C. D. 2212. 若直角坐标平面内的两个不同点 、 满足条件：MN 、 都在函数 的图像上； 、 关于原点对称.MN()yfx则称点对 为函数 的一对“友好点对”.,（注：点对 与 为同一“友好点对” ）,已知函数 ，此函数的“友好点对”有32log(0)()4fxxA. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对A BD C第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22题24 题为选考题
5、，考生根据要求作答.二 、 填 空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 纸 中 的 横 线 上 ).13. 若实数 满足 ，则 的最大值是 _.,xy12x zxy14. 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，若 ，则 的ABCabcABC(2)cos0aBbCB值为_.15. 若一个正方体的表面积为 ，其外接球的表面积为 ，则 _.1S2S116. 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 当 时 ， ，则函数R()fx()5)0fx(,4x2()xf在 上的零点个数是_.()fx0,23三、解答题（本大题包
6、括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分 12 分）函数 ()sin()0,)(2fAx xR的部分图像如图所示. 求函数 yf的解析式； 当 ,6x时，求 ()fx的取值范围.18. （本小题满分 12 分）等比数列 的前 项和为 ， ，且 .nanS123a21Sa 求数列 的通项公式； 记 ，求数列 的前 项和 .23log4nnb2nbnT19. （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，1ABC1ACB12AC， ， 为 中点.O 证明: 平面 ；1 若 是线段 上一点，且满足E 112EBCABCV，求 的长度.
7、1A Oxy6132O CBA C1B1A120. （本小题满分 12 分）椭圆 的离心率为 ，右焦点到直线 的距离为 .21(0)xyab3260xy23 求椭圆的方程； 过 作直线 交椭圆于 两点，交 轴于 点,满足 ,求直线 的方,0MlBA,N75ANBl程.21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， 且 .2()xfeaaR0 若曲线 在点 处的切线垂直于 轴，求实数 的值；y(,Pfya 当 时，求函数 的最小值.0a|sin|x请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲.如图，已知O
8、和 M 相交于 A、 B 两点，AD 为M 的直径，直线 BD 交O 于点 C，点 G 为 中点，连结DAG 分别交 O、BD 于点 E、 F，连结 CE 求证： AG 求证： .223. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标Ccosx系，设直线 的参数方程为 （ 为参数）.l3521xty 求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程；l 设曲线 与直线 相交于 、 两点，以 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的ClPQ面积.24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.设函数 .()
9、|1|2|fxxa 当 时，求函数 的定义域；5a)(f 若函数 的定义域为 R，试求 的取值范围.AO MGFE DBC数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. C 2. B 3. A 4. A 5. B 6. B7. C 8. A 9. D 10. D 11. B 12. C简答与提示：1. C 可得 ，由 可知 ， 则 为 ，20x 12x ln(1)yx01xAB1,)故选 C.2. B 由 可得 ，又 在第四象限，则 ，故选 B.(1)5aiaia2a3. A 由于要取 ， ， 中最大项，输出的 应当是 ， ， 中的最大者，所
10、以应填比较 与bcbcx大小的语句 ，故选 A.cx4. A 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方形的四棱锥组成，且高都为 ，3因此该几何体体积为 ，故2 81343366V 选 A.5. B 由题意 中 ， ， ，由余弦定理可知 ，故选 B.来源:Zxxk.ComC60AB4AC23BC6. B 由于 ，所以根据指数函数性质 ，即 ；又 ，所以1x213x1ba4x，所以 ，即 ，所以 ，故选 B.12ln1cbac7. C 由 与 可得 ， ，3314aq2456aq9311nnnq因此 ，所以 ，故选 C.68nq8. A 当 时， ， ， 三点为矩形的三个顶点，可
11、知 ，由图可知|OABOBOAB直线过 点，此时 ，故选 A.(2,0)2k9. D 与3cos)cos()cos(2)444yxxxsin(2)4x关于原点对称，故选 D.in10. D ，当且仅当 ，即 时等号212() 8yxyxx yx2yx成立. 由 恒成立，则 ， ，解得 ，故m2m280m4m选 D.11. B 由题可知，双曲线离心率 ，|ABeD设 则 ，|ACt|2t， ，2cos60Dt|54cos603t所以 ，故选 B.| 31|te xyO12. C 由题意，当 时，将 的图像关于原点对称后可知0x3()logfx 3()log()xx的图像与 时 存在两个交点，故“
12、友好点对”的数量为 2，故选(0)x24C. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 5 14. 15. 16. 1207232简答与提示：13. 由题可知可行域为如图所示阴影部分，由目标函数为可知，当直线过 点时， 取得最大值，即 取12zyx(1,2)zz得最大值，为 .来源:学。科。网max514. 由正弦定理可将 转化为()cos0BbC，经计算sincosininsA得 ，又B2coinA为 内角，可知 ，则 ，则 .C123B15. 设正方体棱长为 ，则正方体表面积为 ，其外接球半径为正方体体对角线长的 ，即a16Sa12为 ，因此外接球表面积为 ，则
13、 .32243r216Sa16. 由 可知 是以 5 为周期的周期函数，又 在 区()5)0fx()fx()xf(1,4间内有 3 个零点，故 在任意周期上都有 3 个零点，故 上包含 402 个周期，又3,0x时也存在一个零点 ，故零点数为 .0,240217三、解答题17. 解：(1)由图像得 ， ，所以 ，则 ；将 代入得1A436TT(,1)6，而 ，所以 ，因此函数 ()sin3fx； (6 分)1sin()623(2) 由于 ， 36x ，所以 1si2 ，,x所以 ()f的取值范围是 1,2. ( 12 分)18. 解：(1)设等比数列的公比为 ，由题意 ， ，所以 ，q123a
14、2Sa123q即 ，因此 . (6 分)13q1()3nnna(2) ，223logl4nbxO1 1所以 ，2111()(2)4(2)82nbnnn1( ()83 2T n. (12 分)119. 解：(1) ，且 为 中点，12ACOACO，又 侧面 1底面 B，交线为 ， 11AOC面，1平面 B. (6 分)(2) ，因此 ，即 ，又在11124ECABCABCVV14EB134EAB中， ， ， 可得 ，则 的长度为 .1RtA3122(12 分)20. 解：设右焦点为 (,0)c，则62|， 6c， 6c或 3(舍去)又离心率32a， ， a， 2ba，故椭圆方程为18xy. (4
15、 分) 设 ),(1A， ， 0(,)Nx，因为75ANB，所以2(,B， 1275y (6 分 )1007=)5xyx易知当直线 l的斜率不存在或斜率为 0 时，不成立，于是设 l的方程为 ykx()，联立 消 得2148kxy22(41)80kyk (8 分)因为 ，所以直线与椭圆相交，0于是 ， ，12241yk22841ky由得， ， 代入整理得 42890k， 21k，57所以直线 的方程是 或 . (12 分)lyxx21. 解：由题意得： 22()()(xfeaea ； (3 分)2()xxxea(1)由曲线 在点 处的切线垂直于 轴，结合导数的几何意义得 ，()yf(,Pfy(
16、2)0f即 ，解得 ； (6 分)2()2ae240ae1a(2) 设 ，则只需求当 时，函数 的最小值.|sin|01)xt (01)yft 令 ，解得 或 ，而 ，即 .()fax2从而函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减. (,2)(,)(,)a当 时，即 时，函数 在 上为减函数， ；21a 0 fx0,1min(1)4)yfae当 ，即 时，函数 的极小值即为其在区间 上的最小值， a()0,. 2min()yfe综上可知，当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数0 (|sin|)fx(4)ae2的最小值为 . (12 分)(|si|)fx2a22. (本小题满分 10 分) 选
17、修 4-1：几何证明选讲证明(1)：已知 AD 为 M 的直径，连接 ，则 ， ，ABBAEC90ABCF由点 G 为弧 BD 的中点可知 ，故 ，所以有FEGDGD，即 . (5 分)DEFACC(2)由(1)知 ，故 ，所以 ，即EDE(10 分 ).2CG23. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程选讲解：(1)对于 ：由 ，得 ，进而 ；cos24cos24xy对于 ：由 （ 为参数） ，得 ，即 .(5 分)l3521xty1(5)3y350(2)由(1)可知 为圆，且圆心为 ，半径为 2，则弦心距 ，弦长C(,0) |2|321d，因此以 为边的圆 的内接矩形面积 . (1023|()7PQPQC|7SdPQ分)24. (本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲解：(1) 当 时， ，由 得a()|1|2|5fxx|1|2|50x或 或 ，解得 或 120x 21x 280x 1x 4即函数 的定义域为x| 或 . (5 分)(f 4(2) 由题可知 恒成立，即 恒成立，而|a |2|a，所以 ，即 的取值范围为 . (10 分)|1|(1)2|xx (,1
