1、江苏省南京市、盐城市 2015 届高三第一次模拟考试数学一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1设集合 ，集合 ，若 ，则 .2,0Mx0,1NMx答案：12若复数 （其中 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 .aizi a答案：13在 一 次 射 箭 比 赛 中 ， 某 运 动 员 次 射 箭 的 环 数 依 次 是 ， 则 该 组 数 据 的59,107,方 差 是 .答案： 654甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 ，甲、乙下和棋的概率为 ，则乙获胜0.20.5的概率为 .答案： 0.3解读：为了体现新的考试说明 ，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。5
2、若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 .22(0)xya24yxa答案：6运行如图所示的程序后，输出的结果为 .答案：42解读：此题的答案容易错为 22。7若变量 满足 ，则 的最大值为 .,xy203xy2xy答案：88若一个圆锥的底面半径为 ，侧面积是底面积的 倍，则该圆锥的体积为 .1答案： 39若函数 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，且该函()sin)(06fx2数图象关于点 成中心对称， ，则 .0, ,2x0x答案： 51210若实数 满足 ，且 ，则 的最小值为 .,xy022logl1xy2xyi1S0While i8 ii + 3 S2 i + SEnd Whil
3、ePrint SEND第 6 题图答案：411设向量 ， ，则“ ”是“ ”成立的 (sin2,co)a(cos,1)b/ab1tan2 条件 (选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”) .答案：必要不充分12在平面直角坐标系 中，设直线 与圆 交于 两点，xOy2yx2(0)yr,AB为坐标原点，若圆上一点 满足 ，则 .OC534OAB答案： 1013已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当 时 ， ， 函()fx2,(0,2x()21xf数 . 如果对于 ， ，使得 ，2gm12,x()gf则实数 的取值范围是 .答案： 5,14已 知
4、数 列 满 足 ， ， ， 若 数 列 单na121a*|()nnaN21na调 递 减，数列 单调递增，则数列 的通项公式为 .2答案： （ 说明：本答案也可以写成 ）()3n ,321,n为 奇 数为 偶 数二、解答题：15在平面直角坐标系 中，设锐角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆xOyx交于点 ，将射线 绕坐标原点 按逆时针方向旋转 后与单位圆交于点1(,)PPO2. 记 .2Qxy12f（1）求函数 的值域；()（2）设 的角 所对的边分别为 ，ABC, ,abc若 ，且 ， ，求 .fa1c解：（1 ）由题意，得 ， 4 分12sin,si()osy所以 ， 6 分()i
5、co4f因为 ，所以 ，故 . 0,23(,)()1,2f8 分（2）因为 ，又 ，所以 ， ()sin()24fC(0,)C410 分xyPQO第 15 题图xyOlABFP第 17 题图在 中，由余弦定理得 ，即 ，ABC22coscabC21bb解得 . 1b14 分（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）16(本小题满分 14 分)如图，在正方体 中， 分别为 的中点.1ABCD,OE1,BDA（1）求证： 平面 ；/OE（2）求证：平面 平面 .11证明（1 ）：连接 ，设 ，连接 ， 2 分F因为 O，F 分别是 与 的中点，所以 ，且 ，1B/C12F又 E 为 AB 中
6、点，所以 ，且 ，/EDC12B从而 ，即四边形 OEBF 是平行四边形，/,所以 ， 6 分又 面 ， 面 ，1BF1所以 面 . 8 分/O（2）因为 面 ， 面 ，DC11BC1所以 ， 10 分1又 ，且 面 ， ，1,1D1BC所以 面 ，12 分1B而 ，所以 面 ，又 面 ，/OE1OE1所以面 面 . 14 分1DC117在平面直角坐标系 中，椭圆 的右xy2:(0)xyab准线方程为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，斜率为4ABF2的直线 经过点 ，且点 到直线 的距离为 .lFl5（1）求椭圆 的标准方程；C（2）将直线 绕点 旋转，它与椭圆 相交于另一点 ，当l C
7、P,B三点共线时，试确定直线 的斜率.l解：（1 ）由题意知，直线 的方程为 ，即 ， 2()yxa20xya2 分右焦点 到直线 的距离为 ， ， Fl 5c1c4 分又椭圆 的右准线为 ，即 ，所以 ，将此代入上式解得C4x2ac24aBACDB1A1C1D1EFOBACDB1A1C1D1E第 16 题图OBACDB1A1C1D1E第 16 题图， ，2,1ac23b椭圆 的方程为 ； C214xy6 分（2）由（ 1）知 ， ， 直线 的方程为 ， (0,3)B(,0)FBF3(1)yx8 分联立方程组 ，解得 或 （舍） ，即 ， 2143yx853xy03xy8(,)5P12 分直线
8、 的斜率 . l0()3582k14 分其他方法：方法二: 由（1）知 ， ， 直线 的方程为 ，由题(0,3)B(1,0)FBF3(1)yx，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，联立方程组(2,0)All(2)ykx，解得 ，代入椭圆解得： 或 ，又由题3()yxk23kxy k意知， 得 或 ，所以 .03yk32k方法三：由题 ，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，联立(2,)All(2)ykx方程组 ，得 ， ，2143kxy222431610kxk21643AP所以 , ，当 三点共线时有，2268Px243Py,BF，BFk即 ，解得 或 ，又由题意知，2134861k
9、2k得 或 ，所以 .03y3318某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲第 18 题-甲xyOABCD第 18 题-乙EF线 是以点 为圆心的圆的一部分，其中 （ ，单位：米） ；曲线ABE(0,)Et25t是抛物线 的一部分； ，且 恰好等于圆 的半C250()yaxCDAE径. 假定拟建体育馆的高 米.OB（1）若要求 米， 米，求 与 的值；3DA4ta（2）若要求体育馆侧面的最大宽度 不超过 米，求 的取值范围；F75（3）若 ，求 的最大值.5a（参考公式：若 ，则 ）()fxa1()2fxax解：（1 ）因为 ，解得 . 03CDt0t 2 分此
10、时圆 ，令 ，得 ，2:()Exyy15AO所以 ，将点 代入4514OA(4,30)C中，250ya解得 . 149 4 分（2）因为圆 的半径为 ，所以 ，在 中令 ，得E50t50CDt250yaxyt，tODa则由题意知 对 恒成立， 7tFa(,2t 8 分所以 恒成立，而当 ，即 时， 取最小值 10，125ta5tt25t故 ，解得 . 010 10 分（3）当 时， ，又圆 的方程为 ，令 ，得125aODtE222()(50)xytt0y，所以 ，0xt105At从而 ， ()2()Aft 12 分又因为 ，令 ，得 ， 25)5tftt()0ft5t 14 分当 时， ，
11、单调递增；当 时， ， 单调(0,)t()0f()f(,)t()ft()ft递减，从而当 时， 取最大值为 25 .tt答：当 米时， 的最大值为 25 米. 5AD516 分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19设数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，若 ，nannS1564a.5348S（1）求数列 的通项公式；n（2）对于正整数 （ ） ，求证：“ 且 ”是“,kmllmk3l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；,kla（3）设 数 列 满 足 ： 对 任 意 的 正 整 数 ， 都 有nbn121321nnnabab，且集合 中有且
12、仅有 3 个元素，试1246*|,nMN求 的取值范围.解：（1 ） 数列 是各项均为正数的等比数列， ， ，na215364a38a又 ， ， ， ； 5348S24584qq2n 4 分（2） （ ）必要性：设 这三项经适当排序后能构成等差数列，,kml若 ，则 ，kla102kl， ，102ml15l. 1,4lk 13mkl 6 分若 ，则 ， ，左边为偶数，等式25mkla252mkl125mkl不成立，若 ，同理也不成立，lk综合，得 ，所以必要性成立. 1,3lk8 分（）充分性：设 ， ，则 这三项为 ，即 ，调整顺序后易知5,kmla135,kka5,28kka成等差数列，2
13、8所以充分性也成立.综合（） （） ，原命题成立. 10 分（3）因为 ，11213213246nnnnabab即 ， （*）当 时， ， （*）3112 2nnnnnb则（*）式两边同乘以 2，得 ，411231384nb（* ）（* ）（ *） ，得 ，即 ，4n()n又当 时， ，即 ，适合 ，1n2130b12()nb.14 分21nb， ，na112352nnnba时， ，即 ；210n21ba时， ，此时 单调递减，31nban又 ， ， ， ， . 1243584716ba1216 分20已知函数 ， .()xfe()gmxn（1）设 .h 若函数 在 处的切线过点 ，求 的值；
14、0(1,0)mn 当 时，若函数 在 上没有零点，求 的取值范围；n()h（2）设函数 ，且 ，求证：当 时， .1()nxrxfg40x()1rx解：（1 ）由题意，得 ，()()xene所以函数 在 处的切线斜率 ， ()h01k2 分又 ，所以函数 在 处的切线方程 ，01n()hx0(1)ymx将点 代入，得 . (,)2m4 分（2）方法一：当 ，可得 ，因为 ，所以 ，()xxex1xe当 时， ，函数 在 上单调递增，而 ，1e()0xh(h1,)(0)h所以只需 ，解得 ，从而 . meme6 分当 时，由 ，解得 ，1e()0xheln(1,)x当 时， ， 单调递减；当 时
15、， ，(,lnx()hl()0hx单调递增 .()h所以函数 在 上有最小值为 ，)(1,)l)lm令 ，解得 ，所以 . l0me1e综上所述， . ,)10 分方法二：当 ， 0nxem当 时，显然不成立；x当 且 时， ，令 ，则 ，当1x0xemxy221xxe时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递yxy010yxy减，当 时， ，函数 单调递增，又 ， ，由题意知1x0xe1xe1x. ,)me（3）由题意， ，114()()xxnmrxfgee而 等价于 ， 4()xe34)0x令 ， 3)F12 分则 ，且 ， ，(0)(1)xe ()F令 ，则 ，Gx(32因 ， 所以
16、 ， ()0Gx14 分所以导数 在 上单调递增，于是 ，()F0,)()0x从而函数 在 上单调递增，即 . xF16 分附加题答案21. A、 （选修 41：几何证明选讲）如图，已知点 为 的斜边 的延长线上一点，且 与PRtABCPC的外接圆相切，过点 作 的垂线，垂足为 ，若RtBC D， ，求线段 的长.86D解：由切割线定理，得 ，解得 ，22PB所以 ，即 的外接圆半径 ，5 分1t 8r记 外接圆的圆心为 ，连 ，则 ，tAO在 中，由面积法得 ，解得 . RPOCC245C10 分B、 （选修 42：矩阵与变换）求直线 在矩阵 的变换下所得曲线的方程.10xy2M解：设 是所
17、求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为 ，(,)P (,)Qxy CA BD P第 21-A 题图则 ，解得 ， 2xyx2()xyy5 分代入 中，得 ，10xy2()()10xyx化简可得所求曲线方程为 . 10 分C、 （选修 44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆 的圆心到直线 的距离.2cos2sin()13解：将圆 化为普通方程为 ，圆心为 ， 2cos20xy,4 分又 ，即 ，in()133(sincos)1所以直线的普通方程为 ， 10xy8 分故所求的圆心到直线的距离 . 32d10 分D、解不等式 .124x解：当 时，不等式化为 ，解得 ； 14x312x3 分
18、当 时，不等式化为 ，解得 ； 12x2x6 分当 时，不等式化为 ，解得 ； 14x529 分所以原不等式的解集为 . 35(,)210 分22 （本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱 中，1ABC， ， ，动点 满足 ，AB34P1(0)C当 时， .121（1）求棱 的长；（2）若二面角 的大小为 ，求 的值.1AB3 CAB PB1 C1A1第 22 题图解：（1 ）以点 为坐标原点， 分别为 轴，A1,BAC,xyz建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，1Cm1(3,0)(,0)(,4)Pm所以 ， ， ， ,B4P30,B2 分当 时，有21 1(,),)2A解得 ，即棱 的长
19、为 . 3C34 分（2）设平面 的一个法向量为 ，PB1(,)nxyz则由 ，得 ，即 ，10An3420xy4320z令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，z2yPAB1(,1)4n6 分又平面 与 轴垂直，所以平面 的一个法向量为 ，1AB120,因二面角 的平面角的大小为 ，P3所以 ，结合 ，解得 . 1224cos,()1n 026910 分23设集合 ， 是 的两个非空子集，且满足集合*,3,SnNL,ABS中的最大数小于集合 中的最小数，记满足条件的集合对 的个数为 .AB(,)ABnP（1）求 的值；23,P（2）求 的表达式.n解：（1 ）当 时，即 ，此时 ， ，所以 ， 1,2S12212 分当 时，即 ，若 ，则 ，或 ，或 ；3,3AB3,3B若 或 ，则 ；所以 . 2A35P4 分（2）当集合 中的最大元素为 “ ”时，集合 的其余元素可在 中任取若干k1,2k个（包含不取） ，所以集合 共有 种情况， 0121kkCC6 分此时，集合 的元素只能在 中任取若干个（至少取 1 个） ，所以集合B,n共有 种情况，123knknkC所以，当集合 中的最大元素为“ ”时，A
