1、第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ； ；coscossincoscossin ； ；inicinic （ ） ；tata1nttata1tan （ ） ttnattntnt25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： si2icos 222 )cos(incosinn1 2cossis1升幂公式 sic,2co降幂公式 ， 2soin226、2tant127、（后两个不用判断符号，更加好用）28、合一变形 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。 ，其BxAy)sin(2sincossinAA中 ta29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换
2、，提高三角变换能力，要学会创设条件， 半 角 公 式 sinco1csico12tan2n;cos: 2tan1 cos;t si: 22 万 能 公 式 灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 24224 ；问： ； 30563051ooo 1sin12cos； ； ；)( )4(24 ；等等)(2（2）函数名称变换：三
3、角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sicttancossin22 （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： cos1； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如： ； ；_tan1_tan1； ； ；tt t； ；an2
4、 2an1；ooo 40t2tan340tt= ；csi= nba；（其中 ；）t； ；cos1 cos1（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如： ；)10tan3(50sinoo。 cta基础练习一 选择题1已知 且 为锐角，则 的值是（ ）510sin,si,. . . .4347422设 则 的范围是（ ）,2A B. C. D、,0,02,3 （ ）22cos751cos751A B、 C. D.634344.若 ，若 ，则 （ ）0,2sin52
5、cosA. B. C. D.7517155.设 ，则 的值是（ ）22sinixymsinsixyA. B. C. D.22m6.在 中，已知 则 的值是（ ）ABC53cos,i,1ABcosCA. B. C. 或 D.156661657.已知 则 的值等于（ ）4cos,cs,5tanA. B. C. D.71778.使函数 为奇函数，且在区间 上为减函数的sin23cos2fxx0,4的一个值为（ ）. . 3539.已知 是第三象限角，且满足 ，那么 的值等于（ ）445sinco9sin2 232323310.已知 则 等于（ ）4,0cos,5xxtanx 724724247247
6、11.若 则 的终边在（ ）3cos,in,5A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知 ，则 等于（ ）,21cos2A. B. C. D.sinincos213 函数 有（ ）214cosi,43fxxA.最大值 0，最小值 B.最大值 5，最小值84C.最大值 5，最小值 D.最大值 ，最小值 321314.函数 的最大值为（ ）2sincosyxxA. B. C. D.2115.函数 的最大值是（ ）12sincoyxA B. C. D. 2211216.函数 ysin 4xcos 2x 的最小正周期为（ ）A B C D2 奎 屯新 疆王 新 敞17. 的值是（
7、 ）sin10i53A. B. C. D.21218.若 则 的值为（ ）2cos,mcossA. B. C. D.1 1m19. 中，若 ，则 一定是（ ）ABCininBCAA.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形20.函数 的最小正周期为（ ）si3cos3siyxxA. B. C. D.422二 填空题1.已知 则 11sin,cos,23cos2.函数 的最大值等于 )()(Rxxf 3.已知 则 cos0,sinsin4.若 则 的取值范围是 1in2co5.函数 的最小正周期是_fxx()ssi36.在 中， ，则 ABC5c,n1BsinC7.在三角形
8、 ABC 中，若 则 = sico,3Aco8.若 则 1sinco,2x3sx9.已知 那么 s,c410.在 中，已知 则 ABC,5Asin211.函数 的最小正周期是_fxx()cosico2312.已知 ，则 tan413. si3cs1214.在 中， 那么 的值为 ABC5i,cos,13BcosC15.函数 （ 为锐角）的值域是 2snfxx16.若 ，且 则 ,0,isncos,sin3i17.化简 1sin818.在 中， ，则 的形状是 ABC2siBAC19.设 ，若 且 ，则 的范围是 0,0,co2020.若 的值域是 ，则此函数的表达式是 sinyabx13三 解
9、答题1.已知 ，求 的值3350,cos,sin445413sin2.已知 且 求 的值1tan,tan,270,23.已知 1sinco1sincof（1）化简 ；（2）求使 的最小正角 4f4.某工人要从一块圆心角为 ，半径为 的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接320cm矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面积高考试题库w。w-w* 高考试题库高考试题库w。w-w* 高考试题库5.已知 （1）求 的值；（2）求 的值tan42tan2sinco16.已知 求 的值317cos,4524xx2sini1tax7.求证： 242(1cos)incos.x8.求证： 2 21tansin1ta4
10、4高考试题库w。w-w* 高考试题库高考试题库w。w-w* 高考试题库9.已知 求 的值11sin,cos43,tan10.在 中，求证：ABC22sinsin1cosABCABC高考试题库w。w-w* 高考试题库高考试题库强化练习一 选择题1cos45cos15sin45sin15( )A. B. C. D.12 32 33 3答案 B解析 cos45cos15sin45sin15cos(4515)cos30 .322cos 等于( )(3 )A. cos B. cos12 12C. cos sin D. cos sin12 32 12 32答案 C解析 cos cos cossin sin
11、(3 ) 3 3 cos sin.12 323cos165等于( )A. B.12 32C D6 24 6 24答案 C解析 cos165cos(18015)cos(4530)(cos45cos30sin45sin30) .6 244满足 coscos sinsin 的一组 ， 的值是( )32A ， B ，1312 34 2 3C ， D ， 2 6 3 4答案 B解析 由条件 coscos sin sin 得32coscossinsin ，即 cos() ， ， 满足条件32 32 2 35cos39cos9sin39sin9等于 ( )A. B. 12 32C D12 32答案 B解析
12、cos39cos9 sin39sin9cos(399)cos30 .326cos555的值为( )A. B6 24 6 24C. D.6 22 2 64答案 B解析 cos555cos(360195)cos(18015)cos15cos(4530)(cos45cos30sin45sin30) .6 247(福建高考)计算 sin43cos13cos43sin13的结果等于 ( )A. B. C. D.12 33 22 32答案 A解析 sin43cos13cos43sin13sin(4313)sin30 .选 A.128(新课标高考)若 cos ， 是第三象限的角，则 sin( )等于( )4
13、5 4A B. 7210 7210C D.210 210答案 A解析 sin( ) (sincos) ( ) .4 12 12 45 35 72109在ABC 中，sinAsinB0，则 cos(AB )0，所以 cos( C)0，即 cosCcos.(4，2)又(cossin )21sin2 1 ，14 34cossin .3233(2012全国高考全国卷)已知 为第二象限角，sin cos ，则 cos2( )33A B53 59C. D.59 53答案 A解析 sin cos ，两边平方可得 1sin2 sin2 33 13 23 是第二象限角，因此 sin0，cos0)的周期为 ，则
14、_.32答案 2解析 f(x) sin2x32 1 cos2x2 sin2x cos2x32 12 12sin ，(2x 6) 12则有 ，2.22 211已知 cos ，则 cos2_.45答案 725解析 cos ，cos22cos 21452( )21 .45 72512. _.3tan81 tan28答案 32解析 原式 tan(2 )322tan81 tan28 32 8 tan .32 4 32三 解答题1设 (0 ， )，若 sin ，求 cos( )的值2 35 2 4解析 (0， )，sin ，cos ，2 35 45 cos( ) (coscos sin sin )24 2
15、 4 4cossin .45 35 752已知 sin ，且 0，00， 0，0)；(2)求 f(x)的最小正周期；(3)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 6， 2解析 (1)f(x)2sin(x)cosx2sinx cosxsin2x.(2)由(1)知函数 f(x)的最小正周期为 T .22(3)由 x ，得 2x，6 2 3所以 sin2x1，32即 f(x)的最大值为 1，最小值为 .329已知向量(2cosx1，cos2xsinx1)(cosx，1)，定义 f(x).(1)求 f(x)的最小正周期(2)求 f(x)的最大值和最小值解析 (1)f(x )(2cosx1，cos2xs
16、in x1)(cosx，1)2cos 2xcosx cos2 xsinx1sinx cosx sin(x )，24函数 f(x) sin(x )的最小正周期为 2.24(2)当 x 2k ，k Z 即4 2x2k ，kZ 时，f(x )max .4 2当 x 2k 即 x2k ，k Z 时，4 2 34f(x)min .210如图所示，圆心角为直角的扇形 AOB，半径 OA2，点 C 是 上任一点，且ABCEOA 于 E， CFOB 于 F，设AOCx ，矩形 OECF 的面积为 f(x)，求：(1)f(x) 的解析式；(2)矩形 OECF 面积的最大值解析 (1)f(x )OEECOC co
17、sxOCsinx4sinx cosx2sin2x，f(x)2sin2 x，x .(0，2)(2)f(x) 2sin2x ，x ，(0，2)00)的最小正周期为 4()求 的值；()讨论 f(x)在区间0 ， 上的单调性2解析 () f(x)4cosxsin(x )2 sinxcosx2 cos2x4 2 2 (sin2xcos2x ) 2sin(2x ) .2 24 2因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0，从而有 ，故 1.22()由( )知 f(x)2sin(2x ) .4 2若 0x ，则 2x .2 4 4 54当 2x ，即 0x 时，f (x)单调递增；4 4 2 8当 2x ，即
18、 x 时，f(x)单调递减2 4 54 8 2综上可知，f(x)在区间0， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减.8 8 2章节测试一、选择题1 75tan2的值是( ) A 3B 32C2 3D2 32cos 40cos 602cos 140cos2 151 的值是( )A0 B C 23D 213已知 sin()cos cos ()sin 5，且在第三象限，则 sin 的值是( )A 10B 103C 10D 1034已知 cosin 2，则 tan ( )A 3B 34C 43D 435tan( +45)tan(45)等于( )A2tan 2 B 2tan 2 C 2tan D 2tan
19、6已知 sin()coscos( )sin 53，且 为第三象限角，则 cos 等于( )A 54B 54C D 5372sin 14 cos 31sin 17等于( )A 2B 2C 23D 238在ABC 中，若 0tan tan B1，那么ABC 一定是( )A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D形状不确定9已知 为第三象限角且 sin4cos 4 95，则 sin 2等于( )A 32B 32C 32D 32来源:高 考试题库 GkStK10sin 6 cos 24sin 78cos 48的值为( )A 1B 16C 321D 81二、填空题11若 sin x sin y 2， c
20、os xcos y ，x，y 都是锐角，则 tan(xy)的值为 12化简 4cosin2_13若 3sin cos ，则 tan 4 14若 25 1， 2si 5，则 tan 15 求函数 y(sin xcos x) 22cos 2x 的最小正周期 16已知 tan1siik( 4 )，试用 k 表示 sin cos 的值 三、解答题17化简：cos 2Acos 2( 3 A)cos 2( 34A)18已知：(0， 4)，( ， )且 cos( ) 54 ，sin( 3) 15，求：cos ，cos()19(1)已知 tan( ) 21，tan 71，且，(0，)，求 2的值(2)已知 cos( ) 9，sin ( ) 32，且 ，0 ，求cos( )的值20已知 tan 2 ，2 ，求 4sin21co第三章 三角恒等变换参考答案一、选择题1D解析：原式 75tan12 10ta2 3ant 122 32C解析：原式 2cos 40 cos 40cos 30 1 3 23D解析：sin() 53，sin 53又知 是第三象限角，cos 4又 cos 12sin 2 ，sin 2 2541 1034B解析： cosin1 2cosin2is2 1， 2sinco ，即 tan 2 ta t12 41 35A解析：原式 tan1 ta
