1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 A， B
2、 互斥，那么 .()()PABP如果事件 A， B 相互独立，那么 .()()PAB棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积， 表示棱VSh h柱的高.棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示13VSh h棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为 R，集合 ， ，则 02Ax1Bx()RIAB(A) (B) 01x0(C) (D) 22x(2)设变量 x， y 满足约束条件 则目标函数 的最大5,241,0yx35zxy值为 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的
3、值为 20，则输出 T 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)设 ，则“ ”是“ ”的 xR1|2x31x(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知 ， ， ，则 a， b， c 的大小关系为 2logealnb12log3c(A) (B) (C) (D) cacab(6)将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对sin(2)5yx10应的函数 (A)在区间 上单调递增 (B)在区间 上单调35,4 3,4递减(C)在区间 上单调递增 (D)在区间 上单53,42 3,2调递减(7)已知双曲线 的离心率为 2，过右焦
4、点且垂直21(0,)xyabb于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点. 设 A， B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 1d2126d(A) (B) 241xy214xy(C) (D) 239xy 293xy(8)如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， . 若点 E 为边 CD 上ABCD120BA1BAD的动点，则 的最小值为 urE(A) (B) (C) (D) 2163225163第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
5、(9) i 是虚数单位，复数 .7i12(10) 在 的展开式中， 的系数为 .51()2x2x(11) 已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体1ABCDABCD其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥的体积为 .MEFGH(12)已知圆 的圆心为 C，直线 ( 为参数)与20xy21,3xty该圆相交于 A， B 两点，则 的面积为 . AB(13)已知 ，且 ，则 的最小值为 . ,abR360ab128ab(14)已知 ，函数 若关于 的方程0a2,0,().xaxfx恰有 2 个互异的实数解，则 的取值范围是 . ()fx三.解答题：本大题共 6 小题
6、，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15） （本小题满分 13 分）在 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知ABC.sincos()6ba（I）求角 B 的大小； （II）设 a=2， c=3，求 b 和 的值.sin(2)AB(16)(本小题满分 13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（
7、i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率.(17)(本小题满分 13 分)如图， 且 AD=2BC， , 且 EG=AD，ADBC ADCEGA且 CD=2FG， ， DA=DC=DG=2.FG GB平 面（I）若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证：；NCDE 平 面（II）求二面角 的正弦值； BF（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.(18)(本小题满
8、分 13 分)设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是na ()nSNnb等差数列. 已知 ， ， ， .1a32a435b462a（I）求 和 的通项公式；nb（II）设数列 的前 n 项和为 ，nS()nTN（i）求 ；nT（ii）证明 .221()()nkkb(19)(本小题满分 14 分)设椭圆 (ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的21x离心率为 ，点 A 的坐标为 ，且 .53(,0)62A（I）求椭圆的方程；（II）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且(0)ykxl 与直线 AB 交于点 Q. 若 (O 为原点) ，求 k 的值.52sin4
9、AAP(20)(本小题满分 14 分)已知函数 ， ，其中 a1.(xfa(logax（I）求函数 的单调区间；)lnhf（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点(yfx1(,)fx()ygx处的切线平行，证明 ；2(,)xg12ln(ag（III）证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，1ea ()yfx也是曲线 的切线.()ygx参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 40分（1）B （2）C （3）B（4）A（5）D （6）A （7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 30分（9）4i （10） （11） 521
10、2（12） （13） （14） 1214(48)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分（）解：在 ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，siniabABsinibAaB又由 ，得 ，即 ，可得sincos()6bAaBsinco()6aBsco()6又因为 ，可得 B= ta3B0， 3（）解：在 ABC 中，由余弦定理及 a=2， c=3， B= ，有3，故 b= 22cos7baB7由 ，可得 因为 a= ，于是 sin= 3|10所以，二面角 EBCF 的正弦值
11、为 10（）解：设线段 DP 的长为 h（ h0，2），则点 P 的坐标为（0，0， h），可得 (1)BP， ，易知， =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故DC，2cos 5BPh由题意，可得 =sin60= ，解得 h= 0，2 25h323所以线段 的长为 .DP3（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.（I）解：设等比数列 的公比为 q.由 可得na132,a.20q因为 ，可得 ，故 .2q1na设等差数列 的公差为 d，由 ，可得 由nb435b134.bd，5
12、462ab可得 从而 故 13,d1,bd.nb所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为na12nan .nb（II） （i）由（I） ，有 ，故nnS.1112(1)(2) 2nnnkk nT （ii）证明：因为，1 1212()(2)1)()k kkkk+Tb 所以， .324321221()()() nnnkkb （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 14 分（）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知知 ，又由259caa2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得， ， ，由FB
13、Ab，可得 ab=6，从而 a=3， b=26FBA所以，椭圆的方程为 2194xy（）解：设点 P 的坐标为（ x1， y1），点 Q 的坐标为（ x2， y2）由已知有 y1y20，故 又因为12sinPQAOy，而 OAB= ，故 由 ，sinAQOB42y5sin4AOQ可得 5y1=9y2由方程组 消去 x，可得 易知直线 AB 的方2194kxy， ， 12694ky程为 x+y2=0，由方程组 0ky， ，消去 x，可得 由 5y1=9y2，可得 5（ k+1）= ，两2k 2394k边平方，整理得 ，解得 ，或 560118所以， k 的值为 128或 （20）本小题主要考查导
14、数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（I）解：由已知， ，有 .()lnxha()lnxha令 ，解得 x=0.()0hx由 a1，可知当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：()hxx (,00 (0,)()h0 +()hxA极小值 A所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .()(,0)(0,)（II）证明：由 ，可得曲线 在点 处的()lnxfa()yfx1,fx切线斜率为 .1lxa由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为()lng()ygx2(,)
15、gx.21lxa因为这两条切线平行，故有 ，即 .12lnlxaa122(ln)xa两边取以 a 为底的对数，得 ，所以212loglog0ax.12ln()xg（III）证明：曲线 在点 处的切线 l1：()yfx1(,)xa.11ln()xyax曲线 在点 处的切线 l2： .()g22(,log)a 221log()lnayxx要证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也1ea ()f是曲线 的切线，只需证明当 时，存在 ，()ygx1ea1,)x，使得 l1和 l2重合. 2(0,x即只需证明当 时，方程组 有解，1ea11122lnl1oglnxxaax 由得 ，代入，得
16、. 122(ln)xa1112lnln0lxx aa因此，只需证明当 时，关于 x1的方程有实数解.1ea设函数 ，即要证明当 时，函2ln()lnlx aux1ea数 存在零点.y，可知 时， ； 时，2()1ln)xuxa(,0)()0ux(,)单调递减，又， ，故存在唯一的 x0，且 x00，(0)1u21(ln)210(ln)au使得 ，即0x.021(ln)xa由此可得 在 上单调递增，在 上单调递减. (u0,)x0(,)x在 处取得极大值 .()x00()u因为 ，故 ，1ealn()1a所以.000 02012ln1ln2ln()ln 0l(l)xx aaaua x下面证明存在实数 t，使得 .()ut由（I）可得 ，1lnxa当 时，lnx有 212ln12ln()1l)(ln)(l)l laauxax x，所以存在实数 t，使得 ()0ut因此，当 时，存在 ，使得 .1ea1(,)x1()0ux所以，当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲1e yf线 的切线.#()ygx
